传统数学文化在中考试题中的渗透——各地中考数学渗透传统数学文化的试题评析

李会芳

（石家庄市新华区教育局教研室，河北 石家庄 050000）

数学文化包含数学家、数学史、数学美、数学教育，以及数学发展中的人文成分、数学与社会的联系、数学与各种文化的关系等，涉及社会生活的方方面面。所以说，数学是人类文化的重要组成部分，它的产生和发展在人类文明进程中起着重要的推动作用，是人类文明的重要基础。数学课程标准中对数学文化作了明确要求，数学文化理所当然成为教材内容的重要组成部分，因此，中考数学命题专家都对命题文化给予了一定程度的重视。近年来，在全国各地中考数学试卷中，渗透传统数学文化的试题呈逐年上升之势，这更加激发了广大初中数学教师在教学中渗透数学文化的动力。石家庄市教育科学研究“十三五”规划教师个人课题“初中数学教学中渗透数学文化的策略与方法”（课题编号：G2020077）对近年来在全国各地中考数学中渗透传统数学文化的部分试题进行了评析，希望能帮助教师自然、合理地将传统数学文化融入到课堂教学之中。

一、弘扬中国传统数学文化

中国传统数学文化是我国传统文化的重要组成部分，它们相互依存、互助发展。中国古代数学成就辉煌，而《周易》不仅是华夏五千年智慧与文化的结晶，同时还是中国古代数学发展的总源头。中国数学自汉代的《周髀算经》《九章算术》起开始形成体系，魏晋期间伟大的数学家、中国古典数学理论奠基人之一刘徽的杰作《九章算术注》和《海岛算经》都是中国最宝贵的数学遗产；南北朝时期杰出的数学家祖冲之，对数学的研究有着重大贡献，首次将圆周率精确到小数点后的第七位；宋元期间，中国古代数学达到了高峰，秦九韶、李冶、杨辉、朱世杰四大数学家，是宋元数学的杰出代表，他们的数学著作《数书九章》《测圆海镜》《详解九章算法》《算学启蒙》和《四元玉鉴》流传至今，他们在短短几十年里所创造出的骄人成就，在千百年间曾一度居于世界数学发展的前列，为中华文明及世界文明的发展作出了巨大贡献。

例1.（2021·湖南张家界）如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，设正方形ABCD 的面积为S，黑色部分面积为S1，则S1∶S 的比值为（）

点评：本题背景太极图出自我国古代五经之首、大道之源的典籍《易经》。太极图是中国古代先民概括阴阳易理，探讨宇宙、人生变化发展规律的图式，它对中华民族的思维方式、思想文化观念和人文性格均有较大的影响。本题将太极图置于正方形内，依据太极图是中心对称图形的性质，将无法直接求出黑色部分图形的面积转化为求圆的面积，再根据正方形内切圆的性质及其相关知识，获得正方形边长与太极图直径相等，并通过简单计算求得结果。本题中的太极图所蕴含的对立统一、互相转化的哲学原理，同样是解决本题的关键。

答案：A。

例2.（2021·福建）“田忌赛马”的故事闪烁着我国古代先贤的智慧光芒。该故事的大意是：齐王有上、中、下三匹马A1、B1、C1，田忌也有上、中、下三匹马A2、B2、C2，且这六匹马在比赛中的胜负可用不等式表示如下A1＞A2＞B1＞B2＞C1＞C2：（注：A ＞B 表示A 马与B 马比赛，A 马获胜）。一天，齐王找田忌赛马，约定：每匹马都出场比赛一局，共赛三局，胜两局者获得整场比赛的胜利。面对劣势，田忌事先了解到齐王三局比赛的“出马”顺序为上马、中马、下马，并采用孙膑的策略：分别用下马、上马、中马与齐王的上马、中马、下马比赛，即借助对阵（C2A1、A2B1、B2C1）获得了整场比赛的胜利，创造了以弱胜强的经典案例。

假设齐王事先不打探田忌的“出马”情况，试回答以下问题：

（1）如果田忌事先只打探到齐王首局将出“上马”，他首局应出哪种马才可能获得整场比赛的胜利？并求其获胜的概率；

（2）如果田忌事先无法打探到齐王各局的“出马”情况，他是否必败无疑？若是，请说明理由；若不是，请列出田忌获得整场比赛胜利的所有对阵情况，并求其获胜的概率。

点评：本题背景“田忌赛马”，出自我国西汉史学家司马迁所撰写的《史记》，这篇文章不仅闪烁着我国古代先贤智慧的光芒，还起到激发学生兴趣，提高探究欲望，增强学习自信心的作用。本题通过重构题干，将马匹及强弱关系符号化，并在“三个假设”的前提下，创造性提出两个新问题。需要学生在类比、猜想、枚举、操作、探究、计算、论证等过程中，发现、提出问题，分析、解决问题。因此，本题在深入考查概率概念的同时，较好体现了数学抽象、数学模型、逻辑推理等数学核心素养。

答案：（1）田忌首局应出“下马”才可能在整场比赛中获胜，；（2）不是，（田忌获胜的所有对阵情况略）胜率为。

说明：本题所提出的问题，跳出了大多数中考数学试题对中国传统文化考查的命题模式，（呈现经典名题，给出白话翻译，再让学生解答的形式）较好体现了学科育人目标，有利于引领教师深入挖掘经典名题的数学文化内涵，真正让数学文化走进课堂。

二、了解世界优秀数学文化

中国、埃及、古巴比伦和印度，并称为四大文明古国，都是世界现代文明的起源地。各国的传统数学文化同样推动着社会的发展和进步。埃及文化可追溯到公元前4000 年。公元前2900 年，开始建筑金字塔时，就已经具备一些初等几何知识。古巴比伦文化可以上溯到公元前2000 年左右的苏美尔文化，这一时期，人们基于对量的认识，建立了数的概念。从大约公元前1800 年开始，古巴比伦已经使用较为系统的60 进位制数系。自公元前8 世纪起，印度在关于祭坛与寺庙的建造中，就用到了勾股定理、矩形对角线的性质、相似直线形的一些性质，以及一些作图法等，用符号“0”表示零，也是印度的一大发明。另外，古希腊的数学文化曾取得辉煌成就，如公元前3 世纪左右，欧几里得的不朽著作《几何原本》，把前人的数学成果用公理化方法加以系统整理和总结，为古希腊科学和后世西方学术的发展起到了重要的示范作用；公元前5 世纪左右，毕达哥拉斯最著名的成就是对勾股定理（西方称毕达哥拉斯定理）的证明和无理数的发现，他把证明引入了数学，还提出了“抽象”，从而引发了几何的思辨，从实物的数与形，抽象到数学上的数与形，把数学推向了科学。古希腊所创立的文明与文化，对西方文明乃至世界文明的发展都起到了重要作用。

例3.（2020·江西）公元前2000 年左右，古巴比伦人使用的楔形文字中有两个符号（如图所示），一个钉头形代表1，一个尖头形代表10，在古巴比伦的记数系统中，人们使用的标记方法和我们当今使用的方法相同，最右边的数字代表个位，然后是十位、百位，根据符号记数的方法，右下面符号表示一个两位数，则这个两位数是___________.

点评：古巴比伦时代的科学以数学和天文最为发达，计数法采用六十进位和十进位法。六十进位法应用于计算周天的度数和计时，至今为全世界所沿袭。正如题干所言，古巴比伦人用他们所发明的楔形文字，不仅表达语言，还表示数字，本题就是用楔形文字表示十进位制数25 的一个例子，较好反映了对计数法本质的理解，以及符号意识的渗透，同时，还体现了古巴比伦的先进文明，有利于开阔学生的眼界和思路。

例4.（2021·甘肃武威）在《阿基米德全集》中的《引理集》中记录了古希腊数学家阿基米德提出的有关圆的一个引理.如图，已知，C 是AB弦上一点，请你根据以下步骤完成这个引理的作图过程.

（1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）：

（2）直接写出引理的结论：线段BC、BF 的数量关系.

点评：古希腊著名数学家阿基米德，在诸多科学领域都作出了突出贡献，他给出了“阿基米德公理”，使与极限相关命题证明的“穷竭法”更加严密，求得了抛物线弓形、螺线、圆形的面积和体积以及椭球体、抛物面体等复杂几何体的体积，同时在三次方程和算术方面都有贡献。阿基米德的著作是数学阐述的典范，写得完整、简练，显示出巨大的创造性。本题以《阿基米德全集》中的《引理集》命题3 为背景，将命题中的部分条件以尺规作图的要求呈现，同时将命题的结论转化为猜想结果，较好考查了学生独立思考、操作探究、猜想验证的能力，并综合考查了图形与几何众多知识点，实现了深入挖掘经典名题文化内涵的目的，体现了用数学的思维思考并解决问题的能力，凸显了理性精神。

三、中外优秀传统文化交融共存

历史的进步、人类的文明都是相互促进多元发展的，数学文化也是人类文明的重要组成部分。中外历代数学家，对数学运算的研究，大都以算法为基础，而中国的《九章算术》就是算法的代表之作；对逻辑推理的研究，大都以公理化体系为基础，而希腊欧几里得的《几何原本》就是用逻辑的链子，由此及彼地展开全部几何学。每个国家、每个民族也都有自己的数学文化，它们共同促进世界数学文化的发展和繁荣。了解中外数学文化，可以开阔视野，增强信心，激发学生学习数学的热情。

例5.（2021·陕西）幻方，最早源于我国，古人称之为纵横图.如图所示的幻方中，各行、各列及各条对角线上的三个数字之和均相等，则图中a的值为__________.

点评：幻方在我国古代称为九宫图、纵横图。最早在周代《尚书》文献中有洛书的记载，将洛书中龟背上的点用数字表示出来，得到九宫图，即现在的三阶幻方。十三世纪，中国南宋数学家杨辉，在他的著作《续古摘奇算法》卷一中有了“纵横图”之名，其中给出了三至十阶幻方及其变体共十三种，这是世界上对幻方系统研究的最早记载。欧洲十四世纪也开始了这方面的工作，著名数学家费尔玛、欧拉都进行过幻方研究，如今，幻方仍然是组合数学的研究课题之一。幻方与它的变体所蕴含的各种神奇的科学性质正逐步得到揭示。本题以奇妙的幻方问题激发学生兴趣，较好考查了学生依据幻方的意义，正确提取表中数据，布列方程并求解的能力。本题对数据观念和模型思想有明显体现，并具有较好的可拓展性。

答案：-2。

例6.（2021·广东）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a、b、c，记，则其面积.这个公式也被称为海伦—秦九韶公式.若p=5，c=4，则此三角形面积的最大值为（）

点评：海伦—秦九韶公式是由古希腊的几何学家海伦和中国宋代的数学家秦九韶，在不同年代独立发现，分别出现在海伦的著作《度量》和秦九韶所著的《数书九章》中。虽然两人给出的公式在形式上有所不同，但实质是一样的。题目直接体现了中外传统数学文化的精髓。本题没有采用直接代入数值求面积的设问方式，而是以此公式为载体，灵活考查学生运用二次函数的性质确定其最大值的能力，在渗透传统数学文化的同时，加大对理性思维的考查力度。

答案：C。

在中考试题中渗透传统数学文化，“可以适当引导中学数学教学，使得更多的教师关注数学文化，研究数学文化，将数学的本质教授给学生。学生通过数学文化的熏陶，可以促进健全人格的养成。”在中考试题中渗透传统数学文化，特别是中国传统数学文化，可以激发学生学习数学的兴趣，树立学好数学的信心，感受中外数学家治学的严谨，欣赏数学的优美，潜移默化地提升学生的爱国情怀和民族自豪感，有效促进立德树人目标的实现。