冲击载荷下煤样能量耗散与破碎分形的长径比效应

王 磊，袁秋鹏，谢广祥，顾书豪，焦振华，刘怀谦，陈礼鹏

(1.安徽理工大学 深部煤矿采动响应与灾害防控国家重点实验室，安徽 淮南 232001；2.中国矿业大学(北京) 能源与矿业学院，北京 100083)

煤炭开采工程中存在爆破震动、冲击地压和煤与瓦斯突出等多种形式的冲击动力学问题，覆岩运动或破断及煤体爆破均会产生冲击载荷。煤岩体在冲击载荷作用下其内部微裂纹不断发育、扩展、贯通和破碎，从细观损伤发展到宏观破碎实质是一个能量耗散的过程。矿山压力显现或爆破对应的煤岩体能量耗散规律和破碎特征属于中、高应变率的研究范畴。然而，实际工程中不同工程尺寸往往表现出其能量耗散规律和力学性质差异，存在明显的长径比效应。例如，受煤层赋存和地质构造影响的煤层厚度变化不一，以及开采条件限制下采场煤柱宽度设计在3～30 m，其顶板来压的显现强度差异显著。因此，进一步定量分析冲击载荷下不同长径比煤样的能量演化规律和破碎分形特征，对于煤矿动力灾害防治和提高煤炭采出率具有重要指导意义。

分离式霍普金森压杆(Split Hopkinson Pressure Bars，SHPB)实验技术是研究岩石、混凝土等脆性材料高应变率力学特征的主要实验方法，以此为基础的煤岩体冲击动力学迅速发展。目前，材料强度的长径比、比例尺等尺寸效应已被学术界和工程界广泛关注并开展研究，成果显著。李夕兵等对直径相同、长径比不同的石灰岩试件进行了SHPB试验，得出岩石破碎强度随试件长径比的增加而减小的结论；日本、美国、挪威和加拿大学者联合研究了长径比相同、直径不同的混凝土试件，落锤试验及显式ABAQUS模拟结果表明，混凝土外观强度随着试件尺寸的增大而减小，但与静载条件下的尺寸效应不同；洪亮等对长径比相同、直径不同的岩石进行不同应变率条件下的SHPB试验，动态强度随着应变率的增高近似以乘幂关系增大，且试件尺寸越大，动态强度对应变率依赖的灵敏性越显著。能量耗散是材料破坏的原动力，煤岩在冲击波作用的过程中将产生不可逆的能量耗散。刘晓辉等对煤岩进行不同应变率的SHPB试验，并对煤岩冲击破碎块度特征进行了分析，得到了耗散能与应变率呈弱幂函数关系或线性分布关系，并发现了煤岩破碎特征与应变率呈线性正相关；武仁杰等对层状岩石进行不同角度和加载速率的冲击压缩试验，获得了其破碎耗能特征和块度分布规律。以上关于冲击载荷下煤岩材料力学特征、能量耗散与破碎特征的研究取得了丰硕成果，但有关材料动态能量演化及其破碎特征的长径比效应等方面的研究很少，且观点尚不统一。

试件破坏是能量驱使的从微变形到破碎的过程，而采用破碎分形维数对岩石类试件破碎形态进行定量描述不仅可以合理地反映试件冲击破碎程度和碎块分布特征，还可以从破碎形态分析煤岩体破坏过程中能量耗散规律。为此，学者围绕煤岩的破碎分形特征和能量演化特征开展研究：谢和平等建立了岩石动态裂纹扩展力学行为与细观结构关系的分形模型，并将其应用于不同炮孔排布放顶煤爆破效率，丰富了分形理论的应用外延；张蓉蓉等研究了高低温预处理的深部砂岩的动态破坏特性，分析了温度对砂岩破坏程度和能量耗散的影响；张文清等通过分析不同应变率冲击的煤岩试件能量耗散和破碎块度分维，发现了煤岩破碎耗散能随应变率呈指数上升但耗能占比基本不变，且分形维数随应变率和耗散能密度均呈对数增长关系；刘石等研究了冲击加载速度对岩石块度分形维数的影响，分析了岩石动态抗压强度与块度分形维数的变化规律。以上研究表明，岩石动态破碎分形特征与能量演化之间存在内在联系，破碎分形是能量耗散的宏观表现，能量耗散是破碎程度的根本原因。因此，研究试件冲击过程中的能量耗散规律和破碎分形特征不仅可量化表征破碎程度，还可以从宏观上解释试件的破坏机制。

笔者利用SHPB试验系统对不同长径比煤样进行冲击压缩试验，分析煤样加载过程中的应力均匀性，深入剖析不同长径比煤样能量演化特征和破碎分形特性，得到煤样分形维数与能量耗散特征规律。

1 冲击压缩试验

1.1 试样制备

试验选用大块无夹矸无明显裂隙的原煤为母材，垂直煤块层理进行钻心、切割和打磨抛光，由于薄煤样加工困难，根据国际岩石力学学会(ISRM)推荐标准加工成直径50 mm，长径比()分别为0.3，0.4，0.5，0.6，0.7，0.8，0.9，1.0的8组试样，每组3个平行试样，确保两端面的不平整度<0.05 mm、两端面不平行度<0.02 mm，如图 1所示。使用U510非金属超声波检测仪准确测定试样波速，确保探头正对，通过耦合剂与试件紧密接触，同时剔除有明显损伤和波速偏离超过10%的试样，如图2所示。试样制成后，测算其体积、密度等。试样用D表示，每组试样依次编号，如D-0.5-2，表示长径比为0.5的第2个试件。

图1 原煤试样Fig.1 Raw coal samples

图2 超声波检测煤样Fig.2 Ultrasonic detection of coal samples

1.2 加载方案

采用SHPB试验系统进行动态压缩试验，如图3所示。SHPB试验系统采用长度为300 mm圆柱形子弹，厚度3 mm、边长10 mm方形橡胶片整形器，入射杆和透射杆长直径均为50 mm，材质为40Cr合金钢，密度为7 800 kg/m，纵波波速为5 190 m/s。试验前确保入射杆与透射杆水平且同心对正，确保基本无反射波产生。为讨论煤样试件长径比对耗能和破碎分形的影响，煤体承受冲击载荷应变率为10～300 s，结合煤样低强度的特点，采用相同冲击气压0.35 MPa。使用FASTCAM SA-Z型超高速摄像机进行图像采集，快门速度为100 000 fps，分辨率为256×216。

<1)，且各件产品是否为不合格品相互独立．

图3 SHPB试验系统Fig.3 SHPB test system

1.3 试验结果

图4为以橡胶片为波形整形器的煤样SHPB试验波形，应力波整体平滑，未出现明显的弥散效应。

图4 煤样SHPB试验典型的波形Fig.4 Classical waves of SHPB test of coal

当SHPB试验系统测试动力学参数时，首先，根据应变电测法原理，将示波器的电压信号转化为应变；其次，基于SHPB实验理论，根据式(1)计算试样应力()和应变()，得到应力-时程曲线和应变-时程曲线；最后，求解出试样的动态强度。

(1)

式中，()，()分别为时刻的反射波、透射波在独立传播时所对应的杆中应变；，，分别为弹性压杆的横截面积(m)、弹性模量(MPa)、纵波波速(m/s);，分别为试样横截面积(m)和原始长度(m)。

图5,6分别为不同长径比煤样典型应力-应变曲线以及经典煤样动态应力-应变曲线阶段划分。

图5 不同长径比煤样应力-应变曲线Fig.5 Stress-strain curves of coal with the different l/d

不同长径比煤样应力-应变曲线形态相似，均呈“开口型”，参考岩石静力学对应力-应变曲线的划分,将动态应力-应变曲线分为弹性阶段(段)、塑性阶段(段)和破坏阶段(段)3个阶段，如图 6所示，但其曲线特征存在明显差异。考虑到大直径SHPB试验受惯性效应影响，仅对应力平衡系数不为0的应力平衡状态试件(即长径比0.3～0.6，见1.4节)进行分析。图 5中不同长径比曲线特征主要为：随长径比增加，曲线塑性阶段增大。随试件长径比增加，应变率逐渐降低，其对应的动态应力峰值也逐渐降低，曲线峰后段逐渐减短,说明随着长径比增加，试件抗冲击能力降低，表明了长径比小的试样弹性变形更充分，抵抗冲击变形的能力更强。

图6 动态应力-应变曲线阶段划分Fig.6 Stage division of dynamic stress-strain curve

1.4 煤样动态应力平衡状态分析

李夕兵等将试样两端应力差与其平均值之比定义为应力平衡因子，表征试件应力平衡的程度，其公式为

(2)

式中，，分别为试件入射杆端和透射杆端应力；为入射电压与反射电压之和，=+，V；为透射电压，V。

理论上，试件两端的应力不相等，但一般认为试件两端应力差小于试件内部平均应力的5%就达到了平衡状态。应力平衡因子将试件应力平衡的过程具象化，可以在直观上展现和比较不同长径比试件内部应力均匀性，但是对于不同长度试样其平衡程度相近的应力平衡判定条件模糊且无法进行量化比较分析。为进一步对SHPB试验中试样平衡程度的量化分析和判断试验破坏前是否满足应力均匀化条件，笔者对透射应力峰值前的应力平衡因子进行统计与分析，定义了判断SHPB试验中试样内部应力均匀化和试样两端应力平衡程度的新指标——应力平衡系数，可表征不同长径比试件动态压缩破坏前两端应力平衡程度，其计算公式为

(3)

式中，为样本中应力平衡因子满足平衡条件-0.05≤≤0.05的数量；为透射应力峰值前应力平衡因子的样本容量。

不同加载波形或不同材料试样对应的应力波上升沿时长，在煤的SHPB试验中，动态冲击上升沿历时160～190 μs。考虑到应力平衡系数是为了判断试样破坏前是否达到应力平衡，在选择样本对象时以透射应力峰值为目标；同时，为了减小试件冲击加载初始阶段应力不均匀的影响，选择透射波峰前部分的1/4～1/3(约50 μs)为样本容量，确定在透射应力峰值前50 μs的应力平衡因子作为样本。图7为不同长径比煤样冲击作用的应力平衡系数考察区间示意。

图7 不同长径比试样的应力平衡程度Fig.7 Stress balance degree of specimens with different l/d

对不同长径比煤样冲击加载下的取平均值，见表1。结合应力平衡因子变化趋势与应力平衡系数分析可得，煤样长径比为0.3，0.4，0.5和0.6，应力平衡系数较高，试件内部应力易于达成平衡，当长径比为0.7，0.8，0.9和1.0时，应力平衡系数为0，试件内部应力难以在峰值应力前达到平衡，不能满足应力平衡要求。因此，煤样存在应力平衡要求的临界长径比，高于此临界值的煤样无法在SHPB试验里达到应力平衡。由于部分试样未能达到应力平衡，后文主要分析试件冲击的能量耗散规律和破碎分形特征。

表1 不同长径比煤样应力平衡系数

2 能量耗散的长径比效应

2.1 能量计算

SHPB试验系统加载过程中，能量通过撞击以应力波的形式传至压杆中，入射波、反射波和透射波所携带的能量分别为入射能、反射能和透射能，试件所吸收的部分能量称为试件吸收能。

(4)

其中，，，分别为入射应变、反射应变和透射应变。试件吸收能为

=-(+)

(5)

主要由3部分组成：破碎耗能、破碎动能、其他形式耗散能(通常可忽略)，根据文献[19]可知破碎动能仅占总吸收能5%左右，可简化为

=

(6)

破碎能量耗散与体积密切相关，单位体积耗散能更能反映试件破碎吸能情况。为此，引入破碎耗能占比和破碎耗能密度：

(7)

(8)

式中，为试件体积，m。

根据式(4)～(8)将超动态应变仪的电信号转换为试样的应力、应变和能量参数，不同长径比试样动态强度和能量参数见表2。

表2 不同长径比试样动态强度和能量参数

续表

2.2 破碎耗能与耗能占比

图8为不同长径比煤样动态压缩下入射能和破碎耗能的分布情况，相同冲击气压下，不同长径比试样入射能大致相等，在75.05～85.55 J，最大相差13.9%，极差为10.5 J，这是由于发射器气压变化以及子弹和炮筒摩擦的影响。破碎耗能变化可分为长径比0.3～0.5和长径比0.6～1.0两个阶段，其破碎耗能与长径比均呈正相关，值域分别为30.93～35.19和23.43～27.94 J，但其在长径比0.5～0.6由35.19 J降至23.43 J，下降了33.42%。

图8 不同长径比煤样动态压缩能量分布规律Fig.8 Dynamic compression energy distributionof coal with the different l/d

图9 不同长径比煤样耗能占比和应力平衡系数变化Fig.9 Variation of energy consumption ratio and stressbalance coefficient of coal with the different l/d

不同长径比煤样动态压缩耗能占比及平均应力平衡系数的变化规律如图9所示。耗能占比随长径比变化规律与破碎耗能类似，可分为长径比0.3～0.5和长径比0.6～1.0两个阶段，值域分别为0.37～0.42和0.28～0.32，各阶段内耗散占比与长径比呈线性增加，但长径比0.6～1.0耗能占比的增长率比长径比0.3～0.5低。长径比的增大在一定范围内有利于增强试件吸收能量的能力。但长径比0.5～0.6时(即2个阶段间)，耗能占比由0.42下降至0.28，下降了33.33%，并且其整体上呈现出台阶式下降。

图10 不同尺寸砂岩的破碎耗能与入射能关系[38]Fig.10 Relationship between crushing energy consumptionand incident energy of sandstone of different sizes[38]

图10为不同尺寸砂岩的破碎耗能和入射能的关系，试验表明SHPB冲击试验中岩石破碎耗能随入射能的增加而线性增加，即破碎耗能占入射能比例一定，与应变率和试样的尺寸无关。文献[11,20,29]中也有类似试验结论，与本文试验条件区别在于试件长径比不同，在冲击速度不变条件下，试件长径比是影响应变率的根本因素。而试件长径比与应力平衡密切相关，横向惯性引起的弥散效应和试件的端面摩擦效应共同影响了试件的应力平衡程度。因此，结合应力平衡因子变化趋势与应力平衡系数分析不同长径比试件能量耗散规律。

耗能特征长径比效应主要表现在：① 破碎耗能与耗能占比随长径比增加分为2个阶段，各阶段均线性增加；② 其指标在2个阶段中间出现台阶式下降。其原因：首先，煤体中含有丰富的晶界、孔洞、微裂隙等天然缺陷，随着试件尺寸增加，试件内部存在的缺陷亦随之增多，导致试件在冲击过程中形成更多裂隙和碎块，增加了裂隙和碎块之间的摩擦耗能，从而提高了耗能占比，并且长径比大的试件端部摩擦效应更加显著，这是破碎耗能和耗能占比在各阶段内线性增加的主要原因；其次，如图11所示，长径比1.0试件裂纹发育比长径比0.3更快速和剧烈，试样长度不同引起了应力平衡的差异，图7表明超过临界长径比的试件不仅难以达到应力平衡且峰值应力明显降低，结合图5可以发现试件应力达到峰值前其变形量降低，导致吸收的冲击能量陡然降低，在忽略动能影响的前提下，则造成破碎耗能和耗能占比的台阶式下降。

图11 不同长径比煤样破坏过程Fig.11 Failure process of coal samples with different ratio of length-diameter

3 破碎分布特征与能量演化

煤样破碎的过程蕴含了功能转化关系，其能量的演化特征与破碎效果存在本质联系。宏观破碎是由微小破裂组成的，而微小破裂又是由更小的缺陷、裂隙演化汇集形成，这种自相似性行为必然导致破碎后碎块块度也具有自相似的特征，且其块度分布的分形特征与岩石细观结构、加载方式以及试样形状尺寸等密切相关。破碎分形维数能定量反映破碎程度，试件越破碎，分形维数越大，碎块粒径越小。煤样在冲击载荷作用下产生的碎块分布方程为

()=()3-

(9)

式中,，()分别为碎块的总质量和孔径下累计质量，g；，分别为碎块的粒径和最大粒径，m；为碎块分形维数。

将式(9)两边取对数，并在lg(()/)- lg(/)的双对数坐标系中，拟合直线的斜率即(3-)，从而得到岩石破碎块度分布的分形维数：

=3-

(10)

同时，采用描述破碎程度常规方法碎块平均粒径与破碎分形维数形成对比。碎块平均粒径为

(11)

式中，为不同等级标准筛中碎块的平均尺寸，mm；为对应的碎块质量分数。

3.1 破碎形态

对试样碎块进行筛分，将其分为<0.125，0.125～0.250，0.25～0.50，0.5～1.0，1～2，2～3，3～6，>6 mm共8组粒径并进行称量，图12给出了部分不同长径比煤动态破坏形态和碎块筛分结果。随着长径比增加，依次呈现粉碎破坏、块状碎裂、块状劈裂等形态；且煤的破碎程度逐渐降低，破碎块度的尺寸逐渐增大，细小颗粒占比逐渐降低。

图12 部分不同长径比煤动态破坏形态Fig.12 Dynamic failure morphology of part coal with different l/d

3.2 破碎块度分布特征

根据式(9)～(11)计算出碎块平均粒径和分形维数，见表 3。

表3 不同长径比试件碎块粒径分布和分形维数特征

续表

图13为每组试样碎块平均粒径与长径比的关系，碎块平均粒径随长径比的增加而增加，碎块平均粒径与长径比呈线性增加关系，相关性系数为0.840。说明随着煤样试件长径比增加，碎块的平均尺寸增加，试样的破碎程度降低。平均粒径定量描述了碎块整体的破碎程度，但忽略了破碎块度分布的整体特征。因此，为了刻画试件破碎块度的分布特征，结合分形理论对试件块度进行分形研究。图14为不同长径比块度分形的碎块质量分布对数曲线，根据试样破碎块度分布规律，可知煤样试件破碎后块度分布相关性系数均在0.97以上，具有良好的自相似性。

图13 碎块平均粒径与长径比的关系Fig.13 Relationship of average particle size of fragments and l/d

图14 不同长径比试件破碎分布lg(M(x)/MT)-lg(x/xm)曲线Fig.14 lg(M(x)/MT)-lg(x/xm) curves of crushingdistribution of specimens with different l/d

分形维数不仅可以表征材料的破碎程度，而且能够综合反映材料结构、加载方式、尺寸形状等。图15为每组试件碎块的平均分形维数与长径比的变化规律，平均分形维数与长径比呈线性减少关系，相关性系数达0.932，随长径比增加，试件的分形维数逐渐降低，试件破碎程度降低，同时印证了碎块平均粒径随长径比增加而增大，破碎程度降低。

图15 平均分形维数与长径比的关系Fig.15 Relationship of average fractal dimension and l/d

3.3 碎块分维与耗能密度

为消除试件体积对能量耗散的影响，对不同长径比煤动态压缩耗能密度变化规律进行研究。图 16为不同长径比煤动态压缩耗能密度变化关系，试样破碎耗能密度与长径比呈反比例关系，拟合关系为

(12)

图16 不同长径比煤动态压缩耗能密度变化Fig.16 Variation of dynamic compression energyconsumption density of coal with the different l/d

试验结果表明，试件长径比从0.3增加到1.0时，破碎耗能密度由1.08 J/cm减小到0.22 J/cm，降低了79.6%，试件动态稳定性减弱。由3.2节分析可知，不同长径比试样的裂纹发育与碎块破裂程度不同导致试件破碎耗能和摩擦耗能等能量分布改变。

煤岩体破碎是其内部缺陷不断萌生发育、扩展、贯通的结果，本质上是能量耗散的过程，因此，试件碎块的分布特征与其能量耗散存在内在的、必然的联系。洪亮的研究表明，岩石破碎吸能随入射能的增加而线性增长，耗能占比与材料属性和细观结构有关。对于破碎分布特征，试件单位体积对应的破碎耗能与其破碎程度更加紧密相关，因此，对碎块的分形特征和对应的耗能密度演化规律进行研究。图17为不同长径比试件分形维数-耗能密度变化曲线。煤岩体破碎是其内部缺陷不断萌生发育、扩展、贯通的结果，本质上是能量耗散的过程，因此，试件碎块的分布特征与其能量耗散存在内在的、必然的联系。

图17 分形维数D与耗能密度ed的关系Fig.17 Relationship between fractal dimension D and energyconsumption density ed

整体上，随着耗能密度升高，分形维数逐渐增加，耗能密度由0.25 J/cm升高到1.07 J/cm时，分形维数由1.62增加到1.83，提高了12.96%。根据分形维数随耗能密度的变化特征，利用曲线拟合方法得到了二者之间的函数关系：

(13)

岩石破坏形成大量各种尺度的内部裂隙，其萌生、发育、扩展和贯通的过程也是岩石结构中的初始细观损伤发展到宏观断裂的结果，岩石吸收能量越多，裂纹扩展越充分，产生碎块越多，破碎程度越高，导致分形维数也越大。与呈正相关且为幂律函数关系，说明增大耗能密度可以提高试样的破碎程度，但在较高耗能密度时，增大试样耗能密度其破碎程度增加趋势逐渐减缓，即随耗能密度增加，通过提高耗能密度增大破碎程度的效率逐渐降低。

4 结 论

(1)不同长径比煤样应力-应变曲线形态基本一致，均呈“开口型”，且均包含弹性阶段、塑性阶段和破坏阶段3个阶段；随长径比增加，曲线塑性阶段增大。定义了判定不同长径比试件应力平衡状态的应力平衡系数，并据此确定了煤样满足应力平衡要求的临界长径比为0.6。

(2)确定了破碎耗能、耗能占比和耗能密度与长径比的关系，总结了煤样动态压缩破碎耗能与耗能占比的长径比效应，得出随长径比增加分2个阶段，且其分界点接近临界长径比，各阶段内呈线性增加关系，在两阶段中间呈现出台阶式下降，并从试件尺度和动态应力平衡及破坏过程的角度解释了能量耗散的长径比效应。

(3)采用碎块平均粒径和破碎块度分形维数描述不同长径比煤样冲击破碎特征，互相印证了随长径比增大，破碎程度逐渐降低；确定了不同长径比煤样的分形维数与耗能密度呈幂率函数关系，并指出随耗能密度增加，试件破碎程度的提高效率逐渐降低。