借助数学知识解决物理难题

摘要：数学知识与物理知识之间联系紧密，尤其在解答高中物理习题时运用数学知识能够获得事半功倍的良好效果.实践中为提高学生运用数学知识解答高中物理习题的意识与能力，应展示运用数学知识解题的相关细节，进一步提高学生数学知识应用意识，促进高中物理解题能力的进一步提升.本文主要探讨三角函数、基本不等式、二次函数、等比数列在高中物理解题中的应用，以供参考.

关键词：数学知识;高中物理;解决;难题

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2022）13-0102-03

众所周知，部分高中物理习题不仅考察物理知识，而且考查学生运用数学知识解决物理问题的灵活性，因此为提高学生解答高中物理习题的能力，使其在解题中少走弯路，迅速地找到解题的突破口，确保物理问题的顺利解答，应注重与学生一起总结物理解题中常用的数学知识，并优选精讲典型例题，给学生带来良好的解题启发.

1 三角函数在物理解题中的应用

三角函数在物理解题中的应用主要表现在寻找角度与线段之间的关系上.部分高中物理习题不仅需要构建相关的物理方程，而且还需运用三角函数的有界性.解题时应具体问题具体分析，积极联系所学三角函数知识，以求解出正确结果.例如，如图1是以O为转轴水平放置圆筒的截面图.现让圆筒绕中心轴顺时针高速旋转.某时刻将一小物块轻轻放在圆筒轴线正下方的A点.物块在圆筒带动下随之运动，物块运动到最高点C后又滑下来，最终停留在B点.若∠AOB=θ，∠BOC=α，在A、C两点物块的加速度之比是多少？

解析在不同位置对小物块进行受力分析，运用牛顿第二定律计算出在A、C两点的加速度，而后运用三角形函数进行作答.

设圆筒的半径为R，小物块的质量为m，和圆筒的动摩擦因数为μ，在A点时，fA=μmg.因小物块最终停留在B点，因此，在B点时，fB=μmgcosθ=mgsinθ

由牛顿第二定律，小物块在A点的加速度为aA，则μmg=maA，则aA=μg.小物块在C点时的加速度为aC，由牛顿第二定律得到：mgsin（θ+α）-μmgcos（θ+α）=maC，则aC=

g1+μ2sinα，∴aA：aC=μg：g1+μ2sinα=sinθ∶sinα.

2 基本不等式在物理解题中的应用

部分高中物理习题需要求解某个参数的最值.解题时需要灵活运用所学物理的规律，构建相关物理方程，通过对求解参数的整理，运用基本不等式知识顺序求解其最值.需要注意的是运用基本不等式时应注重等号成立的条件.

例如，如图2，将一质量m=0.5kg的小物块静止放在粗糙水平台阶上，在台阶右侧固定一个以O点为圆心，半径R=214m的圆弧形挡板.给小物块施加一个大小为F的力，使其向右运动，一段时间撤去F.小物块最终水平抛出并击中挡板，g取10m/s2.改变拉力F的作用距离，使小物块击中挡板的不同位置，求击中挡板时小物块速度的最小值和此时物块下落的高度h.

3 二次函数在物理解题中的应用

二次函数在高中物理解题中有着广泛的应用.求解物理习题中相关参数时通过针对性的整理将其看成某个参数的二次函数，而后运用二次函数的性质求解相关参数的最值.为保证结果的正确性，运算时应谨慎、认真.

例如，如图3，空间存在水平向右电场强度大小为E=1×106N/C的匀强电场，一质量为m=0.1kg，电荷量q=+1×10-6C的小球，从A点以初速度v0=10m/s竖直向上抛出，经过一段时间落回到和A点等高的位置B点，重力加速度g=10m/s2，求：

（1）小球运动到最高点时的速度大小;

（2）小球运动过程中最小动能;

解析

问题（2）：由动能定理可知Ek=12mv2=12m（vx+vy）2，设运动的时间为t时小球动能最小，则vy=v0-gt，vx=qEmt，代入得到：Ek=12m＼[（qEmt）2+（v0-gt）2＼]=12m＼[（q2E2m2+g2）t2-2v0gt+v02＼]，由二次函数知识可得当t=m2gv0q2E2+m2g2，小球的动能最小为mq2E2v202（q2E2+m2g2）=2.5J.

4 等比数列在物理解题中的应用

解答高中物理有关物体碰撞类的问题时不仅运用动量守恒定律、机械能守恒定律，而且需要总结与归纳，分析碰撞前后相关参数之间的关系，而后运用所学的数列知识进行相关计算.

例如，如图4，将质量分别为m1=2kg，m2=1kg平板车M、N放在光滑水平面上.两者之间用一根不可伸长的轻绳相连，轻绳处于紧绷状态，中间夹着的弹簧处于压缩状态（弹簧和两小车不栓接），弹性势能为Ep=27J.某时刻轻绳断裂，两车被弹开，弹簧恢复原长后在M车的左端和以M车相同的速度放上一块质量m0=3kg的铁块，M车和铁块运动一段时间后，第一次和墙壁发生碰撞.已知铁块和M车之间的动摩擦因数μ=0.5，M车足够长，使得铁块始终不能和墙壁相碰.M车和墙发生正碰，碰撞时间极短，碰撞过程无机械能损失.求：

（1）弹簧恢复原长时两车的速度大小;

（2）从M车第一次和墙体相碰到向左运动到最远距离的过程中，铁块相对M车滑行的距离;

（3） M车和墙相碰后所走的总路程;

解析

问题（1）：设M、N两车速度分别为v1，v2，则由动量守恒定律可得：m1v1=m2v2，由能量守恒可知Ep=12m1v12+12m2v22，联立解得v1=3m/s，v2=6m/s;

问题（2）：取向右为正方向，则M和墙壁碰撞后由动量守恒定律可得m0v1-m1v1=m0v，由能量守恒可得：μm0gL=12（m0+m1）v12-12m0v2，聯立解得L=1.4m;

问题（3）：平板车M第一次和墙相碰后向左走的位移为s1，则由动能定理得：-μm0gs1=0-12m1v12，解得s1=m1v212μm0g，代入数据得到s1=0.6m;平板车和铁块以共同速度v2和墙发生第二次相碰，动量守恒定律得到：m0v1-m1v1=（m0+m1）v2，解得v2=15v1，第二次相碰后平板车M向左走的路程为s2，易得s2=m1v222μm0g;则s2=125s1，以后每次相碰平板车向左的路程以125的比例减少.其构成一个以公比q=125的等比数列，由等比数列前n项和求和公式可得M车和墙相碰后所走的总路程s=2s1·1-qn1-q≈2s1·11-q=1.25m.

为使学生能够灵活运用数学知识，解决高中物理难题，提高学生解题的自信心，应注重为学生总结相关题型，展示如何运用数学知识求解的物理问题.同时要求学生做好解题的总结，掌握适用数学知识解题的题型以及相关的问题情境，把握解题的相关细节以及注意事项.

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[责任编辑：李璟]

收稿日期：2022-02-05

作者简介：慕伟（1984.12-），男，安徽省亳州人，本科，中学一级教师，从事高中物理教学研究.[FQ）]