精心研究高考试题 精准把脉复习方向

《普通高中数学课程标准（2017年版）》强调“四基”（即基礎知识、基本技能、基本思想、基本活动经验）和“四能”（即从数学角度发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力）.通过高三数学复习提高学生的数学核心素养，教师要精选例题，合理变式，适度拓展，深入探究，高考题是教师选择典题的很好素材，但是如果直接将高考题，特别是高考压轴题作为例题，有时给学生一种“高处不胜寒”的感觉，这需要教师在备课中采用一题式教学，寻找本源，拾级而上，让学生围绕载有数学核心知识的压轴题，学会思考，学会从不知开始，一步一步地达到问题的核心，直至最终的问题解决[1].

笔者最近应邀参加了所在学校“美妙课堂”的教学展示活动并开设了一节数列公开课，课题是《数列的综合应用》，由于是一节一轮复习中综合性较强的复习课，课题给得比较广，所以笔者尝试通过选择高考数列压轴题作为备课模型，对试题庖丁解牛，以《对等差数列、等比数列通项公式的再探究》为题，通过设问层层深入，不断引导学生探究数学问题的本质和内涵，让学生通过所学知识站在一个新的高度思考问题，收到了比较好的效果，现整理成文，不妥之处，敬请同行批评指正.

1 试题再现

本题是2019年江苏高考解答题的最后一题，从考查能力方面看，本题重点考查学生的抽象能力、逻辑推理能力和数学探究能力，是《考试说明》中强调的“以能力立意，强化对数学学科核心素养的考查”;从考查知识点方面，主要考查数列基本量的运算，由Sn求通项，数列中的恒成立问题;从考查思想方法方面，主要考查函数与方程、数形结合以及等价转化思想，可以说，作为试卷的最后题，本题具有很好的区分度，笔者在备课中，就选取了第2问的第2小问为背景，寻根溯源，层层深入.

2 教学设计

2.1 回归课本，探寻本源

课本中对概念、公式的推导，例习题的选择有很大的教育功能，对学生理解知识、培养数学素养和提高解题能力具有潜在的价值，但是有些教师在高三复习中按照一本教辅讲到底，忽视教材中蕴含的丰富的试题背景及思想方法，

比对上述试题的第2问，其考查数列的内涵是非常丰富的，如果学生在平时的学习中只懂得做题，不深入理解概念的内涵的话，在考试中处理起来还是比较棘手的，

笔者在处理这一问题时，首先给出了如下引例：

设计意图在苏教版教材中，通过P39例3和P53例3，回顾等差数列与等比数列的通项公式，让学生直观感知通项公式在平面直角坐标系中对应的函数的图象（如图1），进而解决引例设置的两个问题，

综上可知，对于处理数列中的一类不等式恒成立或者有解问题，可以通过构造数列的单调性求解，如果涉及到的数列是等差或者等比数列通项的时候，可以通过作出它们的图象，利用数形结合，直观感知其结果，创造想法，最后验证猜想的结果，

对于本例，学生如果对不等式n≤q”直接求解处理，从图象角度观察很容易得到答案，难点是不容易书写，若从分离变量的角度分析，学生思考的难点是没办法直接分离，

其实指数问题对数化是一种解题方法，通过对不等式两边同时取对数，得到不等式Inq≥Inn/n，进而通过求最值求出q≥3√3.

通过研究所得等差、等比数列通项公式的图象特征，可以观察图象猜想结果，同时可以通过构造数列的单调性规范求得结果.

2.3 变式探究，拓展提升

通过引例及例题的探究和解答，学生应该熟悉了处理这一类问题的基本方法，在此基础上，乘胜追击，通过后面两个变式探究，进一步巩固学生对这类问题的处理意识，

探究1若对任意正整数n都有an≤bn，成立，求q的取值范围，

设计意图从图象角度分析，将y=qn的图象向右平移一个单位后得到y=qn-11的图象，然后取n=2得到q>2.另外可以将不等式n≤qn-1两边同时取对数，方法如例题，探究1是对例题讲解过后的直接演练，同时也为探究2提供方法铺垫，

探究2设m为正整数，若对任意正整数k，当k≤m时，都有bk≤ak≤bk+，成立，求珊的最大值，

设计意图探究2实际就是2019江苏高考20题的最后一问，综合性较强，有了引例、例题及其探究1作铺垫，学生处理探究2的想法水到渠成，官方给出的答案如下：

3 教学启示

随着新课程改革的不断推进，高考试题更加注重对学生核心素养的考查，而核心素养更加强调学生的知识和思维能力，在高三数学复习中，解题教学是其核心环节，我们教师应该通过解题教学，教会学生数学的思维方法，即“会用数学的眼光观察世界，会用数学的语言表达世界，会用数学的思维思考世界”，同时，我们教师应该带领学生在高三复习中返璞归真，跳出题海，真正做到高效复习，切实做好以下几个方面：

3.1回归教材，构建体系

高考时让学生感到陌生的题目，究其背景，很多试题都可以在教材中找到原型，教材中的例习题都是数学专家精选的，具有典型性、示范性和探究性，作为教师，我们应该充分认识其蕴含的教育教学价值，通过对例习题充分的挖掘和研究，帮助学生优化认知、活跃思维，提高解题能力，所以在复习中要注重回归教材，精选课本例习题，变式拓展，重视习题教学中解题思路的探索与选择，重视教材中公式、定理等推导的方法和思想的介绍，将相关重要的知识点串联起来，构建知识网络，比如本节课，我们可以通过等差、等比数列通项公式的特点，建立与一次函数、指数函数之间的联系;通过数形结合、等价转化等思想，合理选择方法解决数列中的一类不等式恒成立问题，

3.2 注重通法，淡化技巧

高考试题注重对通性通法的考查，注重考查学生的“四基”，因此在高三复习时，要注重本质，强化通法，淡化技巧，回归本质就是要以认清数学问题的本源为基础，探求解决问题的根本属性与规律，达到善于解题的目标[2]，所以，我们要立足考题，充分认识到通性通法在解答高考题时的重要性，比如上述高考压轴题的解答方法，仍然是回归通性通法，

另外，从高考阅卷角度来看，如果不重视通性通法，下面一些情況很容易失分：

（1）解题思路混乱，整个解答目的不明确，看不出想解决什么问题;

（2）相关过程交代不清，或没有交代，解答中有些字符、结论出现很突然，使阅卷教师云里雾里;

（3）解答跳步现象严重，有些结论的得到，缺少主要依据，前后也看不出有什么因果关系，

出现以上情况的主要原因就是因为平时不注重对通性通法的掌握，

因此，我们应该引导学生解题时立足基础，淡化技巧，规范书写.

3.3突出变式，强化能力

变式教学是高三复习常用的一种教学方法，波利亚对解题过程有着精辟的论述：不断的变换你的问题;我们必须一再地变化它，重新叙述它，直到最后找到某些有用的东西为止，教师需要在解题教学中将主问题及其变式串成一个系列，通过变式把问题进行深化、拓展，通过变式把相关的问题变成一个系列和一个主题，通过变式把原本单一的、离散的问题串成一个题组和一个整体，当然，变式本身必须要围绕相关问题的数学核心概念、数学核心思想展开，通过变式，把问题、方法、思想放在一个系统内，进行认识、梳理、整合，从而实现题目的一题多变、一题多解、多题一解、多题优解[3].

通过变式，教师要引导学生从多方面、多层次去理解数学问题，从变中发现规律，巩固基础，建立联系，发散思维，强化能力，在变的过程中，教师还要引导学生学会如何思考，完善学生的认知结构，真正提高学生分析问题、解决问题的能力.

3.4关注思维，提升素养

《普通高中数学课程标准（2017年版）》强调教师注重学生核心素养的培养，倡导独立思考、自主学习、合作交流的学习模式，并在教育过程中强调重视过程性评价，促进学生在不同的学习阶段数学核心素养水平的达成，高三阶段主要任务是复习，在这一年内，学生将经历一轮、二轮复习，基本上学生天天在做题，通过训练，学生的解题速度得到了一定的提高，但是，如果一味地追求做题，忽视在复习过程中对学生思维能力的培养，最后可能出现的情况是高考下来，感觉三年高中数学“白学”了.数学离不开思维，因此，在高三复习中，教师要根据学生的认知规律和思维特点，精选典题，精心研究教材内容的呈现方式，通过复习，不断发展学生数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析能力，培养学生的“四能”，关注学生数学思维能力的提高，能够灵活运用所学知识解决综合问题，

在本节课中，笔者尝试通过引领学生对问题进行探究，从易到难，层层递进，在挖掘试题的本质的过程中，培养学生数学抽象、逻辑推理等思维能力，以期提高学生的数学素养，

高考数学命题强调通性通法，压轴题也不例外，反观我们现在的高三复习，有些教师认为研究高考压轴题是浪费时间，所以不愿意花时间带领学生去领悟这些题目的味道，这就导致很多学生做到最后一题时放弃思考，其实，处理压轴题，学生在有效提取题设条件的关键要素和隐含信息后，需要做的就是坚定信心，仔细分析，联想突破，认真探究，合理转化，耐心求解[4].教师要认真研究考题，精心设置问题，带领学生通过复习获得清晰的知识网络，加深对数学知识的理解，提高自身的数学素养，

参考文献

[1]郭华.深度学习及其意义[J].课程教材教法，2016 （11）：25-32

[2]吴统胜.一道高考切点弦问题的探究与拓展[J].数学通讯（教师），2018（10）：51-56

[3]李刚.精选典题高效复习[J]。数学通讯（教师），2015 （3）：51-54

[4]梅磊、周珂.一道高考压轴题的多解、多思与多变[J].数学通讯（教师），2017 （2）：31-34

[5]中华人民共和国教育部制订，普通高中数学课程标准（2017年版）[S].北京：人民教育出版社，2018

[6]普通高中课程标准试验教科书（苏教版）数学必修5 [M].南京：江苏教育出版社，2012