基于DEM的黄土高原地貌分形美学图案研究

彭晓蕾，张青峰，王 睿，向昊黎，唐溶荟，张 锐

西北农林科技大学 资源环境学院，陕西 杨凌 712100

0 引 言

黄土高原是世界上最大的黄土沉积区，包含日月山以东、太行山以西，长城以南、秦岭以北的广阔地区，平均海拔为1500～2000 m，面积约为62.14万km2[1]。这一极具特色的地形地貌区，经流水长期强烈侵蚀，逐渐形成千沟万壑、支离破碎的特殊自然景观，丰富多样的自然景观不仅具有极高的地学研究意义，也蕴含着相当丰富的美学价值。

分形常常被定义为一个粗糙或零碎的几何形状，可以分成数个部分，且每一部分都（至少近似地）是整体缩小后的形状，具有自相似性、自仿射性和标度不变性。分形几何作为一门新兴的横断学科，自建立以来，很快受到各个学科领域的广泛关注。孙静等利用阴香木超微观构造图案设计分形美学图案，将丰富的构图关系融入阴香木超微观美学图案中[2]，韦晓丹等将香樟树不同微观构造得到的分形图案设计为多种风格和用途的装饰图案[3]，王旭婷等利用二值化及边界提取榆木微观构造图像后，获得榆木分形图像的纹理特征[4]；El-DARWISH I I介绍了分形在建筑中的演变以及当今建筑中分形设计面临的挑战[5]；蔡燕燕等通过改变参数探索Mandelbrot集的丝绸图案设计[6]。分形在各个领域赋予了图形创作新的形式，但在地形地貌方面尚少被人们发掘利用。为此，将分形与黄土高原自然景观所表现出的自相似性结合，进而探索开发黄土高原的自然美学价值，将地学美融入生产生活中，对于丰富地貌美学研究、拓展美学设计具有十分重要的意义。

1 材料与方法

1.1 实验材料

根据黄土高原地区综合治理规划大纲，黄土高原可划分为6个大的地貌类型区：黄土高塬沟壑区、黄土丘陵沟壑区、土石山区、河谷平原区、沙地和沙漠区、农灌区[7]。本文分别从这6个地貌类型区中选取甘肃省永靖县、山西省临县、河南省嵩县、陕西省蓝田县、内蒙古自治区杭锦旗、宁夏回族自治区盐池县为研究对象（图1），并收集了6个县的数字高程模型（DEM），数据来源于地理空间数据云平台SRTMDEM 90 m原始高程数据（图2）。

图2 6个研究区的DEM数据及其窗口裁剪情况Fig.2 DEM data of 6 study areas and their window clipping

在ArcGIS软件中，利用原始数字高程模型（DEM）数据对高程等值线、坡度、山脊线、山谷线、水系5种地貌因子进行数据提取。然后，以面积最大矩形窗口为原则，如图2中各个研究区的白色框线所示，对原始DEM数据和地貌因子数据进行裁剪并导出jpg格式文件。图2a为河谷平原区中的陕西蓝田县，地形复杂各异，水系镶嵌其中，图像中水系分形特征明显，窗口大小为26.912×40.533 km2；图2b为黄土高塬沟壑区中的甘肃永靖县，该区域内水土流失严重，主要由塬、坡、沟组成，相对高差大，比降大，汇流线长[8]，纹理清晰，窗口大小为28.533×29.196 km2；图2c为农灌区中的宁夏盐池县，位于黄土高原西北部，主要包括平原及周围山地，该区域中部高，东西两侧较低，高程分布具有一定对称性和规律性，窗口大小为47.541×48.664 km2；图2d为沙地和沙漠区中的内蒙古杭锦旗，风沙地貌显著，图像纹理较少，高程变化规律性较强且地面较为平缓，窗口大小为84.825×84.601 km2；图2e为黄土丘陵沟壑区中的山西临县，该区域内地貌类型主要为黄土梁和黄土沟，地表支离破碎，沟谷纵横，细节丰富，分形美感较高，窗口大小为38.148×34.137 km2；图2f为土石山区中的河南嵩县，地形破碎复杂[9]，图像纹理无显著规律，区域范围内相对高差较大，窗口大小为34.621×36.113 km2。

1.2 实验方法

将实验区jpg格式的原始素材导入Ultra Fractal软件，选择Kaleidoscope、Twist、Ripples等标准化分形变换并修改所对应的参数，然后加载Newton分形公式进行非线性迭代，通过软件预览窗口观察分形图案并导出最终的结果图案。

标准化分形变换是通过分形图案整体的变形和扭曲来获得不同的分形形状。本文使用的Kaleidoscope变换将原图案的径向切片进行旋转对称，Twist变换为原图案增加一个小范围的螺旋形变形，Ripples变换为原图案增加波纹效果。还可以通过调整变换中心坐标的实部（Re）和虚部（Im）获得不同形状的分形图案。标准化分形变换可以叠加使用，多重变换叠加的效果是在前一个变换的基础上进行的新变换，而不是对原图案分别进行单独变换后再叠加。

分形公式用于创建分形的基本形状和样式。本文采用Newton分形公式，该公式是通过牛顿法求解多项式方程而生成的。设f(z)是关于复数z的非线性函数，且f'(z)≠0 。牛顿迭代法是将f(z)=0逐次线性化的一种近似方法，迭代公式为：

对于给定的初值点z0，产生的序列{zn}将出现收敛和发散两种情况，可以通过改变方程f(z)=0来绘制分形图形[10]。

2 结果与分析

2.1 基于DEM数据的分形图案设计

在Newton公式集合下，使用Kaleidoscope变换对6个来自不同地貌区的原始DEM图像进行两次变换设计，得到黄土高塬沟壑区（图3A）、黄土丘陵沟壑区（图3B）、土石山区（图3C）、河谷平原区（图3D）、沙地和沙漠区（图3E）、农灌区（图3F）6个不同的分形图案，设计中使用的参数见表1。

图3 6种不同地貌设计出的分形图案Fig.3 Fractal patterns designed from 6 different landforms

表1 6种不同地貌分形图案的设计参数Tab.1 Design parameters of 6 different topographic fractal patterns

分形图案的自相似性与中国传统对称美学中以点面为核心、色彩和谐统一、两侧图案对称一致等特征有着极高的相似性，能够被广泛地应用到各类作品当中。通过在不同地貌区叠加相同分形函数集合来实现不同样式的对称模拟，不同地貌类型区的DEM图像的纹理、灰度均不同，因此即使是同一种分形函数集合操作也使得设计出的图案千差万别，并且每种图案都有其独特的美感。

由图3可以看出，以上6种不同地貌类型区的DEM数据分形图案在构成、纹理、灰度等方面均呈现出不同的风格，且具有极强的对称性。在DEM数据中，高程以灰度的形式反映，灰度越大，高程越大，因此高程偏小的地区在图像中明度较低，如甘肃永靖县的分形图案（图3A），亮度整体偏暗但纹理清晰，传递出有条不紊、简洁干练之感；高程分布较为均匀地区生成的图案具有较低的对比度，图像的灰度变化较小，如内蒙古自治区杭锦旗生成的图案（图3E），其整体均匀和谐，宛如荷叶的叶脉，极具朦胧端庄的传统美；高差较大的地区，即坡度变化大的地区具有更加丰富的纹理特征，以位于土石山区的河南嵩县为例，其坡度从0°～46.9°均有分布，并且集中分布于10°～25°之间，因此由它生成的图案（图3C）纹理丰富且对比明显，具有较强的立体感，加之其明暗交替出现形成了极富动感的形态。在山脊山谷发育明显的地区，其图案轮廓细致分明，位于黄土丘陵沟壑区的山西临县其境内山脉连绵延长，因此生成的图案（图3B）轮廓明晰，层次分明，具有更高的美感度。

2.2 基于地貌因子数据的分形图案设计

为进一步说明不同地貌类型区地形特征的美学价值，以蓝田县为例对其等值线、水系、坡度、山脊线、山谷线等不同地貌因子在Newton公式集合下，使用Kaleidoscope变换进行了分形图案设计。所得分形结果如图4所示。

图4 不同地貌因子设计出的分形图案Fig.4 Designed fractal patterns under different terrain factors

DEM制图与地貌因子制图之间的差异主要体现在图像灰度变化上。由于地面的高低起伏是连续的，因此图像中用于表示高程的灰度值的变化也是连续的。而等值线、山脊线、山谷线等地貌因子经过软件计算，它们之间的变化是间断的，那么相应图像灰度值的变化也不连续，在图像上更多表现的是线条样式图案。另外，虽然地貌因子数据设计时使用的分形公式和变换都相同，最终得到的图案也有较相似的样式，但是在灰度、纹理、轮廓等方面仍有较大差别，且各具特色。其中，将不同间距等值线设计出的图案对比可以发现：等值线间距越小，图案的线条越密、灰度值越小、局部纹理越丰富多样。不同阈值水系数据设计出的图案也有相似的规律。

2.3 不同变换集合的叠加图案设计

黄土高塬沟壑区作为黄土高原生态分区中分布面积最广的区域，塬面广阔平坦、沟壑纵横深切，极具黄土高原的自然景观特色，且地形支离破碎具有良好的天然分形特征。本文以黄土高塬沟壑区甘肃永靖县DEM数据为例，在Newton公式集合下，采用不同分形变换进行叠加来构造分形图案，说明通过不同分形公式叠加变换得到的图案在结构和内容上的差别（图5、表2）。

表2 黄土高塬沟壑区甘肃永靖县DEM数据的分形图案设计相关参数Tab.2 Related parameters of fractal pattern design for DEM data in Yongjing County, Gansu Province

图5 不同公式变换下黄土高塬沟壑区甘肃省永靖县DEM数据的分形图案Fig.5 Fractal patterns of DEM data in Yongjing County, Gansu Province under the transformation of different formulas

图案A1有规律的重复和排列，细腻的纹路和精致的花纹，凸显出古典气息；图案A2由四周向中央层层递进，原素材中的地形起伏转变为由明暗交错的线条填充的花纹，宛如镜像，远看有立体高低起伏之感；图案A3如同树木的年轮层层展开，有着严格的中心对称，饱含庄重严肃感；图案A4轮廓简洁大方，宛如天空祥云，中心图案波纹涟漪，宛如湖水碧波，极具中国古代花纹蜿蜒曲折之美；图案A5犹如花瓣的有序排列，其中的明暗纹理皆是错落有序，杂而不乱，蕴含着平衡、稳定之美；图案A6是旋转对称图形，其简练单纯的形状充满了运动的姿态，具有很好韵律感以及齐而不齐、乱而不乱的韵味。

3 结 论

黄土高原千沟万壑、支离破碎，具有许多独特的自然景观特征，如塬、梁、峁等。不同的景观在DEM数据中表现为不同的纹理结构，水系也展示出扇状、羽状、树枝状等不同的形态结构。这些源于自然的结构特征，具有极高的美学价值。用蕴含自然景观特征的DEM数据作为原始素材，与分形艺术相结合，可以将公式化的数学思维融入抽象化的图案设计中，得到包含着奇异线条和绚丽色彩的图案。这些图形将技术、自然、艺术融为一体，源于自然又高于自然，可广泛应用于服饰、家居用品、文创产品等设计中，是一种新的图形创作形式。

由于实验软件限制，本次实验仅以Kaleidoscope、Inverse、Twist、Ripples分形变换和Newton集合公式为例进行了初探，种类较为单一，其他更多公式的应用还有待深入研究。在数据上也仅选择了研究区的数字高程模型，未来可以尝试将其他不同类型的数据应用于地貌分形图案的设计中。与此同时，还可以建立起基于黄土高原地形地貌特征的分形美学评价体系，为分形图案的美学分类提供依据。