天平砝码对对碰

邵勇

到了发工资的日子，马小愉快地来到老板办公室，准备领工资。可是老板以面粉厂效益不好为由，想拖欠马小的工资。想领工资也可以，老板说马小得解决一个难题，才会给他发放工资。

为了满足不同客户的需求，你需要把厂里的面粉打包成不同规格的袋装面粉，质量分别是1 kg，2 kg，3 kg，……即千克数是从1开始的连续正整数。一定得是连续的，不能出现1 kg，2 kg，4 kg这样不连续的情况。

老板，我可以用厂里的面粉测量仪吗？

当然不可以，那个仪器很贵的，被你搞坏了怎么办？我私人赞助你1架天平和30个砝码吧。这些砝码的质量刚好都是1 kg的整数倍，够你用了。不过，用的砝码越少越好，多用的话会影响你的工资。而且你还不能用装好的面粉或者其他等质量的物品代替砝码，也不能通过混合装好的面粉得到其他质量的面粉。

初次尝试

老板的要求真是苛刻。为了能拿到工资，马小开始努力思考起来。要不，我先尝试2个砝码能称出多少种规格的袋装面粉吧。这样想着，马小拿起了1 kg和2 kg的砝碼。

马小先在天平左侧放上1 kg砝码，然后在天平右侧放上空袋子，一点点往袋子里加入面粉直至天平平衡，得到了1 kg装的面粉。同样地，在天平左侧放2 kg砝码，重复上述操作就可以获得2 kg装的面粉。

那3 kg装的面粉是怎么获得的呢？这个很简单，只需在天平左侧同时放上1 kg和2 kg这2个砝码即可。至此，马小用2个砝码，获得了3种规格的袋装面粉：1 kg装，2 kg装和3 kg装。但是，马小想要让砝码的利用率达到最高。有没有可能换用另外2个砝码，得到3种规格以上的袋装面粉呢？他尝试选取1 kg和3 kg这2个砝码，然后发现可以用它们称出4种连续质量的袋装面粉：1 kg装，2 kg装，3 kg装和4 kg装。

那马小是怎么利用这2个砝码称出2 kg装的面粉的呢？这就要依靠数学的方法了。根据数量关系“ 3-1=2”，我们在天平左侧放上3 kg砝码，再在天平右侧放上1 kg砝码和空面粉袋，最后在袋中一点点加入面粉，直至天平平衡。

马小又有了新的主意。如果选取2 kg和3 kg这2个砝码，是否可行呢？这样可以得到1 kg（1=3-2）装，2 kg装，3 kg装，5 kg（5=3+2）装的面粉，但是得不到4 kg装的面粉。这4种袋装面粉的质量是不连续的，不符合老板的要求。接着，马小还用了1 kg和4 kg这2个砝码，却得不到2 kg装的面粉。于是，马小最终得出这样的结论：

在只允许用2个砝码的情况下，要想获得从1 kg开始且尽量多的连续正整数的千克数的袋装面粉，用1 kg和3 kg这2个砝码是最好的选择，可以得到1 kg装，2 kg装，3 kg装和4 kg装这4种袋装面粉。

再加一个？

有了刚刚的小成就，马小开始继续研究3个砝码的情况。如果第一个和第二个砝码是1 kg和3 kg，那么第三个砝码是多少kg呢？刚刚用1 kg和3 kg这2个砝码得到的最大质量是4 kg，那么接下来想要得到5 kg装的袋装面粉，马小应该怎么做？

一开始马小用减法增大了面粉的质量，从而增加了袋装面粉的规格种数。所以，接下来马小想通过“9-4”得到5 kg装的面粉。于是，他选的第三个砝码质量为9 kg。这样，通过减法可以得到5 kg（5=9-4），6 kg（6=9-3），7 kg（7=9+1-3），8 kg（8=9-1）这4种规格的袋装面粉，当然9 kg装的面粉也可以轻松获得。这时，有的小伙伴可能会问：10 kg不是更大吗，那用10 kg砝码替代9 kg砝码行不行？这是不行的，因为10 kg减去最大的4 kg得到的是6 kg装的面粉，减去更小的3 kg，2 kg或1 kg，更不可能得到5 kg装的面粉，这时面粉的质量就不连续了。

其实，选取9 kg作为第三个砝码还有别的好处。只用1 kg和3 kg这2个砝码，可以称得质量分别为1 kg，2 kg，3 kg和4 kg的袋装面粉。那么，有了9 kg这个砝码后，还可以称出10 kg（10=9+1）装，11 kg（11=9+3-1）装，12 kg（12=9+3）装和13 kg（13=9+3+1）装这4种规格的袋装面粉。当3个砝码全都放在天平左侧时，13 kg已是可称得的最大质量了。

目前已经可以称出13种规格的袋装面粉了。马小还想继续称出14 kg装的面粉。“14”可以通过减法“27-13”得到，所以，他选取的第四个砝码就是27 kg。这时，4个砝码的质量分别是：1 kg，3 kg，9 kg和27 kg，可称得的最大质量是1+3+9+27=40（kg）。大于13 kg又小于40 kg的质量可以通过 “加减法”获得。

比如，要称19 kg的面粉，马小可以先在天平左侧放上27 kg的砝码。根据27-19=8，马小还得在天平右侧加上8 kg的砝码，“8”可以通过“9-1”得到，即先在天平右侧放9 kg砝码，再在左侧放1 kg砝码。待右侧加上19kg面粉时，天平平衡，总的平衡式为27+1=19+9。

有趣的规律

马小总结了在这几次称重中所用到的砝码质量，分别是：1，3，9，27，……而这串数字有一个奇妙的规律：

30，31，32，33，……

这是一个等比数列，即从数列的第二项起，每一项与它前面一项的比值是一个常数。这个常数称为公比。

照此规律，若用6个砝码，则这6个砝码的质量分别是：1，3，9，27，81，243。这些砝码可以称出从1 kg开始，一直到364 kg为止的连续正整数千克数的364种袋装面粉。而且，砝码的个数、质量与面粉规格种数有如下的递推关系。

最终，马小顺利解决了老板抛出的难题，领到了工资。马小还利用总结出的规律，多次成功地应付了老板的刁难。