烦人的无限小数

有一次，4

8，20

5和4

12在分数小屋一起玩变身游戏，它们先变成了1

2，4

1和1

3。紧接着，4

8 变成了0.5，20

5变成了4。轮到4

12了，它的身体开始飞速地长大，变成了0.333……幸亏4

8拿出了祖传药——循环丹，将4

12变成了0.3 ，分数小屋才没有被撑破。

这是怎么回事？为什么有些分数可以变身成常见的小数，而有些却变成无限小数了呢？

我将4

12拿过来，先在它身上做研究。4

12= 4

2×2×3，好像看不出有什么特别之处，于是我决定把其他的分数2

80，6

57，66

99，1

21，7

50 也拿来做研究，今天我非要把它们研究明白不可。

我先对分数进行化简，再将分母展开成质因数相乘的形式，最后化为小数。

2

80=1

40=1

2×2×2×5=0.025                 ①

6

57=2

19=0.105263157……                        ②

66

99=2

3=0.6                                                   ③

1

21=1

3×7=0.047619                                   ④

7

50=7

2×5×5=0.14                                    ⑤

這下子“捣蛋鬼”就被揪出来了！从式子中可以看出，分母的质因数中只包含2和5（式子①、⑤）这两个数字，那么分数就可以化成一个有限小数;如果分母的质因数里有3，7，19（式子②、③、④）等这些“烦人”的数，那么只要分子是除0外的任意数，分数化成小数后都会成为无限小数。

“病根”找到了，那么“病因”呢？一位合格的“数学医生”可不能如此草率地下结论。于是，我继续做了以下研究。

我先设一个任意正整数为a，则有a=a×1

10×10，记为⑥式。

在⑥式左右两边同时除以2，则有a÷2=a×1

10×10÷2=a×1

10×5。

在⑥式两边同时除以5，则有a÷5=a×1

10×10÷5=a×1

10×2。

看，任意一个正整数除以2时就等于这个数缩小10倍再放大5倍，所得的值不可能是无限小数。同理，任意一个正整数除以5时就等于这个数缩小10倍再放大2倍，也不可能得到无限小数。所以，当分母只包含2和5，或者若干个2和若干个5的乘积时，这个分数都不可能化成无限小数。

我们还可以这样理解。在除法中，如果除数是2或者5，或2n、5n等这些数时，它们总会被十分位、百分位、千分位上含有0的数约掉，但3，6，7，9，11等数则无法被约掉，最后就变成无限小数了。

以上就是我对无限小数的诊断结果，大家觉得我这个“数学医生”是否称职？

指导老师 廖 宽

陈思怡  5月3日  15：47：35

罗逸真是华佗再世！通过你的诊断结果，我一下子就明白了分数为什么会变成无限小数。但为什么还要再分为无限循环小数和无限不循环小数呢？统称为无限小数不就行了吗？请“神医”在线解答！

刘秋月  5月3日  15：59：01

有理数是整数和分数的统称，其中无限循环小数是有理数。而无理数代表不能写作两个整数之比的小数，也就是无限不循环小数。两者所属的集合不同，所以有时候需要单独分开谈。

高福奥  5月3日  16：30：21

原来数学也和我们班里一样，有不少不安分的“刺头”，并不都是性质相同的“乖宝宝”，这让我更加喜欢上了数学这个大家庭。