基于数学大观念理论的单元整体教学建构——以北师版小学数学教材六年级上册“比的认识”为例

董文彬

（北京市海淀区中关村第一小学教育集团）

英国学者查尔斯在“作为中学数学基础的伟大思想和理解”一文中将“数学大观念”定义为：对数学学习至关重要的观念的陈述，是数学学习的核心，能够把各种数学理解联系成一个连贯的整体。澳大利亚维多利亚州教育和儿童早期发展部将“数学大观念”界定为：是思考数学某些关键方面的一种观念、策略或方法，涵盖并联系着其他多种观念和策略；是一种理想化的认知模型，它提供了支持进一步学习和概括的组织结构或参考框架；无法明确界定，但可以在活动中观察。查尔斯认为数学大观念应当居于数学学科的核心位置，并且能够用其将数学构建为连贯的整体。澳大利亚维多利亚州教育和儿童早期发展部认识到数学大观念对于关键知识、技能、思想方法的学习具有重要价值，并指出数学大观念应当落实到实践中去，并可以在活动中观察。由此，数学大观念的本质内涵应是：结构、联系和迁移。

“比的认识”作为“数与代数”领域两种数量关系教学的核心内容，是发展学生模型思想的重要学习载体，在小学数学课程中占有十分重要的地位。教学中，应依据教材和学情，基于数学大观念理论对“比的认识”进行单元整体教学建构，发展学生的数学模型思想这一数学素养。

一、基于数学大观念的概念解释和本质思考

“比的认识”这一单元属于“数与代数”领域内容。在单元教学时，我先对“比”的概念解释和“比”的本质进行了系统梳理与思考。

（一）“比”的概念解释

由此可见，相比于《辞海》和现行教材，我国台湾地区教材对“比”的概念解释——对并置的两个量对等关系的记录，更接近“比”的本质。

（二）“比”的本质思考

东北师范大学史宁中教授认为，“比”的本质其实就是两个数量倍数关系的表达和度量。度量包括两个要素：一是度量单位；二是度量单位的个数即度量值，也称“量数”。通过测量，用“量数=量/度量单位”表示度量的结果。物体的长度、面积、体积、质量等具有可度量的属性，而颜色、形状、质地等属不可度量的属性，要用“比”来记录对等关系。

关于度量与“比”的本质联系，具体体现如表2。

表2 “比”与度量本质联系的具体体现

由此可见，与度量相比，“比”能找到与其一一对应的本质属性。如果这种一一对应的本质联系姑且算作“比”的外在特征的话，那么用“比”记录两个量的对等关系，进而刻画物体不可度量属性的可比性则是“比”的内在表现。

二、基于数学大观念的单元教材分析

在理清关于“比”的概念解释、进行“比”的本质思考基础上，基于数学大观念，我对单元教材分析如下。

（一）纵向梳理教材——构建知识体系

“比”是对两个数量之间倍数关系的表达和度量。以北师版教材为例，关于两个数量之间关系的认识与学习路径，体现如图1所示。

图1 两种数量之间关系的认识与学习路径

“比的认识”是在第一学段经历了比较（比大小）、除法意义与倍的认识、分数的初步认识、以及第二学段分数的再认识、百分数的认识基础上展开学习的。从比差到比率，“比的认识”更加凸显数量关系的丰富性、联系性、独特性（比不仅能刻画同类量的关系即倍比关系，也能刻画不同类量的关系即衍生的量）。从常量世界到变量世界，“比的认识”也是后续学习比例，正、反比例以及第三学段函数等其他有关方面知识的重要基础。特别需要说明的是，“比的认识”是在学生已经学习过分数乘（除）法的意义和计算、分数的意义及基本性质以及分数与除法的关系基础上继续学习的，这些知识都是学习本单元内容的直接基础和重要经验。“比的认识”是对分数意义认识的丰富，是分数的认识在经历了前两个阶段（分数的份数定义、商的定义）之后的第三阶段（“分数的比”的定义），理解“比”的本质意义能够帮助学生进一步完善认知结构和构建知识体系。

（二）横向对比教材——把握“比”的本质

关于“比的认识”，对比人教版、苏教版和北师版教材的编排我们发现，无论是人教版、苏教版还是北师版教材，都通过创设丰富的情境，如牛奶与果汁的关系、国旗长与宽的关系、照片的像与不像、路程与时间的关系、总价与数量的关系等，让学生经历从具体情境中抽象出“比”的过程，充分感知“比”、体会“比”的意义。各版本的教材都从两个角度呈现了“比”的意义：一个是用“比”刻画两个同类量之间的关系，另一个是用“比”刻画两个不同类量之间的关系。最终都呈现了对“比”的概念解释：两个数相除又叫做两个数的比（北师版、苏教版表述）；两个数的比表示两个数相除（人教版表述）。

在内容编排上，本单元提供多种问题情境和呈现方式，让学生经历从具体情境中抽象出“比”的过程，体会引入“比”的必要性以及“比”在生活中的广泛存在，并按照“比的意义—比的化简—比的应用”的顺序进行学习，层层进阶，深入理解“比”的意义，建构“比”的模型，在不断深入学习中发展学生的模型思想，提高问题解决能力。

三、基于数学大观念的单元学情分析

为了解学生在学习“比的认识”之前对“比”的理解程度，我对六年级学生进行了前测调研。为避免“问题2”对“问题1”造成干扰和提示，用两个班共计74人测试“问题1”，用另外两个班共计69人测试“问题2”。

问题1：你在生活中听过或见过“比”吗？请你用自己喜欢的方式把它表示出来。（意图：调研学生对“比”的生活经验和认识程度）

问题2：有一种泡泡液，要把它调制成泡泡水来吹泡泡。按照说明，其中1:2是什么意思？你知道该怎样使用这种泡泡液吗？（意图：调研学生对配比情境中“比”的意义的理解状况）

“问题1”的调研结果分析如表3。

表3 “问题1”学生作答结果统计表

通过对六年级两个班共计74名学生的前测可见：

其一，学生都听过或见过他们心中的“比”。说明对于生活中的“比”有着丰富的经验和表达，但仅有35.1%的学生举出了数学意义上的倍比关系的例子。而举例并能正确解释的学生只占31.1%，且其中有8.1%的学生举例时还涉及赛场上的比分，另有4%的学生无法对“比”做出解释。由此可见，有近七成的学生没有触及“比”的本质，不能理解“比”的意义。

其二，有13.5%的学生对“比”只停留在的字面意义层面上的认识。部分学生对“比”的认识仍停留在感性比较上，比如谁比谁长得好看，谁比谁写字好；当教师提到百分比的例子时，因为这部分学生还未学习百分数，之所以能提及百分比，也只是因为百分比中有“比”这个字而已。有4.1%的学生仅掌握举例形式的“比”的知识，如“比”和除法、分数的互化，“比”的化简等。为进一步了解他们是怎么写出来的，我对这部分学生进行了追访，通过追访发现，学生仅是通过课前预习或家长告知而获得了对“比”的程序性或技能知识，而对“比的意义”的认识还是模糊不清的。

其三，高达45.9%的学生所举的都是生活中比差关系的例子。比如比大小、比多少、比长短等，说明比差关系是学生认识比最原始的基础和经验，也是本单元理解“比的意义”的最大障碍，必须加以区分。特别需要说明的是，有18.9%的学生谈及了赛场上的比分，这说明在本单元“比的意义”的基础上，对二者进行区分十分有必要。

通过对六年级另外两个班共计69 名学生关于“问题2”的前测（如表4）可见：

表4 “问题2”学生作答结果统计表

其一，对于现实生活简单配比情境中的“比的意义”，有79.7%的学生能够从份数和倍数关系的角度作出正确解释，且其中还有2 名学生联系了分数意义来对“比”作出解释。这说明在本单元建立“比的意义”学习之前，学生已经有了一定的知识经验。份、倍、分数等这些知识经验有助于学生理解“比的意义”，为建立“比”的关系模型提供必备的学习基础。配置泡泡水这样的配比情境十分贴近学生生活，多数学生都有吹泡泡的生活经验，这样的经验能够帮助他们解释“比的意义”，说明创设这样贴近学生生活的配比情境对于本单元学习是十分必要的。

其二，有20.3%的学生对“比的意义”作出错误解释或完全解释不清，需引起教师的特别重视。另外，即便学生能解释简单情境中“比的意义”，也未必真正建立了“比”的关系模型。因此，本单元需要创设丰富的问题情境，帮助学生在问题解决中逐步建立、拓展和丰富“比”的模型，层层深入理解比的意义，深化对“比”的本质认识。

四、基于数学大观念的单元整体教学体系构建

基于上述单元教材与学情分析，我产生了一连串的问题与思考：两个数相除又叫做两个数的“比”是否能够准确定义“比”？除法就是“比”，还是“比”就是除法？二者是等价的吗？有了除法和分数，为何还要学习“比”？“比”独特的价值体现在哪里？到底什么是“比”？“比”的本质是什么？为此，我拟定了“比的认识”的单元问题框架（如图2）。

图2 “比的认识”单元问题框架

在这个问题框架下，结合大观念理论，我对“比”的认识如下。

其一，“比”的本质是表达和度量两个数的倍数关系，是刻画事物某种属性的重要模型。“比”源于同类量的比较关系，但是可以推广到“不同类量”的情形。不同类量的“比”可以产生新的量（衍生的量）。

其二，“比”源于度量，度量解决了物体可度量的属性，“比”更多是为了表征隐含于数量之中的、不可度量的事物属性，这也是除法所不能及的。

其三，认识“比”可为比例的学习做准备，并可以扩展为一种变量之间的正比例函数关系。

其四，要在以上过程中发展学生的模型思想、度量思想，提高问题解决能力。

基于此，我在大观念的引领下对“比的认识”进行单元整体构建，确定了“比的认识”单元学习目标和学习重难点。

【单元学习目标】

一是在大量丰富的问题情境中逐步感知“比”，理解“比的意义”及其与除法、分数的关系，能正确读写“比”，知道“比”的各部分名称，理解比值的概念，能正确地求出比值。会正确化简“比”，并能解决一些简单的用“比”刻画事物不可度量属性的可比性的问题。

二是经历从具体情境中抽象出“比”的过程，体会引入“比”的必要性以及“比”在生活中的广泛存在与应用，能运用“比的意义”解决有关按比分配的实际问题，感受“比”的价值，丰富认识，提升思维，培养度量意识，发展模型思想。

三是作为学习共同体的一员，使学生在问题解决的过程中形成联系的视角，培育严谨求实的态度、勇于尝试的精神和持续思考的勇气，感受数学的应用价值，享受数学思维的乐趣，获得成功的体验。

【学习重点】

经历从具体情境中抽象出“比”的过程，理解“比”的意义，合理应用“比”解决实际问题。

【学习难点】

理解比的意义，感悟“比”的价值。

本单元学习主题为“作为关系的比——比的认识”，在大观念引领下设置三个课题“比的意义”“比的化简”和“比的应用”，共计5 课时。“比的意义”设置2 课时，以两个分课题“生活中的比（一）”和“生活中的比（二）”分别进行学习，其中“生活中的比（一）”设置1 课时，在聚焦“哪几张图片与A 比较像”的核心问题下设计学习活动，主要是指向认识“比”用来刻画同类量关系，建立“比”的模型。“生活中的比（二）”设置1 课时，在聚焦“哪个游泳池更拥挤”的核心问题下设计学习活动，主要是指向认识“比”用来刻画不同类量关系，拓展“比”的模型。“比的化简”设置1 课时，在“哪杯水更甜”的核心问题下设计学习活动，主要是指向再理解“比”所表示的两个同类量关系，再认识“比的意义”，丰富“比”的模型。“比的应用”设置2 课时，以两个分课题“比的应用（一）”和“比的应用（二）”进行学习，分别聚焦“橘子怎样分合理”和“怎样调制巧克力奶”的核心问题下设计学习活动，主要是指向深化理解“比”用来刻画同类量关系，再认识“比的意义”，应用“比”的模型解决问题。

本单元通过对三个主课题的学习，帮助学生逐步理解“比的意义”，建构“比”的模型，深化“比”的关系本质，以完成对“比”完整、丰富而又立体的认识。整个单元基于学生从比差到比率的思考角度，确定单元内容线索，单元构建有根基；通过对同类量与不同类量关系的刻画与理解构建“比”的关系模型，实现建构，单元构建有逻辑；模型贯穿单元每个课时，通过单元整体构建实现模型思想发展的进阶，单元构建有张力（如图3）。

图3 “比的认识”单元整体教学结构