运用数形结合思想处理初中数学二次函数问题的探究

黄清山

（晋江市侨声中学，福建 晋江）

本文结合具体教学例题，对数形结合思想在初中数学二次函数教学中的具体应用进行了详细的分析论述，旨在通过此次研究分析，明确数形结合这一教学思想的具体价值，提升二次函数教学的效果，帮助学生更好地建立数学思维。

二次函数是初中阶段数学教学中非常重要的一个知识点，也是教学重难点之一。由于函数知识相对比较抽象，因此很多学生对知识点的理解不是很到位。若想解决学生在学习过程中出现的问题，当前最为有效的教学方式就是通过数形结合的教学思想，巩固学生对函数的理解，让学生具体理解二次函数的性质，使知识点之间的横向连接更加紧密。运用数形结合思想，可以将复杂的函数问题进行简单化处理，推动学生抽象思维能力的优化形成，强化学生的数学解题能力，为后续阶段更为复杂的函数学习打下坚实的基础。基于此，对数形结合思想在二次函数教学中的具体应用进行详细的分析。

一、数形结合思想的具体概念

数形结合思想是初中数学教学中非常重要的教学思想之一，其内容为“以形助数，以数辅形”。著名数学家华罗庚也对数形结合的思想进行了深入的研究，他认为，“数以形而直观，形以数而入微”，这在根本上肯定了数形结合思想在数学教学中的价值。数形结合思想的运用主要分为两个方面，第一方面是通过图形的直观性来明确数和数之间的联系，将图形作为教学的主要手段，数作为教学的主要目的；第二方面是通过数的规范性和严密性来明确图形的具体属性。这样一来，通过数形之间的全面转化，将一些复杂的数学问题进行简单化处理，并将抽象的数学问题变得更加具体。数形结合作为初中数学教学应用最为广泛的教学思想之一，对于培养学生的数学思维、建立数学学科素养有着举足轻重的作用。

二、数形结合思想在初中数学教学中的主要作用

目前，数形结合思想在初中数学教学中的使用非常频繁，已经全面融入了教学内容中。通过数形结合思想开展教学，首先能够提高学生的学习注意力，利用图形直观性的优势，避免了学生由于代数抽象性的原因注意力不集中。同时，教师应用数形结合思想还能够提升学生的学习趣味性，全面激发学生的学习兴趣和学习热情，提升学生的空间整合性思维，增强数学分析的能力。

具体来看，数形结合思想在初中数学函数问题教学中有独特的价值，目前已经成为初中函数教学中最主要的方式。数形结合思想极大地简化了与函数相关的单一型或复合型数学题目的解题步骤，以最简单清晰的方式解决数学问题。此外，针对一些应用性比较强的题目，数形结合思想能够帮助学生更好地理解题目的含义。最后，在函数不等式这一教学难点上，数形结合思想也发挥着非常突出的价值，可以利用图像确定取值范围。

三、数形结合思想在初中数学二次函数教学中的具体应用策略

（一）巩固学生对函数概念的理解

初中阶段的数学教学，要求学生全面掌握函数的常量、变量，明确函数的具体意义，并精确分辨函数的常量和变量之间的关系。为了加深学生对函数知识的理解，教材中也加入了很多生活化的例子，例如，一天当中气温的变化趋势，快递重量与邮费之间的变化关系等。通过这些例子，引导学生得出函数的一个量是随着另一个量的变化而产生变化的结论，并让学生理解函数在我们的生活中是大量存在的，从而认识到函数概念构建的必要性。在传统化教学方式下，学生对函数概念的理解是非常机械化的。例如，在一次函数和反比例函数的学习上，学生利用函数的表达式可以对变量之间的函数关系进行判断，但是这种方式并不能让学生探索两个数量之间变化关系的具体区别，一旦遇到全新的问题，就无法构建函数模型来解决问题。这种现象从本质上来看，就是没有建立相应的函数思想理念，对于函数模型的应用能力掌控不足，对函数知识板块的整体理解是有问题的。而在数形结合思想的帮助下，学生对函数的理解会更加全面，针对不同的问题，可以灵活运用函数的全部知识点构建函数模型，最终解决相关问题。

例如，在二次函数的概念认知方面，教师可以举一些生活中的例子，通过生动形象的示例来明确二次函数所表述的关系。学生在探寻变量之间关系的过程中，就可以得到函数的解析表达式。表示函数关系的方法有很多种，具体来看有解析法、列表法、图象法，教师要将这些函数的表现形式都展现在课堂中，并将函数当中的有序实数对和函数图象上的点进行一一对应，这样通过数形结合的方式，帮助学生加深对函数的理解。鉴于这种情况，教师需要在学生得出函数表达式之后，找到各个数量之间的具体变化关系，之后使用平面直角坐标，将数转化成为图象上的点。这样的话，就可以通过图象看到函数数量之间的变化情况，也就实现了从数到形，再从形到数的转化。并且通过图象，教师可以让学生深刻理解二次函数所展现的具体变化关系，明确与其他类型函数的不同点。同时理解数值的取值范围与图象变化之间的关联情况，最终将数和形形成一个对应的关系。

（二）通过图形全面理解二次函数的性质

二次函数当中的自变量和因变量的变化都是非常抽象的，如果单纯从表达式和文字的角度去理解的话，学生对性质的把握不准确。因此，教师需要通过数形结合的方式，让学生将函数具体的曲线画出来，并找到图象中对应的数值，进而让学生深刻地理解二次函数的具体性质。

在二次函数性质的课堂教学中，教师首先要引导学生列出表格对数据的特点进行分析，之后根据表格数据指导学生自己画出函数的曲线，将函数表达式的具体特性展现在图象中。

通过这种数和形转换过程中的训练，学生在绘制图象时就能够对二次函数的性质进行整合思考。此外，学生在学习二次函数性质时，首先要对基本图象充分了解，指导学生利用图象的移动感受性质变化的具体过程，同时明确常数在二次函数图象当中的作用，了解每一种二次函数图象的开口方向。通过对二次函数常数的变化以及图形变化关系的观察，学生就可以很清楚地了解二次函数图象变化的具体规律，按照图象的特性，确定二次函数表达式中变量的取值状况。同时教师在教学过程中需要注意的是，虽然图形与表达式相比更加直观具体，但是如果明晰二次函数的具体性质，如图象的顶点坐标位置，以及和x 轴与y 轴的交点坐标位置等，就需要通过代数的精确计算来实现图形转化为数的形式。针对二次函数的具体变化，通过数形结合的方式都能够达到意想不到的效果，因此通过数形结合的方式理解二次函数的性质，不仅可以将抽象的知识抽丝剥茧，以直观的方式展现在学生眼前，同时还能给学生带来准确的理性认知，将数学知识运用得更加灵活，高效准确地解决各类数学问题。

例如，以下题目：一条抛物线y=ax2和四条直线x=1，x=2，y=1，y=2 所围成的正方形存在公共点，那么 a 的取值范围应当是多少？这道题如果单纯从代数的角度去思考的话，是很难解出来的，而一旦画出图象，这道题的解题难度就会降低很多，按照题目画出的图象如下：

通过图象，我们可以发现四个交点的坐标为A（1，2）、B（2，2）、C（1，1）、D（2，1），而抛物线 y=ax2是开口向上的，也就是a＞0。如果y=ax2经过D 点时开口是最大的，那么将坐标代入可以得到；如果 y=ax2经过 A点时开口最小，那么将坐标代入就可以得到a=2。因此我们就可以确定a 的取值范围因此我们可以看到，通过图象解决这个问题是非常轻松的。因此我们在教学和解题训练中，一定要注重利用数形结合的思想，通过最便捷的方式进行解题。

（三）构建二次函数知识点之间紧密的横向联系

数学是一门知识点连接非常紧密的学科，二次函数的知识点和一元二次方程以及一元二次不等式之间的联系都非常紧密。如何帮助学生正确理解这些知识点之间的关系，是教师的教学重难点之一。在这种情况下，教师就需要通过数形结合的思想将这些知识点之间的联系都直观地反映出来，最终提升学生的数学解题和综合分析能力。事实上，数形结合思想可以最大限度地提升学生的解题能力和研究分析能力，通过数形结合的方式，学生本身的数学认知结构和知识脉络都会更加清晰，并帮助学生形成数学问题迁移与联想的能力。

例如，下面的这道例题：直线y=x+k 和抛物线y=3x2+5x+1 存在两个交点，求k 的取值范围为多少。这道题实际上考查的是二次函数和一元二次方程组之间的联系，其目的是求两个方程之间的公共解。因此可以按照题目的说明列出一元二次方程组，之后对这个方程组进行求解，就能够完成数形之间的合理转化，以最简单的方式进行解题。在后续的解题步骤中，该方程组进行联立之后通过移项处理得到图形。按照题目的意思，该方程有两个不相等的实数根，因此可以得到k>0，这样通过简单的计算，k 的具体取值范围就能够确定了。

（四）解决进阶性二次函数问题

关于二次函数的考点，最难的就是函数抛物线的平移，这也是初中数学应试当中的“拔高题”。很多学生一碰到这种题，就会自觉地打起退堂鼓。其实这种类型的问题通过数形结合思想是非常容易解决的。比如，将抛物线y=2x2向右平移2 个单位和向下平移3 个单位，问这个抛物线的函数表达式是什么。这种问题如果不通过图象的方式求解的话，可能会需要耗费很多的时间。而结合图象就可以在图象上直接进行移动操作，最终得到平移后的抛物线为y=2（x-2）2-3。而且通过图象的移动，学生还能够得到抛物线平移的一个规律，那就是向左右移动的话，需要在变量x 的后面进行加减；向上下移动的话，则需要在整个函数表达式的后面进行加减。

关于函数抛物线平移的问题，还有很多种考查方法，如这道例题：已知函数y=ax2+bx+c（a≠0）的函数图象经过点 A（1，2）、B（3，2）、C（5，7），如果点 D（-2，y1）、E（-1，y2）、M（8，y3），同样在该函数图象中，那么 y1、y2、y3之间的大小关系是什么样的？在传统解法下，这道题的求解首先要充分利用题干当中的条件，代入A、B、C 三个点的坐标得到函数的表达式，之后再将D、E、F 的x轴坐标值代入函数中依次求得y1、y2、y3的值。这种解法需要大量的计算，如果通过数形结合的方式，那么解答起来就会更加简单。通过A、B、C 这三个点的坐标就可以明确该抛物线的对称轴是x=2，开口的方向是朝上的。所以在对称轴的左侧，也就是x 的值小于2 的情况下，y 的值会伴随着x 的增大而减小；与此相反在x 的值大于2 的情况下，y 的值会伴随着x 的增大而增大。因此通过图象我们就可以得出y1＞y2的结论。同时点F 与对称轴之间的距离大于点E 到对称轴的距离，由此可以判断出三者大小关系y1＜y2＜y3。在这种解题方式下，学生的解题思路更加清晰，同时也节省了解题的时间，对学生解题思维和解题能力的提升都是非常有帮助的。

总之，数形结合思想渗透于整个二次函数的教学，其具体事例举不胜举。教师应在日常的教学过程中，通过引导学生准确理解二次函数的图象及其性质，找准解题的突破口并正确地进行数形之间的转化，让学生逐步掌握运用数形结合思想解题的方法，实现学生数学素养的提高。