高速重载圆柱齿轮弹流润滑数值分析*

王秋菊 刘振刚 乔恒稳 邢 彬 牟佳信 侯岩锟 胡敦珂

(1.中国航发沈阳发动机研究所 辽宁沈阳 110015；2.中国航空发动机集团航空发动机动力传输重点实验室 辽宁沈阳110015；3.西北工业大学动力与能源学院 陕西西安 710072)

随着航空发动机向着高转速、高载荷、高可靠性方向的发展，齿轮系统工作条件日趋恶劣。为了减少齿轮系统因润滑不佳导致的胶合失效等问题发生，需要对齿轮润滑效果进行分析，全面掌握齿轮润滑状态。目前，弹流润滑问题数值求解方法主要有逆解法、Newton-Raphson法(有限差分法)、复合直接迭代法和多重网格法[1]。20世纪50年代末，DOWSON和HIGGINSON[2]提出的逆解方法成功地应用于求解线接触弹流润滑问题，并提出了被广泛应用的线接触Dowson-Higginson膜厚公式。PARK和KIM[3]用有限差分法得到了有限长线接触等温弹流润滑的完全数值解。艾晓岚和俞海清[4]提出了复合直接迭代法，通过构造一种适用于求解线接触非稳态问题的迭代格式，得到弹流问题完全数值解。

BRANDT和LUBRECHT[5]首次提出多重网格法计算弹性变形量，很快成为研究弹流问题的重要手段。袁祥等人[6]发现在中重载的情况下，次表面应力随滑油黏度与卷吸速度增加的变化规律。尹昌磊等[7]求解了线接触Newton流体热弹流润滑特性。GUO等[8]研究了稳态点接触热弹流润滑问题，并获得了经典的大凹陷形状。ZHANG等[9]研究发现，随着两啮合表面速度的降低，经典的大凹陷会演化为接触区中央的小凹陷并最后消失。王明凯[10]发现转速、润滑油黏度的变化，均会影响油膜压力及膜厚分布。刘明勇等[11]发现环境黏度高的润滑油油膜厚度增加，第二压力峰值也增大。方特和刘少军[12]基于弹流理论与热网络法求解了轮齿稳态温度分布。韩强等人[13]发现当速度线性变化时，膜厚基本上也以线性变化，加速度越大，膜厚的变化越快。综上所述,目前的数值研究主要针对低速或者中低载荷的齿轮油膜计算[14-15]，对于高速重载齿轮的油膜数值研究还有待进一步开展。

本文作者从线接触理论着手，采用复合直接迭代法，对航空发动机传动系统中高速、重载圆柱直齿轮润滑状态进行仿真分析，研究不同功率、不同转速、不同温度对齿轮啮合区压力、油膜厚度、油膜温度的影响。数值计算结果可为航空发动机齿轮系统润滑冷却设计提供理论参考。

1 线接触热弹流润滑数学模型建立

1.1 当量曲率半径求解

圆柱直齿轮的啮合属于线接触。对于两直齿圆柱齿轮的啮合，通过等效思想可以将齿轮接触等效为一个圆柱与一个刚性平面的接触问题，在此基础上可以利用热弹流润滑理论计算齿轮油膜厚度。如图1所示，齿轮在各自啮合点处的曲率半径R1和R2、综合曲率半径R分别为

R1=rb1tanα+s

(1)

R2=rb2tanα-s

(2)

(3)

式中：rb1、rb2表示齿轮的基圆半径；α为压力角；s为啮合点距离节点的距离。

1.2 卷吸速度求解

根据当量曲率半径计算得到2个齿面的绝对速度分别为u1和u2(见公式(4)、(5))，并将两齿面速度的算术平均值定义为卷吸速度us，见公式(6)：

(4)

(5)

式中：n1、n2为主动轮、从动轮的转速。

(6)

1.3 单位长度载荷求解

齿轮受到的扭矩：

(7)

式中:M为扭矩(N·m)；P为加载功率(kW);n为转速(r/min)。

齿轮所受到的法向力为

(8)

式中:d1为齿轮分度圆直径(mm)；α为齿轮压力角。

线接触圆柱齿轮承受单位长度上载荷W(N/m)为

(9)

式中：B为齿轮齿宽(mm)。

2 线接触热弹流润滑理论基本方程

(1)线接触Reynolds方程如下：

(10)

线接触边界条件：

入口区p(x0)=0

出口区p(xe)=0

式中:ρ为油膜密度;h为油膜厚度;η是油膜黏度；p为油膜压力；u为X方向的速度。

(2)载荷平衡方程如下：

(11)

式中:p(s)为载荷分布函数;w为外加单位线载荷。

(3)圆柱齿轮啮合简化为当量弹性圆柱体和刚性平面接触时，任意点x处的油膜厚度方程如下：

(12)

式中:h0为中心膜厚;R为当量曲率半径;v(x)为各点沿垂直方向的弹性位移，其表达式如下：

(13)

式中:s是x轴上的附加坐标，它表示任意线载荷p(s)ds与坐标原点的距离；s1和s2分别为载荷p(x)的起点和终点坐标；E′为当量弹性模量;c为待定常数。

(4)连续方程表达式如下：

(14)

式中:w为膜厚方向速度。

(5)油膜的能量方程如下：

(15)

式中:cp是滑油质量热容;k是滑油导热系数;β是热膨胀系数;Φ是耗损函数。

(6)固体区域的能量方程如下：

(16)

对于弹流问题，关注的是固体与润滑膜接触表面的温度而不是固体内部的温度分布，假设传热是稳态。由于齿轮结构体的厚度远大于油膜厚度，因此将其简化为半无穷区域，继而获得该区域的解析解，从而可以直接建立齿轮与油膜的热界面方程：

(17)

式中：Ui(i=1,2)表示两界面在x方向上的速度；下标“s”表示齿轮的相关参数，“1”和“2”分别代表2个接触面。

(7)润滑油黏压-黏温关系经验公式[16]如下：

η=η0exp{(lnη0+9.67)·

(18)

式中：η0为滑油初始黏度；T0为环境的热力学温度；T为油膜实际热力学温度。

(8)润滑油密压-密温关系经验公式[2]如下：

(19)

式中：ρ0为滑油初始密度。

3 线接触热弹流润滑计算结果及分析

3.1 工况参数

以某型发动机附件机匣内圆柱齿轮为研究对象，对其进行真实工况弹流润滑效果分析。齿轮参数见表1，齿轮材料选用某齿轮钢(室温下导热率为28.8 W/(m·K),比热容为470 J/(kg·K),密度为7 980 kg/m3,等效弹性模量为212 GPa，润滑油选用某航空润滑油(室温导热率为0.161 W/(m·K),比热容为1 847 J/(kg·K)，密度为963 kg/m3，黏度为0.046 Pa·s)，计算工况见表2。假设齿轮正常运转时为富油润滑，滑油为牛顿流体，文中对圆柱齿轮节点处进行全膜润滑数值仿真分析。

表1 齿轮几何参数

表2 计算工况参数

3.2 数值验证

传统的弹流润滑研究中大多针对转速较低(<10 m/s)的情况，对于高速(>50 m/s)重载情况相关研究还未有开展。文中采用与文献[7]中图2、图3相同的的工况，将数值计算结果与文献结果进行对比。从图2中可以发现，压力、膜厚、温度的数值计算结果与文献中结果趋势接近，因此可以认为文中线接触齿轮弹流润滑的计算结果可信。

3.3 热弹流润滑数值计算结果分析

3.3.1 功率的影响分析

以转速为19 909 r/min、滑油入口温度为140 ℃的工况为研究对象，分析功率对齿轮弹流润滑效果的影响。由于油膜在整个齿宽方向的分布趋势均类似，选择其中一个截面来分析油膜压力、膜厚、温升的变化情况。

从图3中可以看出，不同功率条件下，油膜压力、油膜厚度及温升变化趋势均相同。同一功率条件下，油膜温升与油膜压力变化趋势相同，在整个啮合过程中油膜压力由小到大再减小，出现了第一压力峰与第二压力峰。第一压力峰为啮合处承受高载荷的区域，对应此时油膜出现了平面形状；第二压力峰的位置对应于油膜形状开始凹陷之处，这种由温差引起的黏度变化产生动压的作用，国内学者称之为温度-黏度楔效应。当保持转速不变，随着功率的增加，齿轮所受的载荷逐渐增加，出现了最大压力及温升逐渐上升、最小膜厚下降的趋势。同时，压力二次峰会随着功率的增加逐渐降低，这是由于逐渐升高的载荷抑制了油膜的颈缩导致动压有所下降。

图4展示了转速一定时，油膜最大压力及最小膜厚随功率的变化。转速为19 909 r/min时，随着功率增加，则总载荷增加,而总载荷的增加导致了最大压力的增加与最小膜厚的降低，膜厚的降低不超过0.02 μm。转速为28 442 r/min时，功率的增加导致了最大压力的上升，而最小膜厚则是先增加再降低，这是由于在当前工况下，极高的转速要形成油膜需要一定的载荷，随着载荷的上升油膜逐渐形成，从而出现了油膜厚度有所增加;随后随着载荷继续增加，油膜的承载逐渐升高从而使得最小油膜厚度出现下降趋势，但是最小膜厚的最大与最小值之差只有0.005 μm。对照转速为19 009 r/min时膜厚的变化，可以说明高转速情况下功率的变化对最小膜厚的影响较小。

图5所示为转速一定时，最大温升随功率增加的变化情况。可见，随功率增加最大温升增加；当转速固定为19 909 r/min时，最大温升从17.14 ℃增大到28.88 ℃；当转速固定为28 442 r/min时，最大温升从19.72 ℃增大到27.05 ℃。这是由于油膜的温升主要依靠固体界面与油膜的摩擦，当速度保持不变时，随着最大压力的逐渐上升，最大温度也会随之上升。

结合上述计算结果可以发现，高转速条件下出现了最小膜厚随载荷变化不明显的趋势，而转速较低时，载荷的大小也会对最小膜厚产生较大的影响。

3.3.2 转速的影响分析

以功率为192.5 kW、滑油入口温度为140 ℃的工况为研究对象，分析转速对齿轮弹流润滑效果的影响。从图6中可看出，不同转速条件下，油膜压力、油膜厚度及温升变化趋势均相同。同一转速条件下，油膜温升与油膜压力变化趋势基本相同，油膜均出现了平面形状及出口收缩凹陷现象。当功率固定时，转速的增加使得载荷逐渐降低，载荷的降低使得压力二次峰逐渐升高，这与当载荷极重时第二压力峰会消失的研究结论[17]相一致。而保持功率不变，随着转速的增加，齿轮所承受的载荷会逐渐降低，因此出现了最大压力及温升下降、最小膜厚增加的情况。

图7所示为功率一定时，接触区最大压力及最小膜厚随转速的变化情况。功率为134.75 kW时，随着转速的增加，载荷逐渐降低，最小膜厚从0.276 mm增大到0.390 mm，最大压力先从1.004 GPa降低到0.949 GPa，而后随着转速增加又升高到0.952 GPa。最大压力升高是由于随着油膜厚度的逐渐增加，逐渐形成良好的弹流润滑，油膜承载了更高的压力使得接触区油膜最大压力有所上升。功率为192.5 kW时，随着转速的增加，载荷逐渐降低，最小膜厚从0.266 mm增大到0.386 mm，最大接触压力从1.142 GPa下降到1.021 GPa。

图8展示了功率一定时，接触区最大温升随转速的变化情况。功率为134.75 kW时，随着转速的增加，最大温升先从20.59 ℃降低到20.05 ℃，随着转速继续增加，转速升高的影响逐渐超过了载荷下降的影响，导致了最大温升在最后阶段又有所上升。功率为192.5 kW时，随着转速的增加，载荷有所下降，最大温升从30.41 ℃下降到27.05 ℃。对比图8(a)、(b)可看出，载荷对温升的影响比转速的影响更大。

当载荷较大时，齿轮线速度超过100 m/s时，随着转速的逐渐升高转速对最大载荷的影响逐渐减小。而低速轻载状态，随着转速的上升容易出现压力二次峰成为最大压力值的情况，速度对载荷的分布影响较大。

3.3.3 滑油入口温度的影响分析

以功率为192.5 kW、转速为28 443 r/min的工况为研究对象，研究了接触区最大压力、最小膜厚及最大温升随滑油入口温度的变化规律。如图9所示，温度从125 ℃升高到145 ℃时，最大压力从1.072 GPa降低到1.007 GPa，最小膜厚从0.460 μm降低到0.367 μm，同时最大温升也从35.34 ℃降低到24.49 ℃。这是由于滑油温度的升高使得滑油黏度下降，导致油膜的形成更加困难，则最小膜厚减小，油膜承载力减小。同时，黏度下降会使剪切应力减小，减少了摩擦与生热，则最大温升降低。研究结果表明：较高的滑油温度会使得滑油黏度较低，导致油膜厚度减小以及油膜承载能力的下降，从而增加发生干摩擦的可能性，因此需要综合齿轮承载与润滑情况来进行滑油温度的确定。

4 结论

基于线接触弹流润滑理论，以航空发动机高速、重载圆柱齿轮为研究对象，通过数值计算分析了不同功率、不同转速及不同温度对齿轮润滑效果的影响规律，在计算工况范围内所得主要结论如下：

(1)随着功率增加，载荷增加，接触区最大压力和最大温升均增大，最小膜厚降低；高转速情况下，功率变化对最小膜厚影响较小。

(2)随着转速的增加，载荷减小，接触区最小膜厚增加，最大压力和最大温升受转速和载荷的双重影响呈现先减小再增大的趋势。

(3)滑油入口温度升高时的接触区最大压力、最小膜厚与最大温升均有所下降，主要原因在于入口温度升高导致滑油黏度下降，改变了滑油物性。

(4)实际工作中要特别重视低速重载工况，此时载荷很大，容易出现干摩擦；合适的滑油入口温度可以使齿轮接触区承受较低的载荷并拥有较厚的油膜。