一道教科研联盟函数题的破解

⦿安徽省利辛县第一中学 李晓兰

1 引言

导数法是处理直线与曲线的位置关系、函数的零点、方程的实根等相关问题的基本方法.根据题目情境的巧妙设置，合理变形与转化，通过函数的构建，结合求导处理，借助函数的单调性等基本性质，通过基本函数的图象与性质来合理转化，巧妙破解，已经成为高考、联赛等命题的高频考点之一，倍受关注．

2 问题呈现

此题以含参的直线与曲线的位置关系为问题情境来创设，借助导数来研究函数的零点问题，通过导数研究函数的单调性，利用数形结合、分类讨论、参变分离或构造方程法等思维方法来分析与处理，难度较大，创新新颖，具有很好的区分度．

3 问题破解

方法1：数形结合法.

令函数g(x)=x-lnx-1，求导可得

当0

当x>1时，g′(x)>0，g(x)在区间(1，+∞)上单调递增.

所以g(x)min=g(1)=0，故g(x)≥0在区间(0，+∞)上恒成立.

所以f(x)在区间(0，+∞)上单调递增.

图1

作出函数f(x)的大致图象，如图1所示.

点评:破解的关键是利用导数研究函数f(x)的图象，数形结合来确定参数b的取值范围．由于函数f(x)的图象非熟知，结合导数法，利用求导处理并通过研究函数的单调性来大致确定函数的图象，为破解问题的数形结合思想提供图形依据．数形结合法是处理此类问题的常用方法，借助函数图象为突破口，采用数形结合思想，比较巧妙．

方法2：分类讨论法.

(1)当b<0时，g′(x)有唯一零点x0，g(x)在区间(0，x0)上单调递减，在区间(x0，+∞)上单调递增.

而当x→0+时，g(x)→+∞；当x→+∞时，g(x)→+∞.

所以g(x)min=g(x0)=x0-lnx0+1-k，而取k=1时，g(x)无零点，舍去.

(2)当b=0时，g′(x)有唯一零点2，g(x)在区间(0，2)上单调递减，在区间(2，+∞)上单调递增.

而当x→0+时，g(x)→+∞；当x→+∞时，g(x)→+∞.

所以g(x)min=g(2)=1-ln2-k，而当k<1-ln2时，g(x)无零点，舍去.

而当x→0+时，g(x)→-∞；当x→+∞时，g(x)→+∞，满足要求.

而当x→0+时，g(x)→-∞；当x→+∞时，g(x)→+∞.

所以,存在k∈R，使g(x1)>0，g(x2)<0，此时，g(x)有两个零点，舍去.

点评:通过直线与曲线的位置关系对条件进行合理的转化，巧妙构建对应的方程，通过方程的变形与转化，构建对应的函数，通过求导处理，利用参数取值的分类讨论，确定在每种情况下函数零点的情况，从而得以确定参数的取值范围问题．分类讨论法能很好地处理双参数问题，寻找结论成立的条件，不重不漏，严格缜密，只是过程比较繁杂，讨论细节较多，容易导致错误，要引起注意．

方法3：参变分离法.

根据题意知，对任意实数k，都有唯一的x与之对应，则可知函数g(x)是单调函数.

令函数h(x)=x2-2x+2b，可知函数h(x)是开口向上的二次函数.

点评:通过直线与曲线的位置关系对条件进行合理的转化，巧妙构建对应的方程，借助参变分离，构建对应的函数，结合函数的定义以及单调性的定义，将问题转化为相应函数的单调性问题，通过求导，借助二次函数的图象与性质，通过判别式小于等于0来建立不等式，进而确定参数的取值范围问题．参变分离法是破解涉及函数参变量问题中比较常用的一种技巧方法，利用参变分离进行等价转化，转变问题视角，巧妙分析与破解．

方法4：构造方程法.

令函数h(x)=x2-2x+2b，可知函数h(x)是开口向上的二次函数.

点评:通过直线与曲线的位置关系对条件进行合理的转化，巧妙构建对应的方程，通过方程的变形与转化，构建对应的函数，通过求导处理，借助二次函数的图象与性质，通过判别式小于等于0来建立不等式，进而得以确定参数的取值范围问题．构造方程法合理综合与分类讨论法与参变分离法的优点，巧妙组合，优化过程，提升效益．

4 变式拓展

探究1：通过保留题目条件，适当改变对应的函数解析式与参数条件，可以得到以下对应的变式问题．

下面先证明g(x)<1恒成立.

假设∃x0∈(0，+∞)，使得g(x0)≥1.因为x→0+时，g(x)→-∞，且当自变量x充分大时，g(x)<1，

所以存在x1∈(0，x0)，x2∈(x0，+∞)，使得g(x1)<1，g(x2)<1.

取k=max{g(x1)，g(x2)}<1，则y=k与y=g(x)至少有两个交点，与题意矛盾.

由对任意k∈(-∞，1)，g(x)=k只有一个解，得g(x)为(0，+∞)上的递增函数.

因此b≥m(x)max=m(2)=-ln2，即b的取值范围是[-ln2，+∞).

故填答案：[-ln2，+∞)．

5 教学启示

5.1 方法总结，技巧归纳

通过研究函数图象的交点问题，以导数为工具研究函数的单调性，多参数立意新颖，任意类恒成立问题与基本概念密切联系，深入浅出地考查学生的数学运算、逻辑推理等核心素养．关于本题的处理方法，我们经常采用数形结合、分类讨论、参变分离、构造方程等方法，其中数形结合直观，分类讨论周密，参变分离快捷，构造方程优化，都是非常好的分析与处理此类问题的基本方法．

5.2 考点剖析，能力提升

导数法是分析与解决函数的零点、方程的实根等相关问题中比较常用的一种技巧方法，也是借助导数法来考查此类问题的热点与难点之一．通过函数的零点、方程的实根、直线与曲线之间的交点个数等不同情况来合理创设问题，背景设置各异，变化多端，求解的形式与方法也各不相同．熟练掌握基本题型，把握问题实质，以不变应万变，全面提升数学品质，提高数学能力．Z