初中数学“数学抽象”素养测评的实践探索

摘要：数学抽象是通过对数量关系与空间形式的抽象，得到数学研究对象的素养。2020年江苏省义务教育学业质量监测中，初中数学项目组依据课标明确了数学抽象素养测评的实践依据和表现水平，基于横向对比研究厘定了数学抽象素养测评的研究思路。以M8SS17为例，说明数学抽象素养测评试题的改进过程。

关键词：数学抽象;学业质量监测;素养测评;初中数学

一、 数学抽象素养测评的实践依据

（一） 数学抽象的内涵和表现

《普通高中数学课程标准（2017年版）》对“数学抽象”的描述为：“数学抽象是通过对数量关系与空间形式的抽象，得到数学研究对象的素养。主要包括：从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系，从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构，并且用数学语言予以表征……数学抽象主要表现为：获得数学概念和规则，提出数学命题和模型，形成数学方法与思想，认识数学的结构与体系。”

（二） 数学抽象的评价要素

基于数学抽象的具体表现，有研究指出：“数学抽象的基本操作步骤是：分离属性与建构模型—概括与一般化—定义与符号化—系统化。有了这样的操作步骤，就可以在教学实践中设计出有针对性的抽象活动，让学生经历数学抽象过程，发展数学抽象素养。”仔细斟酌这一“基本操作步骤”，不难发现：这里的“分离属性与建构模型”就是发现问题;“概括与一般化”就是提出问题;“定义与符号化”意味着分析问题能力的发展，因为定义过程中对命题的具体表征标志着新的信息表征通道的获得;“系统化”意味着解决问题能力的发展，因为新的数学结构系统的形成标志着抽象已由“工具性理解”上升到“概念性理解”，这意味着新经验的普适是经验增值的标志，也是解决问题能力发展的标志。

数学抽象的表现是学生数学抽象素养测评的基本参考依据，其内隐于思维品质，外显于问题解决的路线、手段、策略中。所以素养虽然不能被直接观测，但可以通过学生在具体任务中的实际表现加以推测。要确保这种推测的合理性，就必须充分了解所测素养的内涵和外延，建立素养与具体任务上的外在表现之间的关联。基于数学抽象的内涵和表现以及初中生的认知水平，我们厘定了数学抽象素养的评价要素，包括：在实际情境中明确实际问题;分析实际问题中的相关因素（变量）;用自然语言描述特点;通过数学的思维方式，总结出一般的规律;借助符号、图形等实现对数学概念、关系和规律的表征;提炼出解决一类问题的数学原理及其中蕴含的数学思想;在新的情境中选择和运用恰当的数学方法解决问题。

二、 数学抽象素养测评的表现水平

（一） 从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系

1. 水平描述

水平A：能在综合的情境中抽象出数学问题，并用恰当的數学语言予以表达;能在所得数学结论的基础上形成新命题。

水平B：能在关联的情境中抽象出一般的数学概念和规则;能将已知的数学命题推广到一般的情形。

水平C：能在熟悉的情境中直接抽象出数学概念和规则;能在特例的基础上归纳并形成简单的数学命题。

水平D：不能根据具体情境抽象出数学概念和规则;机械识记已有命题，不能进行抽象。

2. 相关示例

（1） 李奶奶买了一筐草莓，连筐共重a kg，其中筐重1 kg。将草莓平均分给4位小朋友，每位小朋友可分得（）

A. a4 kgB. a4-1kg

C. a+14kgD. a-14 kg

（2） 如图1，风筝牵引绳AB的长度所在范围是（）

A. 36 m至38 mB. 38 m至40 m

C. 40 m至42 mD. 42 m至44 m

（二） 从事物的具体背景中，借助符号进行运算和推理，抽象出一般规律和结构

1. 水平描述

水平A：能通过数学对象、运算或关系理解数学的抽象结构;能理解数学结论的一般性，感悟高度概括、有序多级的数学知识体系;能在现实问题中把握对象的数学特征，并用数学语言予以表达，感悟通性通法的数学原理和其中蕴含的数学思想。

水平B：能用恰当的例子解释抽象的数学概念和规则;能理解数学命题的条件与结论，构建相关知识之间的联系;能理解用数学语言表达的概念、规则、推理和论证，并提炼出解决一类问题的数学方法，理解其中的数学思想。

水平C：能解释数学概念和规则的含义;能了解命题的条件与结论，并能从熟悉的问题中抽象出数学问题（独立的、关联不密切）;能用数学语言进行基本的表达、推理和论证，在相似问题的解决中感悟通性通法和其中的数学思想。

水平D：不能解释数学概念和规则的意义;不能了解命题的条件与结论;不能用数学语言表达、推理和论证;不能感悟数学思想方法。

2. 相关示例

用黑白两色棋子按图2所示的方式摆图形，依照此规律，第n个图形中黑色棋子共有个。

（三） 用数学语言予以表征

1. 水平描述

水平A：能用数学原理解释自然现象和社会现象;能针对具体问题运用或创造数学方法解决问题。

水平B：能用一般的概念解释具体现象;能在新的情境中选择和运用数学方法解决问题。

水平C：能够结合实际情境解释相关的抽象概念;能模仿学过的数学方法解决简单的问题。

水平D：不能结合具体情境表达或解释一些特征或关系;不能在具体情境中选择和运用数学方法解决问题。

2. 相关示例

甲、乙两家葡萄园采摘葡萄的收费标准如下：

甲葡萄园：入园采摘葡萄不超过4千克需付费40元，超过4千克的部分每千克需另付5元。

乙葡萄园：入园门票为每人12元，采摘葡萄每千克另付b元，总费用y与采摘质量x之间的关系如图3所示。

（1） 写出题中的变量：;（至少写两个）

（2） a=;

（3） 若分别在甲、乙两家葡萄园采摘8千克葡萄，所付费用相同，求y与x之间的函数表达式。

三、 数学抽象素养测评的研究思路

（一） 横向对比研究

在测评试题命制过程中，项目组对比研究了PISA测试数学试题、SAT数学试题、中学生数学建模竞赛试题和日本初中生数学试题等系列材料。研究发现，各测评项目在问题解决的具体问题设置和考查取向上存在一定的差异。日本初中生数学试题和SAT数学试题的问题任务设计淡化学科语言、图像等，按照生活真实情况加以呈现，并给出生活化的问题任务，对学生在“数学概念及概念之间关系的抽象”“数学规律的揭示以及数学术语的表征水平”等层面的考查较多，也较为准确。PISA测试试题和中学生数学建模竞赛试题则更讲究问题情境设置生活化，学生解决问题时需要经历的抽象过程更完整、更复杂，任务设置的层次与数学抽象水平的层级更加贴合，更利于准确地评价学生的数学抽象素养层级。

（二） 测评总体思路

具有较高数学抽象素养的学生，能够在若干具体的情境中抽象出数学问题，能够将已知的数学命题推广到一般的情形，并能创造性地灵活运用数学方法解决问题。数学抽象素养的形成源于数学知识的习得和运用。数学抽象素养的测评，内容上力求淡化单纯对知识点理解和掌握情况的考查，强调在真实情境下解决问题能力因素的考量，注重考查学生对具体问题数学本质的抽象能力，着眼于通性通法。在命制测评试题时，要特别注重创设真实情境，充分关注数学抽象素养与情境特征的明确关系，确定合理的任务呈现方式，提供恰当的支撑性材料或信息，同时兼顾设问指向和设问方式对问题解决的影响。

测评的命题思路一般通过多维细目表呈现。核心素养测评命题的多维细目表除了一般应具备的题号、题型、分值、预估难度等项目外，还应包括核心素养具体表现、情境类型、具体内容、试题目标等，以此来细化落实核心素养的测评。表1即2020年江苏省义务教育学业质量监测中数学抽象素养测评试题命制的多维细目表。

四、 数学抽象素养测评的试题改进

2020年江苏省义务教育学业质量监测中关于数学抽象素养的测评共5小题17分。结合30人访谈、300人试测和5000人测试的结果，项目组对每一题都进行了多次打磨修改。下面以M8SS171（为完整呈现改进过程，这里一并呈现该解答题的后续几小问）为例，说明数学抽象素养测评试题的改进过程。

学科情境有效提取题目中给出的信息该题重点考查学生在实际生活情境中，通过阅读抽象出有用的数学信息，并理清各信息之间的结构联系，进一步抽象并建立函数结构模型，最终解决实际问题的数学抽象素养。

（一） 试题初稿及说明

已知甲、乙两家葡萄园，甲葡萄园进园采摘葡萄的费用如表2所示。

乙葡萄园，进园需先付a元/人，采摘的葡萄每千克b元，应付的金额y（元）與采摘的数量x（千克）之间的关系如图4所示。

（1） y（填“是”或“不是”）x的函数;

（2） 由图像可知a=;

（3） 小明和小强分别在甲、乙两家葡萄园采摘了8千克葡萄，所付金额相同，求b的值;

（4） 若在甲、乙葡萄园分别采摘了x千克（x>0）葡萄，应付金额差为40元，请直接写出x的值。

该题创设了一个贴合学生生活实际的情境，旨在让学生通过自主阅读，理解给定的信息，根据给定问题的解决需要，对其中有用的数学信息进行剥离和抽象，并逐步深入到对情境中数量与数量之间关系的抽象，最终依据获得的数量关系，确立数学模型，解决问题。项目组深入讨论后，有两点发现：一是用同样的两个字母“x”“y”表示在甲、乙两个葡萄园分别进行的两个不同采摘活动中的变量，不仅会给学生理解数量与数量之间的关系带来一些不必要的干扰，也会严重阻碍抽象层级的有序推进，需要改进;二是（3）（4）两个设问较好地体现了“建立逻辑规则，提出问题解决模型，指向数学思想方法的抽象与应用”，可以有效考查内隐于学生思维品质中的数学抽象素养的不同外显形式，需要保留。

（二） 试题过程稿及说明

已知甲、乙两家葡萄园，甲葡萄园进园采摘葡萄的费用如下页表3所示。

乙葡萄园，进园需先付a元/人，采摘的葡萄每千克b元，应付的金额y2（元）与采摘的数量x（千克）之间的关系如图5所示。

y1（元）404040404550556065707580……（1） y1（填“是”或“不是”）x的函数;

（2） 由图像可知a=;

（3） 小明和小强分别在甲、乙两家葡萄园采摘了8千克葡萄，所付金额相同，求进乙葡萄园采摘葡萄应付的金额y2与采摘的数量x之间的函数关系式;

（4） 若在甲、乙葡萄园分别采摘m千克，应付金额差为40元，直接写出m的值。

试测和访谈后得知，学生熟悉这一真实的生活情境，对解答此类问题也有着浓厚的兴趣，但在解决过程中存在如下问题：一是对函数的本质定义模糊不清，所以对第（1）问的解答停留在机械性地选择“是”或“不是”的层面，区分度达到-0.14，这严重偏离了“考查学生对两个变化过程中‘应付的金额y（元）与采摘的数量x（千克）之间的关系的理解与抽象水平”这一本质目的，说明问题设计的指向性（基于八年级学生的实际抽象水平）还需要进一步明确;二是在甲园中采摘的数学信息用表格的形式给出，阅读量较大，较多学生对其中两个变量之间的关系表达不准确或不能表达，这使得整个问题切入过难;三是在对后两个问题的解答中，较多学生在不能完成前两个问题解答的前提下，会利用坐标系中的单位长度，通过画图找出某点的坐标进行计算，进而解决问题，这也导致问题考查的重心偏离了数学抽象素养。所以，在300人前测的基础上，项目组依据数据和访谈情况，又对试题做了修改。

（三） 试题定稿及说明

甲、乙两家葡萄园采摘葡萄的收费标准如下：

甲葡萄园：入园采摘葡萄不超过4千克需付费40元，超过4千克的部分每千克需另付5元。

乙葡萄园：入園门票为每人12元，采摘葡萄每千克另付b元，总费用y与采摘质量x之间的关系如图6所示。

（1） 写出题中的变量：;（至少写两个）

（2） a=;

（3） 若分别在甲、乙两家葡萄园采摘8千克葡萄，所付费用相同，求y与x之间的函数表达式。

多次打磨后的试题，问题表述更加贴合生活实际（生活中，不会用表格来呈现采摘质量与所付费用之间的关系），问题（1）的设问指向也由原来的对多个量之间复杂关系的揭示转为分析问题中具体数量的特征，这就使得对问题中数量及数量之间关系的抽象切入过程变得舒缓许多。这一改变，不仅利于学生数学抽象的有序推进，更利于学生将问题解决的活动重心向后移，进而让更多的学生在（2）（3）两个问题解决中的抽象水平得以表现，实现数学抽象素养的层级性评价。分析全省监测数据后发现，问题（1）学生的得分率为0.74，与预设难度基本吻合。

“数学抽象素养是数学、数学教育、数学学习对受教育者的影响及改变，属于个体的思维品质和能力，只有在具体的问题情境中，通过问题的解决过程才能外显于行为，才能被察觉。”因此，在命制测评试题时，要关注问题的情境性，关注知识的形成性，关注思维的深刻性，设计贴合学生生活实际的有趣问题，让学生在问题探究过程中，有层次地展现自己的数学抽象素养，为学生数学抽象素养水平的划分提供客观的依据。

参考文献：

[1] 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版）[S].北京：人民教育出版社，2018.

[2] 史宁中.数学基本思想18讲[M].北京：北京师范大学出版社，2016.

[3] 陈蓓.高中生数学核心素养评价指标研究[J].教育研究与评论（中学教育教学），2019（9）.

[4] 义务教育学科核心素养与关键能力研究项目组.义务教育学科核心素养·关键能力测评与教学（初中数学）[M].南京：江苏凤凰科学技术出版社，2018.

[5] 喻平.数学关键能力测验试题编制：理论与方法[J].数学通报，2019（12）.

（马敏，江苏省连云港市教育局教研室，特级教师，正高级教师。中国教育学会中学数学教学专业委员会理事、学术委员。全国优秀教育工作者，全国师德先进个人，江苏省“333高层次人才培养工程”培养对象，“苏教名家”培养工程培养对象。曾获全国和江苏省初中数学青年教师优秀课评比一等奖。）