基于位移的RC框架结构与附加消能减震装置一体化设计

刘宗成 ，韩建平

（1.兰州理工大学甘肃省土木工程防灾减灾重点实验室，甘肃 兰州 730050；2.兰州理工大学西部土木工程防灾减灾教育部工程研究中心，甘肃 兰州 730050）

引言

在地震造成的巨大人员伤亡和财产损失面前，全社会迫切需要提升结构抗震及保障生命财产安全的能力［1］。通过在原结构附加消能减震装置，消能减震设计可在比传统抗震设计更经济的情况下实现特定性能目标［2］。在2011年日本东北大地震中经受考验的消能减震结构，也为结构工程师采用消能减震技术增强了信心［3－4］。

现行消能减震结构设计方法，通常是先进行主体结构设计，再选择和布置消能减震装置。由于主体结构与附加消能减震装置之间的耦合相关性，为实现预期性能目标，需要进行迭代计算。如潘鹏等［5］提出通过将消能减震装置看作等代斜撑的方式进行消能减震设计的流程，并研发EDStruDesign 程序辅助计算等效阻尼比及等效支撑参数；李钢等［6］采用以结构构件设计为主，消能器为强度补充的设计思想，提出了适用于现存结构加固改造的设计流程，大大减少了以往设计方法中的迭代次数。如何进一步简化消能减震结构设计流程，减少甚至避免设计过程中的迭代计算，对消能减震技术的推广应用具有重要意义。

20 世纪90 年代，在航空航天领域，MESSAC 等［7］提出动态系统的控制-结构一体化设计（Control-Structure Integrated Design，CSID）方法；在工程结构减震控制领域，CIMELLARO 等［8～10］提出结构体系和控制体系分步进行设计的一体化设计方法：首先将结构体系的参数视为不变量、使用LQR 算法对控制体系进行设计以达到目标位移，其次以减小控制能量为目标，对结构与控制体系重新进行设计；周丽萍等［11］运用协同优化策略，使用鱼群算法对钢结构与控制体系进行了一体化设计，结果表明经协同优化设计的受控结构体系性能优于通过串行方法设计的结构体系；KIM 等［12］采用多目标遗传算法，考虑附加刚度、阻尼和调谐质量阻尼器质量等参数，提出斜交网格体系及控制装置的一体化设计方法，研究表明：该方法对于高层斜交网格体系在风荷载及地震作用下的动力响应具有良好的控制效果；PARK 等［13］以装配黏弹性阻尼器的一体化体系为研究对象，以减小全生命周期成本为目标，使用遗传算法对最优设计参数进行了搜索。研究表明：其提出的设计方法可在结构全生命周期成本保持较低值的同时，提升结构在地震作用下的性能。

现有研究工作对主体结构与附加消能减震装置一体化设计进行了许多探索，但多采用智能算法，就工程设计而言较为复杂，不能便捷地得出附加消能减震装置的设计参数。基于位移的抗震设计方法将位移作为控制参数，侧重于在相应水准地震作用下实现给定的目标位移，不仅可以与以应变为基础的损伤极限状态联系到一起，还可以从宏观上对结构的整体响应进行合理控制［14］。因此，本文结合基于位移的消能减震设计方法和一体化设计方法，提出一种主体结构与附加消能减震装置的一体化设计方法。基于所选地震动记录的位移反应谱，结合主体结构信息及预期性能目标，直接得出附加消能装置及支撑参数，以图避免消能减震结构设计方法中的迭代计算。在设计流程中，引入无量纲成本指数，以成本指数最小为目标函数，在可实现目标性能的附加消能减震装置参数中识别最优设计参数。采用SAP2000 设计6层RC 框架结构，基于特定性能目标对该结构进行一体化设计，对所提出方法在结构设计中的应用进行探索。

1 基本理论

1.1 地震动记录选择及位移反应谱

位移反应谱是基于位移的抗震设计的基础，该研究使用强震记录选取程序GMS［15］，根据结构设计信息（II 类场地、设计地震分组第三组和水平地震影响系数最大值0.45（设防地震）），选取了7 条地震动记录见表1。所选地震动记录对应的地震影响系数曲线及其平均值与规范中地震影响系数曲线的对比如图1所示。

图1 所选地震动记录地震影响系数曲线及其平均值与规范谱对比Fig.1 Seismic influence coefficient curves of selected ground motion records and the mean value comparing to the coded spectrum

表1 选取的地震动记录Table 1 Selected ground motion records

1.2 主体结构-附加消能减震装置数学模型

欧进萍等［16］对装配有速度相关型阻尼器的结构地震响应进行了研究，并建立了阻尼器-支撑部件各参数之间的关系。图2（a）所示单层单跨结构，计算简图如图2（b）所示。

图2 主体结构与附加消能减震装置示意图Fig.2 Sketch of the main structure and the supplemental energy dissipation device

装配黏滞阻尼器的结构体系，其阻尼器-支撑部件的存储模量k'(ωd)与损失模量c'(ωd)：

装配黏弹性阻尼器的结构体系，其阻尼器-支撑部件的存储模量k'(ωd)与损失模量c'(ωd)：

式中：kb为支撑刚度；k'v与k″v分别为阻尼器存储模量与损失模量，k'v=kv，k″v=cvω0。对于黏滞阻尼器，k'v= 0。

根据功-能关系，图2所示模型满足如下关系：

式中：k为一体化体系总抗侧移刚度；ks为主体结构抗侧移刚度；θ为阻尼器-支撑部件轴线与水平方向夹角。

根据阻尼比公式ξd=c/2mω，可得损失模量：

式中：ξd为阻尼比；k为刚度；m为质量；f为放大系数。

1.3 附加消能减震装置的附加阻尼比

一体化结构体系的阻尼由主体结构固有阻尼与附加消能减震装置所提供的附加阻尼两部分组成：

式中：ξs为主体结构的固有阻尼比，该研究中钢筋混凝土框架结构取ξs= 5%；ξd为附加消能减震装置所产生的附加阻尼比：

式中：Wj为消能装置j在结构预期位移下往复循环一周所消耗能量；Wk为结构的模态应变能；uj为消能装置j沿其两端之间的轴向位移；φi为结构第i层第一阶模态位移；φrj为消能装置j两端沿水平方向第一阶模态位移之差。在已知阻尼比ξd和主体结构特性时，可由式（8）反推出阻尼系数c。同时，此公式可以用来检验MDOF体系和与其等效的SDOF体系之间阻尼比的一致性。

1.4 无量纲成本指数

为从经济性的角度实现最优一体化设计，以相对成本比值为基础，引入无量纲成本指数［17］，成本指数Ctot及相对成本指数-Ctot表达式如式（9）和式（10）所示。

式中：Cs和Cb分别为主体结构增加单位抗侧移刚度成本和附加消能减震装置增加单位刚度成本；Cv为附加消能减震装置增加单位黏滞系数成本。

CASTALDO 等［17］指出：相较主体结构，附加消能减震装置可通过增大支撑截面等方法来便捷地增加刚度，因此Cb/Cs常取0.5左右。一体化结构体系的阻尼参数受阻尼器性能、地震动特性和结构特性等多方面因素影响，因此Cv/Cs变化范围较大。见表2，本文Cb/Cs取定值0.4，Cv/Cs在0.2～60 范围内取值。Cb/Cs和Cv/Cs的取值可随工程项目实际情况进行调整。

表2 相对成本比Table 2 Relative cost ratio

2 RC框架结构-消能减震体系一体化设计

一体化设计方法主要包含五步：

（1）获得平均位移反应谱

基于所选地震动记录，采用同一阻尼比，分别计算每条地震动记录对应的位移反应谱，并求其平均谱Sd,avg。依次改变阻尼比，求得不同阻尼比对应的平均位移反应谱曲线，如图3所示。

图3 平均位移反应谱Fig.3 Average displacement response spectra

（2）确定阻尼比需求

基于平均位移反应谱数据，拟合出以平均位移反应谱Sd,avg、自振周期T和阻尼比ξ为坐标轴的三维曲面（图4）。基于图4 或其所代表的矩阵，在已知结构体系自振周期T与目标位移utarget时，可确定结构体系的阻尼比需求。

图4 阻尼比需求曲面Fig.4 Damping ratio demand surface

当结构体系阻尼比已知时，有阻尼圆频率与周期分别为：

（3）计算体系存储模量和损失模量

根据公式（5）和公式（6）计算阻尼器-支撑部件的存储模量k'(ωd)和损失模量c'(ωd)。

（4）确定附加消能减震装置设计参数

在已知存储模量、损失模量时，根据公式（1）和（2）可推导出黏滞阻尼器-支撑部件的支撑刚度kb和阻尼系数cv：

根据公式（3）和（4），可推导出黏弹性阻尼器-支撑部件的阻尼器刚度kv、阻尼系数cv及支撑刚度kb满足关系：

以采用黏滞阻尼器和体系目标位移utarget=5cm 为例，对附加消能减震装置设计参数kb和cv进行评估，如图5（a）和图5（b）所示。

图5 参数kb和cv变化示意图Fig.5 Diagrammatic sketch of the parameters kband cv

如图5（a）和图5（b）所示，在主体结构抗侧移刚度占一体化结构体系总刚度比例ks/k不变的情况下，随着体系周期增大，附加消能减震装置的刚度与阻尼需求均呈下降趋势。而在附加消能减震装置所提供的刚度与阻尼一定的情况下，随着体系周期减小，ks/k逐渐增大，即一体化结构体系的抗侧移刚度更多由主体结构贡献。

（5）最优设计参数识别

根据公式（11）～公式（14），通过不断变化一体化结构体系周期T和ks/k，可获得每个目标位移utarget对应的kb和cv参数矩阵。以相对成本指数-Ctot最小为目标函数，在众多可实现目标位移的设计参数矩阵中进行最优设计参数ks/k,optimum、kb,optimum及cv,optimum的识别。以表2 工况3 为例，对最优设计参数进行识别并将结果可视化，如图6所示。

图6 ks/k、kb和cv的最优值Fig.6 Optimal values of ks/k，kb and cv

由图6（a）可知：在目标位移不变、结构周期较小时，主体结构抗侧移刚度对一体化结构体系的抗侧移刚度贡献更大。随着结构周期增大，ks/k比值不断减小，即主体结构对一体化结构体系抗侧移刚度的贡献占比减小。处于以ks/k= 1为边界的区域内的结构，无需额外消能减震装置即可实现性能目标。由图6（b）和图6（c）可知：周期T不变时，随着目标位移减小，附加消能减震装置支撑刚度kb与阻尼系数cv增大。目标位移不变时，附加消能减震装置支撑刚度kb与阻尼系数cv随结构周期增大总体上呈先降后升的趋势。

至此，一体化结构体系设计参数ks/k、kb和cv均已获得，设计流程结束。

3 数值算例

3.1 结构设计信息

为研究所提出一体化设计方法在实际设计过程中的可行性，本文使用SAP2000设计一栋6层RC框架结构进行分析。结构设防烈度为8度，抗震等级为二级，设计地震分组为第三组，场地类型为II类，结构阻尼比取5%。结构共6层，层高3.6 m。框架柱截面尺寸均为600 mm×600 mm，结构平面布置图及梁截面尺寸如图7所示，板厚120 mm。梁柱混凝土等级均为C35，纵筋均为HRB335级。

图7 6层RC框架结构平面布置图Fig.7 Plane layout of the 6-story RC framed structure

3.2 SDOF体系一体化设计

使用位移反应谱进行一体化设计，首先需要将体系等效为SDOF 体系。此处采用体系质量、自振周期、抗侧移刚度及阻尼比相同的方式进行等效。

黏滞阻尼器是一种典型的被动减震装置，在合理布置的情况下拥有较为理想的减震效果［18］。本文以黏滞阻尼器为例，对使用SAP2000所设计结构的等效单自由度体系进行一体化设计。提取所设计结构基本信息：m=4.52×106kg，自振周期T1= 0.97 s，自振频率ω1= 6.44 rad/s。据图4可知：自振周期T1对应的体系最大位移平均值u=5.36 cm（ξ= 5%）。

假定一体化结构体系目标位移utarget=4 cm，相对成本比值取表2 中工况3（Cb/Cs= 0.4，Cv/Cs= 5），则一体化结构体系总抗侧移刚度k= 41.47 ×m。在图6（a）所对应矩阵中查找或将图6（a）在目标位移utarget=4 cm处进行切片（图8），可得ks/k最优值ks/k= 0.982。则主体结构抗侧移刚度：

图8 最优设计参数及相对成本比值Fig.8 Optimal design parameters and relative cost ratio

同理将图6（b）和图6（c）在目标位移utarget=4 cm 处进行切片（图8），可得附加消能减震装置刚度kb和阻尼系数cv最优值：

据图3 可知：目标位移utarget=4 cm 时，总阻尼比需求ξ= 13.2%( )ξs= 5%,ξd= 8.2% ，一体化结构体系的阻尼频率ωd= 6.38 rad/s。附加消能减震装置的损失模量与存储模量分别为：

结合所得参数，使用MATLAB对一体化结构体系进行动力时程分析。在选取的7条地震动记录作用下，体系最大位移平均值为3.92 cm，实现了性能目标。

3.3 MDOF体系一体化设计

HWANG 等［19］研究表明：在结构振动以第一阶振型为主时，等效SDOF 体系与MDOF 体系在动力响应上吻合较好，且随着阻尼比的增加，体系的高阶振型响应将被抑制。因此在等效SDOF体系实现性能目标的基础上，将一体化设计方法向MDOF体系拓展。

对6 层MDOF 体系进行一体化设计，体系自振周期T1=0.97 s，层质量mi= 7.53× 105kg。目标位移仍取utarget=4 cm，相对成本比值仍取工况3（Cb/Cs= 0.4，Cv/Cs= 5），消能-支撑部件轴线与水平方向夹角θ=30.96°。体系在时域中运动方程：

式中：ui为第i层与地面之间的相对位移。

设主体结构抗侧移刚度沿高度不变，已知质量矩阵［M］和结构第一阶振型圆频率ω1，通过结构运动特征方程，可知体系层抗侧移刚度ki= 5.377 × 108N/m和第一阶振型向量=[ 0.24,0.47,0.67,0.83,0.94,1.00 ]，第一阶振型参与系数γ1：

在将一体化设计方法扩展到MDOF体系时，目标位移utarget应除以MDOF体系的第一阶振型参与系数γ1。则等效SDOF体系的目标位移utarget/γ1= 4/1.258 = 3.18 cm。

根据图4 及图6 对应矩阵，可得：ξ1= 22.3%，ks/k= 0.96，cv,optimum= 0.68 ×mN · s/m，kb,optimum= 6.58 ×mN/m，ω1,d= 6.28 rad/s。

根据ks与k最优比值，有：

附加消能减震装置存储模量矩阵：

根据式（1），附加消能减震装置的刚度矩阵[Kb]：

上式中比值已知，则：

对于结构固有阻尼，构建在前两阶振型中实现5%阻尼比的Rayleigh 阻尼矩阵，经计算，β= 0.042 5，α=β(ω1ω2)= 1.084 8。

附加消能减震装置的损失模量[C'v]：

则总阻尼矩阵为：

结合所得附加消能减震装置参数，使用选取的7条地震动记录对一体化结构体系进行动力时程分析，体系最大位移平均值为3.02 cm，低于等效SDOF体系目标位移3.18 cm，实现性能目标。

应用模态应变能方法，通过式（8）求得一体化结构体系第一阶等效阻尼比：

根据式（7），ξ1=ξs,1+ξd,1= 23.7%，结构第一阶等效阻尼比与阻尼比需求22.3%基本吻合。

3.4 一体化设计方法在结构设计中的应用

前述办公楼在未附加消能装置时，其顶层最大位移平均值为6.23 cm，见表3。根据MDOF一体化设计所得参数，在SAP2000中为结构布置黏滞阻尼器。将黏滞阻尼器布置在结构的③号和⑤号两个轴线上，如图9所示。见表3，对一体化结构体系进行动力分析，体系最大位移平均值为4.07 cm，较未装阻尼器时降低34.7%，基本实现性能目标utarget= 4 cm。

图9 ③号、⑤号轴线消能支撑布置示意图Fig.9 Arrangement of energy dissipation bracings along the axis ③and⑤

表3 体系最大位移Table 3 Maximum displacement values of the structure cm

4 结论

（1）该研究提出的一体化设计方法避免了消能减震结构设计方法中的迭代过程，基于所选地震动记录的位移反应谱，结合主体结构信息及期望目标性能，即可直接得出附加消能减震装置设计参数。

（2）针对预期性能目标，对附加消能减震装置支撑刚度与粘滞系数进行评估并进行可视化呈现。在已知结构自振周期的情况下，可直观展现附加消能减震装置可选参数范围及变化趋势。

（3）从经济性的角度出发，在所有可实现目标性能的附加消能减震装置设计参数中，实现了最优设计参数的识别。

（4）采用SAP2000设计RC 框架结构，根据预期性能目标对该结构进行一体化设计。根据所得附加消能减震装置设计参数布置阻尼器并进行动力分析，结果表明：一体化设计的结构体系基本实现性能目标，可为工程实际提供有价值的参考。

为进一步向在工程实际中应用一体化设计方法提供便利，完善基于主体结构基本信息、场地特征信息及预期性能目标输入的一体化设计参数查询小程序是必要的。阻尼器空间分布对一体化设计体系位移响应的影响也有必要开展进一步的研究。