应用动量定理分解法 速解边界磁场问题

贵州 杨 勇 叶红艳

边界磁场问题包含复杂的几何关系，通常情况下是求解速度、磁场、运动时间的极值，为了避免进行复杂的几何运算，本文结合高考试题进行分析，应用动量定理分解法“秒杀”一些常见的边界问题，提升解题效率。

磁场问题是高考的必考题，带电粒子通常是垂直进入匀强磁场，在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，这是学生非常熟悉的运动之一。若要增加带电粒子在磁场中运动问题的高度和难度，必然有边界磁场的出现，边界磁场问题也就成为了高考考查的热点及难点。为了能够有效地突破一些常见的边界问题，笔者结合近几年高考常见的边界磁场问题进行分析，应用动量定理分解法速解边界磁场问题。

在高中阶段，动量定理常应用在恒力作用下的直线运动中，在变力或曲线运动中的应用相对较少。力的冲量是力相对时间的积累，这个积累等于物体动量的变化，因此分析和理解这个累加的意义，对处理变力作用下的一些复杂问题具有意想不到的效果。

如图1所示，一质点以速度为v、半径为R做匀速圆周运动，某时刻质点的速度与水平方向的夹角为θ，根据动量定理有FΔt=mΔv

图1

由于合外力的方向随时间变化，把合外力分解为水平方向和竖直方向，则有Fx=Fsinθ，Fy=Fcosθ

水平方向根据动量定理有-FxΔt=mΔvx

竖直方向根据动量定理有FyΔt=mΔvy

从两个方向的分析结果可以看出，对于匀速圆周运动水平方向的速度变化影响竖直方向的位移分量，竖直方向的速度变化量影响水平方向的位移分量。

一、动量定理分解法求解边界磁场中的速度问题

图2

( )

【解析】根据题意，以速度大小为v1射入的粒子水平位移为R，竖直方向的速度变化为Δvy=v1-0；以速度大小为v2射入的粒子水平位移为x=R+Rcos60°，竖直方向的速度变化为Δvy=v2sin60°-0，由动量分解法得qΔvxBΔt=mvy-mvy0

当Δt→0时，x=vxΔt，则有qBx=mvy-mvy0

结合题意得qBR=mv1；qB(R+Rcos60°)=mv2sin60°

【答案】B

【评价】本题常用的解法是先确定圆心，然后找到半径，再结合洛伦兹力提供向心力，把向心力的公式写出来，计算出速度之比。相比之下，应用动量定理分解法避免了分析复杂的几何关系，只要掌握匀速圆周运动具有这样的特点，即竖直方向的速度变化量影响水平方向的位移，就可以直接“秒杀”问题。

【例2】如图3所示，宽度为d的有界匀强磁场，磁感应强度为B，MM′和NN′是它的两条边界。现有质量为m，电荷量为q的带电粒子沿图3所示方向垂直射入磁场。要使粒子不能从边界NN′射出，则粒子入射速率v的最大值可能是多少？

图3

【解析】带电粒子不能从NN′边界射出的条件为运动轨迹刚好与NN′边界相切，由于带电粒子的带电性质未知，所以当带电粒子带正电时，进入磁场后在洛伦兹力的作用下向上偏转做匀速圆周运动。当运动轨迹与NN′刚好相切时，由动量定理分解法得qBd=mv-mvcos45°，则

当粒子带负电时，有-qBd=-mv-mvcos45°，则

【评价】对于边界磁场引起的速度极值为题，只要抓住临界位置，根据射入速度方向与射出方向，利用动量定理分解法可以快速解题，避免了复杂的几何和三角函数的运算，为考试争取更多的时间。对于其他边界磁场出现的速度以及速度极值计算，读者可以参考上述的分析方法进行尝试，可能会达到意想不到的效果。

二、动量定理分解法求解边界磁场中的磁场极值问题

【例3】(2021年全国甲卷第25题)如图4所示，长度均为l的两块挡板竖直相对放置，间距也为l，两挡板上边缘P和M处于同一水平线上，在该水平线的上方区域有方向竖直向下的匀强电场，电场强度大小为E；两挡板间有垂直纸面向外、磁感应强度大小可调节的匀强磁场。一质量为m，电荷量为q(q>0)的粒子自电场中某处以大小为v0的速度水平向右发射，恰好从P点处射入磁场，从两挡板下边缘Q和N之间射出磁场，运动过程中粒子未与挡板碰撞。已知粒子射入磁场时的速度方向与PQ的夹角为60°，不计重力。

图4

(1)求粒子发射位置到P点的距离；

(2)求磁感应强度大小的取值范围；

(3)若粒子正好从QN的中点射出磁场，求粒子在磁场中的轨迹与挡板MN的最近距离。

(2)如图5所示，由洛伦兹力提供向心力，有

图5

图6

【评价】综上分析，已知带电粒子的速度大小和运动轨迹，结合动量定理的正交分解法，可使问题得到快速的解决，相比应用常规方法而言，动量定理分解法可以达到解题效率高、方法简便等效果。常规解法是培养学生对基础知识的理解能力，但当学生具有一定的学习能力时，适当地拓展解题的思维和方法，有助于提高学生的解题能力和发展学生的思维能力。

三、动量定理分解法处理常规边界磁场问题

图7

( )

A.粒子一定带正电

B.当α=45°时，粒子也垂直x轴离开磁场

【答案】ACD

【评价】根据题意可以求出半径，结合已知量同样可以求出速度的大小，所以对于A、C两个选项是属于比较常规的考查，而D选项主要考查学生对带电粒子在边界磁场中最大距离的判断，也就是比较弦长，结合题意，弦最长就是直径，则根据勾股定理即可计算出来。本题主要难点在B选项，常规的解法是画图，找几何关系，根据计算的半径讨论是否满足条件，由于几何关系复杂，容易弄错。应用动量定理的分解方法处理，只要抓住初始速度的方向和射出速度的方向，将动量定理分解法求得的结果与实际结合，看是否满足条件即可。可见动量定理分解法的优势是不用进行复杂的几何关系运算，具有“秒杀”结论的效果。

四、总结