形式三角矩阵环上的Gorenstein FP-内射模及维数

吴德军, 周 慧

(兰州理工大学 理学院, 甘肃 兰州 730050)

本文用pdRM,G-FP-idRM分别表示左R-模M的投射维数和Gorenstein FP-内射维数.pdRM<∞表示左R-模M的投射维数有限,HomR(X,Y)表示R-模X到Y的同态集.Maurice等[1]给出了形式三角矩阵环T的一些性质,例如:

1)T是左 Artin环当且仅当A,B是左Artin环且U是有限生成的B-模;

2)T是右 Artin环当且仅当A,B是右Artin环且U是有限生成的A-模;

3)T是Artin代数当且仅当存在交换环R,使得A,B是ArtinR-代数且U是有限生成的R-模.Mao等[2]介绍和研究了Gorenstein FP-内射模,并将Gorenstein同调性质从左诺特环扩充到了左凝聚环上.Zeng等[3]讨论了Gorenstein FP-内射模的性质,并且证明了若环R是左诺特环当且仅当每个Gorenstein FP-内射左R-模是Gorenstein内射左R-模.Gao等[4]给出了Gorenstein FP-内射模的新定义并且从Gorenstein FP-内射模的角度研究了自FP-内射凝聚环.2014年,Enochs等[5]研究了三角矩阵环上的Gorenstein投射模和Gorenstein内射模及Gorenstein正则环.杨燕妮等[6]证明了当环R是右凝聚环且是右GFPI-封闭环时,Gorenstein FP-内射右R-模是内射可解类,并且给出了Gorenstein FP-内射维数的若干等价刻画.Mao[7]研究了形式三角矩阵环上的对偶对和FP-内射模及维数.吴德军等[8]介绍和研究了投射余分解 Gorenstein平坦复形.受以上文献的启发,本文讨论了形式三角矩阵环上的Gorenstein FP-内射模及维数.

定义1[4]称左R-模M为Gorenstein FP-内射模,如果存在FP-内射左R-模的正合列

Ε∶…→E1→E0→E0→E1→…

使得M≅ker(E0→E1),并且对任意投射维数有限的有限表示左R-模P,HomR(P,Ε)正合.

引理1[4]设R是左凝聚环,M是左R-模,则M是Gorenstein FP-内射左R-模当且仅当存在FP-内射左R-模的正合列

Ε∶…→E1→E0→E0→E1→…

使得M≅ker(E0→E1).

定义2[6]称环R为左GFPI-封闭环,如果Gorenstein FP-内射左R-模类对扩张封闭.

定义3[6]左R-模M的Gorenstein FP-内射维数,G-FP-idRM,定义为G-FP-idRM=inf{n|存在左R-模的正合列0→M→E0→E1→…→En→0,其中每个Ei是Gorenstein FP-内射模}.

G-FP-idRM≤n当且仅当存在左R-模的正合列0→M→E0→E1→…→En→0,其中每个Ei是Gorenstein FP-内射模.

引理5[7]设A,B是左凝聚环,UA是平坦模,BU是有限表示模.若G是FP-内射左B-模,则HomB(U,G)是FP-内射左A-模.

引理6设A,B是左凝聚环,UA是平坦模,BU是投射维数有限的有限表示模.若G是Gorenstein FP-内射左B-模,则HomB(U,G)是Gorenstein FP-内射左A-模.

证明因为G是Gorenstein FP-内射左B-模,所以存在FP-内射左B-模的正合列

使得G≅ker ∂1,并且对任意投射维数有限的有限表示左B-模F,HomB(F,Λ)正合.由引理5知,HomB(U,Ni)为FP-内射左A-模.

因为BU为投射维数有限的有限表示模,所以由定义1,HomB(U,Λ)正合.进而有FP-内射左A-模的正合列

定理1BU是投射维数有限的有限表示模,考虑下列条件:

设pdBC=n<∞,则存在左B-模的正合列

0→Pn→…→P0→C→0

其中Pi(i=0,1,…,n)为投射模.进而存在左T-模的正合列

所以HomB(C,I2)正合.进而由定义1,X2是Gorenstein FP-内射左B-模.

是满同态.考虑下面交换图,如图1所示.

下证:对任意投射维数有限的有限表示模AD1,HomA(D1,E)正合.

对pdAD1<∞进行归纳:

当pdAD1=0时,D1为投射模,进而HomA(D1,E)正合.假设当pdAD1≤m时,HomA(D1,E)正合.当pdAD1=m+1时,存在左A-模的正合列

0→L1→Q1→D1→0

其中Q1为投射模且pdAL1≤m.用HomA(-,E)作用上正合列,则有复形正合列, 如图3所示.

因为Q1是投射模,所以HomA(Q1,E)正合.又因为pdAL1≤m,所以由归纳假设,HomA(L1,E)正合,进而HomA(D1,E)正合.

又因为X2是Gorenstein FP-内射左B-模,所以存在FP-内射左B-模的正合列

使得X2≅kerd1,并且对任意投射维数有限的有限表示左B-模N,HomB(N,I)正合.因为BU是投射维数有限的有限表示模,所以HomB(U,I)正合,进而有左T-模的正合列

对pdTL<∞进行归纳:

当pdTL=0时,L为投射模,进而HomT(L,Λ)正合.假设当pdTL≤m时,HomT(L,Λ)正合.当pdTL=m+1时,存在左T-模的正合列

因为P″是投射模,故HomT(P″,Λ)正合.又因为

1)X是Gorenstein FP-内射左T(R)-模;

此外,若R为左凝聚环,则上述条件等价于:

证明因为RR是有限生成投射模,所以RR是有限表示模.进而由定理1知,1)⟺2).

又因为R是左凝聚环且是左GFPI-封闭环,所以由文献[6]中命题1.4知,Gorenstein FP-内射左R-模是内射可解类.进而X1是Gorenstein FP-内射左R-模当且仅当X2是Gorenstein FP-内射左R-模.

推论2T是左GFPI-封闭环,BU是投射维数有限的有限表示模,则每个Gorenstein FP-内射左T-模是内射模当且仅当每个Gorenstein FP-内射左A-模是内射模,每个Gorenstein FP-内射左B-模是内射模.

证明必要性:设X1是Gorenstein FP-内射左A-模,X2是Gorenstein FP-内射左B-模.

1) max{G-FP-idA(X1),G-FP-idB(X2)}≤G-FP-idT(X)≤max{G-FP-idA(X1),G-FP-idB(X2)+1};

2) max{lG-FP-id(A),lG-FP-id(B)}≤lG-FP-id(T)≤max{lG-FP-id(A),lG-FP-id(B)+1}.

证明1) 先证:max{G-FP-idA(X1),G-FP-idB(X2)}≤G-FP-idT(X).

假设G-FP-idT(X)=m<∞,则存在左T-模的正合列

正合,所以G-FP-idA(X1)≤m,G-FP-idB(X2)≤m.

下证:G-FP-idT(X)≤max{G-FP-idA(X1),G-FP-idB(X2)+1}.

假设max{G-FP-idA(X1),G-FP-idB(X2)+1}=n<∞,则存在左B-模的正合列

则h0是单同态.从而有左T-模的正合列

则h1是单同态.从而有左T-模的正合列

重复以上过程,得到左T-模的正合列

2) 由1)可得.

1) max{G-FP-idR(X1),G-FP-idR(X2)}≤G-FP-idT(R)(X)≤max{G-FP-idR(X1),G-FP-idR(X2)+1};

2) max{lG-FP-id(R),1}≤lG-FP-id(T(R))≤lG-FP-id(R)+1.

证明1) 因为T(R)是左GFPI-封闭环,所以R是左GFPI-封闭环.又因为R是左凝聚环,RR是投射模,RR是有限生成投射模,所以由定理2可得.

证明由定理2可得.