从矛盾到统一 应用力学3种观点综合分析“提绳”模型*

余 潘 叶晟波

（浙江省慈溪中学 浙江 宁波 315300）

【原题】如图1所示，一长为L密度均匀的柔软绳，其单位长度的密度为λ.将其卷成一堆放在地面上.若手握绳的一端，以匀速v将其上提.当绳端提离地面的高度为x时，求手的提力F.

图1 原题题图

学生在处理分析问题时通常采用冲量与动量变化观点和做功与能量转化观点，却得到不一样的结果.

1 冲量与动量变化观点I=Δp

如图2所示，将物体看作两部分进行研究，第一部分：在空中长为x的绳做匀速运动；第二部分：长为Δx微元上端与第一部分下端发生作用，Δx微元下端恰好未与桌面上的绳子发生作用，经Δt时间第二部分微元Δx与第一部分共速.分别对第一、第二部分列式.因空中部分受力平衡有

图2 两部分绳受力示意图

对微元部分由动量定理

由于作用力与反作用力

两部分的重力分别为

由于Δxλg为小量［1，2］，可忽略

2 做功与能量转化观点W=ΔE

如图3所示，同样将研究对象分成两部分，同上.在提力F作用下绳子向上匀速提升了一微元Δx，在此过程中可认为F为恒力.从能量变化的角度，整体重力势能增加量等效为底部的第二部分微元Δx移至顶部所增加的重力势能，整体的动能增加量为第二部分微元Δx增加的动能.

图3 功能转化等效图

结果不一样，问题出在哪？

分析比较两种不同观点得到的结果发现，应用做功与能量转化观点计算得到的提力F比应用冲量与动量变化得到的力要小一些.

我们的猜想：是否有机械能的损失没有计入，而导致计算结果偏小？

类比的思路：一个质量为xλ的物体速度为v，与另一个静止的质量为Δxλ的物体发生碰撞，达到共同速度，在此过程中存在机械能损失［3］，“提绳”模型是否正是因为该部分的机械能损失而导致计算结果的不一致？

验证猜想：将“提绳”过程分成3个状态.状态1，空中x长段绳有速度v，受力平衡；状态2，x+Δx长段绳有速度v共；状态3，x+Δx长段绳有速度v.

从状态1到状态2过程中，x长段绳与Δx长段绳发生完全非弹性碰撞，速度变为v共，存在机械能损失E损.

状态1到状态2动量守恒

状态1到状态2损失的机械能

从状态2到状态3过程中，x+Δx长段绳在外力作用下速度从v共变化到v，考虑整个过程：从状态1到状态3，根据功能转化的关系

与冲量与动量变化观点得到的结果一致，验证了猜想.

3 力与运动观点F=ma

前面两种模型都是将研究对象分成两部分：空中x长段绳与将要与之发生作用的微元Δx长段绳，需要考虑两部分之间的作用.现把整根绳子作为一个整体，不需要考虑内力，从受外力与质心运动的角度分析“提绳”模型［3］.如图4建立一维坐标，空中x段绳质心坐标yC1=，桌面L-x段绳质心坐标yC2=0，整根绳子的质心坐标为yC，有

图4 整体受力示意图

质心位置坐标对时间求二阶导数为质心加速度aC

发现质心沿竖直方向做匀加速运动［4］.

在竖直方向以整体为研究对象，根据

其中空中部分段绳子重力

对于静止在桌面上的L-x段绳子

得F=xλg+λv2，与前两种观点得到的结果一致，再次验证结果的自洽.

教学反思：力学3种观点是力学体系中的核心组成部分，平时教学中应引导学生多角度综合分析问题，经历从矛盾到统一的探究过程，激发学生的质疑与探索精神，使学生对知识的理解更深刻，对方法的选择与应用更娴熟与合理.