一类带记忆项的热方程的爆破解

杨 梓，岳丽霞

(兰州交通大学 数理学院,甘肃 兰州730070)

0 引言

含有记忆项的方程被应用于各个科学领域。例如：在核反应堆动力学研究中出现了涉及记忆项的模型[1-2]，人口和人口动态[3]，特别是涉及非延迟和遗传效应的逻辑增长模型[4-5]。随后，学者们研究了此类模型的各种广义解的有限时间可解性、稳定性和爆破性[6]。特别地，讨论了一类含有记忆项的半线性抛物型方程的爆破性质，这些记忆项产生于非牛顿流体中的黏弹性力模型中。

文献[7]提出了

(1)

并得到解将在有限时间内爆破，且爆破发生在边界。文献[8]在此基础上把边界条件从0到t积分得到了模型

(2)

得到了相似的结论。文献[9]对反应项进行关于时间的积分，得到如下的方程

(3)

其主要结论为当p+q>1时，u将在有限时间内爆破。

数十年来，尽管在包含反应记忆、扩散或两者的模型已经有了大量的突破，但在扩散模型的文献中，反应项和边界条件同时含有记忆项的模型结果并不常见。因此，本文在文献[7-9]的基础上研究了一类带记忆项的热方程

(4)

1 经典解

定理1 设GN(x,y,t,τ)是带有齐次Neumann边界条件的方程的格林函数，当t较小时，则

在问题(4)的条件下是一个压缩映射。

证明令

因此，Γ是X到X的一个自身映射，其中

对任意的v1,v2∈X，有

‖Γ[v1]-Γ[v2]‖∞≤

成立。取

则存在0<β<1，有

‖Γ[v1]-Γ[v2]‖∞≤β‖v1-v2‖∞

(5)

2 解的爆破

定理2 当p>1时，问题(4)的所有非平凡解都将在有限时间内爆破。

证明下文中cn或Cn(n=0,1,2,…)均代表不同的正常数。首先令格林函数GN满足

故由(5)式和Jensen不等式得

(6)

其中，令

由(6)式可得

将上述不等式从0到t积分，可得

采用反证法，假设其有全局解v，那么对于任意T>0，都有

以≥10μmol/L为判定标准1473人中,HHT患者1223人,占全部高血压患者的83.02%;男性HHT患者564人,占男性高血压患者的90.67%,女性HHT患者659人,占女性高血压患者的77.49%。以≥15μmol为判定标准1473人中,HHT患者889人,占全部高血压患者的60.35%;男性HHT患者468人,占75.24%,女性HHT患者421人,占49.47%。以≥10μmol为标准无论总体、男性和女性组的HHT患病率比以≥15μmol为标准均升高了20%以上,均显示男性高于女性,且随年龄增加,HHT患病增高。

令

所以，对任意的T≤t≤2T，都有G(t)≥S(t)成立。其中，S(t)满足

(7)

在(7)式中第一个方程两端同时乘S′(T)，并在(T,t)上积分，可得

对上式的两端同时从T到2T积分，可得

故可得

这与T足够大相违背，故问题(4)将在有限时间内爆破。

3 边界爆破

引理1 令v(x,t)是问题

(8)

的解，则v(x,t)关于时间t是不减的。 其中p>1，且c是一个正常数。

证明该证明与文献[12]的引理2.1的证明相似。即通过比较原则可知，问题(8)的解v(x,t)≥c,令

u(x,t)=v(x,t+k)，

故u(x,t)满足：

故得

u(x,t)≥v(x,t)，

成立。

则对任意Ω′⊂Ω中，都有

sup{v(x,t),(x,t)∈Ω′×(0,T)}<∞

成立，此引理称为解的最值性质。

证明已在文献[13]的引理5.1做出证明，故此处不再做证明。

定理3 问题(4)的解在有限时刻的爆破只可能发生在边界上。

证明令

设

则由问题(4)的经典解和Jensen不等式有

故由上式得

由Jensen不等式可得

上式的左右两端同乘F′(t)，并在区间(0,t)上积分可得

将上式在区间(t,T)上积分，可得

由

等价于

(9)

取任意Ω′⊂Ω，使d(∂Ω,Ω′)=ε>0，对于取定的Ω′，再取Ω″⊂Ω，使得Ω′⊂Ω″，并有

故对于∀ε>0，有

成立。由问题的经典解、引理1以及(9)式可得

由引理2可知

(10)

其中φ(x)满足

4 结论

本文研究了一类具有记忆项热方程的爆破问题。首先利用Banach压缩映射定理建立了问题的经典解，后在此基础上证明了当p>1时，该方程的所有非平凡解将在有限时间内爆破，并证明了解的爆破仅会在边界上发生。