基于小波矩量法的目标电磁散射快速算法研究

宋文良，杨峥峥

(中国船舶集团有限公司第八研究院，江苏 扬州 225101)

0 引 言

随着电磁场数值计算的不断发展，矩量法(MoM)已经成为解决与电磁辐射与散射问题相关的积分方程的重要方法。然而这种方法在计算过程中引入了格林函数，需要解复杂的矩阵方程，尤其对于电大物体来说，会形成一个规模较大且稠密的阻抗矩阵，因此求解时的计算范围很大并且需要大量的时间。

本文从阻抗矩阵元素的填充过程以及本身的性态出发，立足于RWG基函数定义的三角区域,采用质心切分法对阻抗矩阵元素进行高效填充，同时还可以避免在元素计算过程中出现的奇异性问题；然后在质心切分法的基础上，将离散小波变换与矩量法相结合，经过小波变换矩阵的处理，填充完成后的稠密的阻抗矩阵会变得稀疏；最后经过仿真验证了本文所提算法的正确性和高效性。

1 质心切分法

首先建立起具有普遍应用性的电场积分方程，通过位函数理论,可以得到散射场与入射场之间的关系：

()=-▽()-jω()

(1)

式中：()表示磁矢位；()表示电标位。

()、()可分别表示为:

(2)

(3)

式中：()表示目标表面的等效电流；()表示均匀无界空间的格林函数。

将式(2)和式(3)代入到式(1)中，可以得到：

(4)

式中：表示由等效电流产生的电场散射算子。

由理想导体表面边界条件可知，导体表面上电场的切向分量为0，因此电场积分方程可以表示为：

(5)

使用伽略金法，采用RWG基函数作为权函数离散电场积分方程,阻抗矩阵元素可以表示为：

(6)

式中：(),(′)表示RWG基函数。

采用矩量法对电场积分方程求解时，结合RWG基函数的求解区域，可将待求电磁量表示为基函数叠加的形式。由此就会形成一个含有格林函数的二重积分，如式(6)所示。此二重积分的展开过程实质上就是阻抗矩阵元素填充的过程。由以上推导过程可以看出，这个填充过程的复杂程度实际是由磁矢位和电标位所决定的。因此立足于RWG基函数定义的求解区域，采用一种特殊的三角分块法——质心切分法对阻抗矩阵元素进行填充。

如图1所示，导体的表面通过RWG基函数进行三角剖分后，采用质心切分法，将每个划分的三角形单元细分为9个相同的小三角形块。

图1 质心切分法示意图

图1中黑色的大点位于大三角块质心的位置，将小三角块的质心作为源点，大三角形的质心作为场点，此时可以通过每个子三角形上质心处值的加权总和来近似被积数。所有的元素采用相同的公式计算，从而可以减小阻抗矩阵元素的填充时间，提高填充阻抗矩阵的效率。函数在原始三角形上的积分可以表示为：

(7)

根据质心切分法可以将磁矢位和电标位重新写为：

(8)

(9)

因此阻抗矩阵可以表示为：

(10)

从原理公式的推导上可以看出，这种方法能简化磁矢量与电标量的计算过程，从而降低阻抗矩阵元素的计算复杂度；同时由于被划分的9个小三角块位置的特殊性，刚好使得场点、源点分离，此时对于阻抗矩阵元素填充的计算就不需要区分奇异部分和非奇异部分。

2 小波矩量法

上述的质心切分法在填充阻抗矩阵元素的同时，解决了计算过程中可能会出现的奇异性问题，实现了阻抗矩阵元素填充的高效性；但是实际上并没有改变阻抗矩阵本身的性质，因此对于矩阵方程的求解是没有任何影响的。矩量法在计算散射问题时引入了格林函数作为积分核函数，尽管它可以准确地描述电磁场的传播过程，但是它生成的矩阵是一个满秩的稠密矩阵，计算复杂。由于求解线性方程组的复杂度与系数矩阵中非零元素的数量有关，零元素越多，系数矩阵越稀疏，计算复杂度就越低。针对这一情况，在质心切分法的基础上，将离散小波变换与矩量法相结合，经过小波变换矩阵的处理，填充完成后的稠密的阻抗矩阵将变得稀疏。

通过矩量法求解电场积分方程，同时未知电流可以表示为RWG基函数的叠加形式，矩阵方程如下所示：

=

(11)

式中：,,分别表示阻抗矩阵，待求解的列向量，已知的激励向量。

设是一个规模为×的非奇异矩阵，为小波变换矩阵。对于任意向量，由于小波基具有多分辨率以及消失矩特性。因此·相当于对向量进行小波分解。将小波变换矩阵引入到传统的矩量法中,矩阵方程可以重新表示为：

′′=′

(12)

矩阵的作用就是稀疏阻抗矩阵。对于任意的阻抗矩阵，它的小波变换矩阵为。为了更合理地对阻抗矩阵进行稀疏，选择阈值如下所示：

(13)

式中：表示矩阵的维数，表示控制变量。

当矩阵元素小于这个阈值时就被置为零。矩阵通过矩阵变为了稀疏阵。与直接求解矩阵相比，求解′矩阵会减少计算时间，小波变换矩阵的逆矩阵为：

()′=

(14)

3 算法仿真分析

为了验证上述方法的正确性和高效性,使用电场积分方程分析理想导体球与导体平板的双站雷达截面积(RCS)。对于每一个例子，通过RWG基函数离散导体表面，采用伽略金法和质心切分法获得阻抗矩阵，然后经过小波变换稀疏得到阻抗矩阵。传统矩量法计算得到的阻抗矩阵是严格对称的，但是由于使用了质心切分法填充阻抗矩阵元素，在计算过程中使用质心代替了任一点的计算，所以使得阻抗矩阵并不是严格对称的，因此本文采用广义最小余量法这一迭代方法进行矩阵方程的求解。

首先对尺寸为045的理想导体球进行分析。入射波频率为300 MHz，沿-方向入射，电场的极化方向沿+方向，电场强度取为1 V/m，剖分物体表面的三角形单元平均尺寸为0.1，小波分析中阈值标准=10。双站RCS描绘电磁散射特性，入射角度为(,)=(0°,0°)，散射波观察角度为(,)=(0°,-180°,0°)。第2个例子采用边长为5×5的理想导体平板，仿真条件与导体球的相同。图2和图3分别给出了传统矩量法、质心切分-矩量法以及质心切分-小波变换矩量法的双站RCS仿真曲线。

图2 0.45λPEC球的双站RCS

图3 5λPEC球的双站RCS

可以看出，质心切分-矩量法以及质心切分-小波变换-矩量法与传统方法的计算结果基本一致，验证了这2种算法的正确性与有效性，同时也可以看出改进后的算法具有良好的计算精度。表1和表2分别记录了导体球与导体平板在传统矩量法，质心切分-矩量法以及质心切分-小波变换-矩量法下的矩阵填充时间与计算总时间，3种方法的未知量数目相同。

表1 3种算法的计算时间比较(导体球)

表2 3种算法的计算时间比较(导体平板)

相比于传统的矩量法，由于质心切分法在填充阻抗矩阵时计算简单，不需要区分奇异性与非奇异性，因此大大提高了填充阻抗矩阵的效率。从上述2个例子可以看出，随着未知量的增加，减少的填充时间也是在增加的。这也表明了随着目标电尺寸的增大，质心切分法的效率也会随之增加。从计算总时间上看，随着未知量的增加，节省的计算总时间也随之在增加。但是从质心切分-小波变换-MoM与质心切分-MoM的计算总时间可以看出，若仅采用小波变换的方法，实际上对于计算总时间的减少是有限的。这是由于采用矩量法计算目标电磁散射问题的过程中，耗时最多的就是填充矩阵元素的过程。

4 结束语

本文提出了一种由小波矩量法和质心切分法相结合的算法，质心切分法可以加快阻抗矩阵元素的填充，并且可以有效避免计算过程中的奇异性问题。小波矩量法可以使矩阵方程稀疏化，从而被快速求解。数值算例表明改进后的方法可以显著降低阻抗矩阵的填充时间与求解时间，证明了本文所提方法的正确性和有效性。