配方法在初中数学解题中的灵活运用

戴晓峰

摘要：配方法是初中数学中恒等变形的一种重要方法，也是一种灵活、广泛运用的高效解题方法.本文中结合典型例题的具体分析，探讨了在各类题型中灵活运用配方法解题的方法与技巧问题.

关键词：挖掘关系;观察配方;凑项配方;利用公式

1 引言

在初中数学中，配方法是一种能够灵活运用、十分重要且有效的解题思想和方法.它常见于各类数学问题的解答之中，现将其常见的解题思路与方法归类解析如下.

2 配方法在各类题型中的灵活运用

2.1 在代数式运算中的运用

例1 已知实数x，y，z满足x=6-y，z2=xy-9，试求x，y，z的值.

解：把x=6-y代入z2=xy-9中，得

2=（6-y）y-9=-（y-3）2，即

2+（y-3）2=0      ①

因为y，z是实数，所以z2≥0，（y-3）2≥0.

欲使①式成立，则z=0，y=3，此时x=3.

故x=y=3，z=0.

思路与方法：本题的题设条件中等式只有2个，而未知元却有3个，要想求出这三个未知量，还应挖掘条件中等式隐含的某种特殊关系，这就需要运用配方法，例如通过把x=6-y代入z2=xy-9中，再化为z2+（y-3）2=0，这样就等于消去了一个未知元x，达到了化繁为简的目的.

例2 设x=n+1-nn+1+n，y=n+1+nn+1-n（n为自然数），当n为何值时，等式x2+1 504xy+y2=1 986成立？

解：x+y=n+1-nn+1+n+n+1+nn+1-n=（n+1-n）2+（n+1+n）2（n+1+n）（n+1-n）=4n+2，

xy=n+1-nn+1+n×n+1+nn+1-n=1.

故由x2+1 504xy+y2=（x+y）2+1 502xy=（4n+2）2+1 502=1 986，解得n=5.

思路与方法：通过观察发现，题设条件中，x与y互为倒数，容易求出x+y和xy的值;再将要求的等式左边利用配方法变化成含x+y和xy的形式，即可轻松求解.

2.2 在解方程中的运用

例3 解方程：x29+16x2=103x3-4x.

解：因为x29-83+16x2=x3-4x2，所以原方程可变形为x3-4x2+83=103x3-4x.

设y=x3-4x，代入上述方程，得y2+83=103y.

整理得3y2-10y+8=0，解得y1=43，y2=2.

再由43=x3-4x和2=x3-4x，

解得原方程的四个根分别为

x1=6，x2=-2，x3，4=3±21.

思路与方法：通过观察发现，方程左边的两项x29和16x2分别是右边括号内的两项x3与4x的平方.这就启发我们，可以通过“凑项”的方法将原方程转化为关于新未知数y=x3-4x的方程，进行求解.

例4 求方程x+y-1+z-2=12（x+y+z）的实数解.

解：原方程可变形为：2x+2y-1+2z-2=x+y+z

（x-2x+1）+[（y-1）-2y-1+1]+[（z-2）-2z-2+1]=0

（x-1）2+（y-1-1）2+（z-2-1）2=0.

根据实数性质，可得x=1，y-1=1，z-2=1，解得x=1，y=2，z=3.

经检验，x=1，y=2，z=3是原方程的解.

思路与方法：一般来说，当未知数的个数多于方程的个数时，方程（组）的解就有了不确定性[1].例如本题通过配方，将左边凑成了三个完全平方式之和，而右边为零，利用非负数的性质，就暴露了问题的特殊性，即x-1=0，y-1-1=0，z-2-1=0三者同时成立，则原方程同解于三个方程组成的方程组，从而顺利解决问题.

2.3 在函数中的运用

例5 求函数y=x4+x2+1的最小值.

解：y=x4+x2+1=（x2）2+x2+1

=x2+122+34.

因为x2≥0，x2的最小值是0，所以，当x=0时，y=0+122+34=1，即所求函数的最小值为1.

思路与方法：一般来说，当自变量取值范围有限制时，要求y=ax2+bx+c的最值，不能轻易套用最值公式，应先通过配方再求最值，防止出错.例如在本题中，如果直接套用二次函数的最值公式y=4ac-b24a，当x2=-b2a=-12时，y取得最小值，这是不可能的，因为x2≥0，x2不能取-12.

例6 已知二次函数y=ax2+bx+c有最小值12，且a∶b∶c=1∶3∶2，求此函数的解析式.

解：设函数的解析式为y=a（x+h）2-12（a>0）.

因为a∶b=1∶3，所以b2a=32=h，此时，函数的解析式为y=ax+322-12=ax2+3ax+9a-24.

由条件c∶a=2∶1，得9a-24=2a，即a=2.

故所求二次函数的解析式为y=2x+322-12，

即y=2x2+6x+4.

思路与方法：由本题的题设可得抛物线的顶点坐标为-32，-12，所以设二次函数解析式为“配方式”求解较为方便.

2.4 在平面几何中的运用

例7 如图1，在△ABC中，∠A+∠C=2∠B，其中最大边与最小边分别是方程3x（x-9）+32=0的两根，求△ABC的内切圆面积.

解：因为∠A+∠C=2∠B，

所以3∠B=180°，即

∠B=60°.因为三角形中最大角不小于60°，最小角

不大于60°，而∠B=60°，所以∠B必是最大边与最小边的夹角.

原方程整理为3x2-27x+32=0.

设△ABC最大边为a，最小边为c，则a，c为方程的两根.由韦达定理可知a+c=9，ac=323.

由余弦定理，可知b2=a2+c2-2accos B=（a+c）2-3ac=92-3＼5323=49，解得b=7.

所以S△ABC=12acsin B=12＼5323＼532=833.

由S△ABC=12（a+b+c）r（r为三角形内切圆半径），得

r=2S△ABCa+b+c=2×8339+7=33.

故三角形内切圆面积为S=πr2=13π.

思路与方法：本题如果采用常规方法，通过求解方程的两根来计算内切圆的面积，运算会非常繁琐，所以另辟蹊径，巧用一元二次方程根与系数的关系及配方法[2]，则计算过程简捷多了.

例8 已知，a，b，c，d皆为正数，且满足a4+b4+c4+d4=4abcd.

求证：以a，b，c，d为边的四边形为菱形.

证明：将条件式变形为a4-2a2b2+b4+c4-2c2d2+d4+2a2b2+2c2d2-4abcd=0.

即（a2-b2）2+（c2-d2）2+2（ab-cd）2=0.

所以a2-b2=0，c2-d2=0，ab-cd=0.

解得a=b=c=d.

所以，以a，b，c，d为边的四边形为菱形.

思路与方法：证明本题的主要技巧在于利用完全平方公式将条件式配方变形，只需要证明a=b=c=d即可.

2.5 在根式运算中的运用

例9 化简：x+2x-1+x-2x-1（其中x≥1）.

解：

x+2x-1+x-2x-1

=（x-1）+2x-1+1+

（x-1）-2x-1+1

=（x-1+1）2+（x-1-1）2

=x-1+1+x-1-1

=2x-1，x≥2，2，1≤x<2.

思路与方法：本题利用配方法，将根式中的代数式配成完全平方式以便求其算术平分根，其中将x改写成x-1+1的形式是解题的关键.

3 结论

从上述典型例题思路与方法的解析中可以看出，灵活运用配方法解题，关键是要在储备大量基础知识、能娴熟运用相关公式、定理、性质的基础上，有目的地去“变形配方”，充分运用发散思维，多角度思考、多途径尝试、多联想、多分析、多训练，从中寻找、挖掘条件之间、条件与结论之间的联系.长此以往，坚持训练，一定能够提高综合解题能力.

参考文献：

[1]王亚峰.配方法在初中数学解题中的应用[J].理科考试研究，2016（8）：1.

[2]刘梦.配方法在解题中的运用[J].初中数学教与学，2021（13）：20-21，14.