指向核心素养的几何教学的实践与思考

倪勤华

1 引言

2022年1月深圳市举行了初三年级中考适应性考试，这是一次在双减背景下以数学素养为导向的考试，笔者以填空题的15题为例谈谈对初中几何教学的感悟.

2 试题呈现

（2022年深圳九年级适应性考试第15题）如图1，已知△ABC和△EAD都是等腰直角三角形，∠BAC=∠ADE=90°，AB=AC=1，AD=DE=5，点D在直线BC上，EA的延长线交直线BC于点F，则FB的长是     .

3 特色解读

本题以学生熟悉的等腰直角三角形为背景构造图形，属于“图形与几何”领域的综合问题，内涵丰富，特点突出.从知识角度看，以三角形为载体，涵盖了平行线、等腰三角形、相似三角形、勾股定理等知识;从能力角度看，关注了学生的几何直观、数学抽象、逻辑推理和数学运算等综合能力;从数学思想角度看，渗透了模型思想、转化思想以及数形结合思想.

本题从“形”（图形的形状、大小）联想到“子母型相似”“三线合一”，作出等腰三角形底边上的高，借助几何直观构建基本模型“一线三等角”“A型相似”等，综合分析条件与结论，运用多种解题策略，推理得出线段间的数量关系，实现“形”与“数”的转化，从而解决问题.考查学生在理解“一线三等角”“子母型相似”“A型相似”等模型之后，能否借助图形多角度考虑问题.

本题具有典型性、灵活性与创新性等特点，富有深圳特色，解法开放，考查了学生的几何直观、模型思想、运算能力等素养，不但重视对学生数学能力的考查，又聚焦学生数学核心素养的落实.作为教师要做到追本溯源，探究推广.

4 解法赏析

分析：许多学生初看本题，感到既熟悉又无从下手.其实，可以由条件中的等腰直角三角形得出45°和90°这两个切入口.

思路一：子母型相似.

解法1：如图2，作AG⊥BC于点G.

易证△ABF∽△DAF，所以BFAF=AFDF=ABDA=15.设BF=x，则AF=5x，DF=5x.

因为FB+BG+DG=DF，所以x+22+322=5x，解得x=22.故FB=22.

思路二：子母型相似+勾股定理.

解法2：如图2，作AG⊥BC于点G.

易证△ABF∽△DAF，所以BFAF=ABDA=15.

设BF=x，则AF=5x.由AF2=FG2+AG2，得5x2=x+222+222，解得x1=22，x2=-24舍去.故FB=22.

评析：解法1和2考查学生对“形”的高度敏感性，发现△AFB与△DFA有公共角F，由两个等腰直角三角形，得出∠ABF=∠DAF=135°，找到子母型相似，再作出AG，自然而然联想到勾股定理，问题破解.这两种方法本质上是相同的，即通过构造子母型相似，将几何图形的线段关系代数化为方程解决问题.

思路三：一线三等角+A型相似.

解法3：如图3，作AG⊥BC于点G，EH⊥BC，交BC的延长线于点H.

由题意得AG=22，DG=322.又由“一线三等角”，得△AGD≌△DHE，所以EH=DG=322，DH=AG=22.故GH=22.

易证△AFG∽△EFH，所以FGFH=AGEH=13，故FGGH=12.又因为GH=22，故FG=2.

所以FB=22.

评析：解法3是基于对∠ADE=90°的联想与思考，由于边FD上斜着摆放了一个直角，因而构造出“一线三等角”的基本模型.此解法贴合学生想法，容易想到，大多数同学能作出辅助线，但对综合能力的要求较高，很多学生没能顺利解决问题.

思路四：子母型相似+A型相似.

解法4：如图4，连接CE.

易证△ABF∽△DAF，所以BFAF=ABDA=15.

因为BC=2，AE=10，所以BFAF=

BCAE=

15，

可得AFEF=FBFC.又因为∠F=∠F，所以△AFB∽△EFC，故ABEC=FBFC.

由∠BAC=90°，AB∥CE，得∠ACE=90°.又因为AC=1，AE=10，所以EC=3.故FBFC=ABEC=13，从而FBBC=12.又因为BC=2，故FB=22.

评析：解法4的发现，源于几何直观，学生直觉认为CE平行于AB，若平行，问题自然迎刃而解.根据勾股定理算出BC与AE的长度，并且发现了“子母型相似”与“A型相似”，很快能证明△ABF与△DAF相似.此解法凸显直观想象素养，运算简单，体现学生良好的数学素养.

思路五：“12345”.

解法5：如图2，作AG⊥BC于点G.

由∠ABC=∠EAD=45°，得∠ABF=∠DAF=135

°.所以△ABF∽△DAF，则∠FAB=∠FDA.在等腰直角三角形ABC中，由AB=AC=1，得AG=BG=22.又由AD=5 ，得DG= 322.故tan∠FDA=13.所以tan∠FAB=∠FDA=13 .

又因为∠FAB+∠F=∠ABC=45°，所以tan F=12 .由AG= 22 ，得FG=2 .所以FB=22 .

评析：解法5另辟蹊径，从45°联想到“12345”，利用勾股定理求出AG，BG和DG的长度，由此发现tan∠FDA=13 ，适用“12345”结论.此解法构思巧妙，思路简洁，体现了学生思维的灵活性[1].

思路六：建立坐标系.

解法6：如图5，以BC的中点G为原点建立

平面直角坐标系，则B-22，0，C22，0.

因为AD=5，AG=22，所以由勾股定理可得DG=322 .

作EH⊥BC于点H.

易证△AGD≌△DHE，得GH=22，则E22，322.

所以，直线EA的方程为y=12x+122.

当y=0时，x=-2 ，即F（-2 ，0）.

所以FB=22.

评析：解法6源于数形结合思想，运用代数的方法解决几何问题.虽然此解法与解法3本质相同，但颇具“数学味”，体现学生思维的灵活性，彰显出教师教学中对课内知识的延伸，为学生后续学习解析几何奠定基础.

5 试题拓展

拓展1 如图6，已知△ABC和△EAD都是等边三角形，AB=AC=2，AD=DE=27，点D在直线BC上，EA的延长线交直线BC于点F，则FB的长是   .

拓展2 如图7，已知△ABC和△EAD都是等腰三角形，∠BAC=∠ADE=120°，AB=AC=23，AD=DE=213，点D在直线BC上，EA的延长线交直线BC于点F，则FB的长是    .

设计意图：数学思维是学生在思考问题、解决问题的过程中逐步积累起来的.前面我们探究出了一题多解，现将题目进行拓展，一题多变，突破学生思维障碍，在“做”和“思”的过程中，帮助学生掌握解决一类问题的基本方法，提升学生的综合分析能力，发展学生思维的深刻性、广阔性以及灵活性，落实数学核心素养.

6 教学思考

“图形与几何” 是数学四大学习领域之一，因此几何教学在义务教育阶段占有重要的地位，在整个数学学习过程中发挥着不可替代的作用.初中几何教学对学生几何直观与逻辑推理素养的培养具有重要的影响，更是数学核心素养的目标之一[2].

6.1 立足教材，关注模型

教材是教学的根本，是学生学习数学、获得数

学能力、形成数学素养的载体.教师需立足教材，

高于教材，把握核心模型，关注学生对几何模型的夯实与理解.

本题源自北师大版《数学》（2013版）九年级上册第120页复习题第11题：如图8，点C，D在线段 AB上，△PCD是等边三角形，且 △ACP∽△PDB，求∠APB的度数.

题目以等腰直角三角形为背景，综合考查等腰三角形、直角三角形、相似三角形的性质与判定等初中几何的主要知识点.题目包含众多基本模型，如“一线三等角”“A型相似”“子母型相似”，涵盖初中三角形的所有基础模型，体现了数学素养对学生从整体上把握学习内容的要求.

教师在进行几何教学时，需深钻教材，对整个几何知识体系有清晰的认知，并对教材有宏观的把握能力，对内容进行整合和重组，归纳出常见几何模型，引导学生观察体会这些模型的“生长点”和“延伸点”，使学生对这些基本模型具备较好的认知基础和解题经验以及顺利解决问题的思维基础[2].

6.2 挖掘几何特征，发展核心素养

学生在学习研究几何时，需细心观察，借助几何直观，展开线与线的位置，图形间的全等、相似等变换的研究，发现图形的关系特征，形成必备的空间想象、推理与计算、方程与函数、分类与整合、动静结合、特殊与一般等后续学习和发展所需的数学学科素养[3].

学生遇到综合性几何问题时，往往束手无策，不得其法.很多时候面对复杂图形不知如何下手，这时学生需要有挖掘图形几何特征的意识，结合已知条件，识别出熟悉的基本模型，唤醒与此模型相关的结论、方法，作为解题的突破口.比如，本试题可以从两个等腰三角形中45°或直角作为切入点，识别出“一线三等角”“12345”“A型相似”“子母型相似”等模型，从而快速找到解决问题的思路.

几何教学意在引导学生善于从图形出发挖掘模型的几何特征，关注学生数学模型经验方法的积累，发展学生数学建模、几何直观等核心数学素养.

6.3 强化逻辑推理，凸显核心素养

初中数学问题的解决思路是由已知到未知，中间要经历“由已知得可知，由未知想需知”的过程，其中推理能力贯穿解题的始终.在尝试解决问题时，顺向与逆向推理、猜想与验证推理、归纳与演绎推理，都凸显了数学学科的核心素养[4].

对于综合性的几何问题，常常要综合分析：由题设及模型特征正向推理得出若干条件;由未知逆向推理得出解决问题所需的条件.

通过若干次推理后让两者相遇，最终使问题得以突破.

在几何教学中，教师要注重强化学生逻辑推理能力.比如，结合题设条件展开合情推理，从条件入手得出各种结论，从结论入手逆推方法，建立知识间的逻辑联系，从而顺利解决问题.

6.4 反思优化归纳，提升核心素养

综合性几何问题涉及的知识点较多，解法多样.教师在教学时，要引导学生发散思维，实现一题多解;对各种解法进行提炼，优化解题策略;反思方法和规律，体会多解归一;设置延续性的变式问题进行一题多变，抓住问题的内在逻辑结构，掌握解决问题的通式通法，提升和发展学生的核心素养.

在解决了综合性的几何问题后，教师要引导学生进行反思优化归纳，如，这道题考查了哪些模型？这类模型常见的辅助线与结论有哪些？解决这类题的关键是什么？每种解法的切入点在哪里？各种解法的优缺点是什么？以后解决这类问题该如何做？使得学生在提炼方法和回顾思维的过程中培养数学能力，提升数学素养.

参考文献：

[1]柳军，水冰.注重数学思维 彰显育人价值[J].中学数学教学参考，2020（32）：41-45.

[2]曹建军.考查基本图形 引导几何教学[J].中学数学教学参考，2020（26）：44-47.

[3]程雪琼，褚艳娟.挖掘特征善联想 回归本源觅方法[J].中学数学教学参考，2021（8）：12-14.

[4]姜晓翔.着眼综合实践 凸显素养立意[J].中学数学教学参考，2020（26）：35-39.