初中生数学素养培养策略的探索与思考

郑文海 蔡海涛

摘要：数学思维与素养的培养对学好初中数学大有裨益，因此在初中数学教学中，教师要通过引导，着力培养学生的抽象思维、问题思维、逻辑思维、批判思维.基于思维导向，教师要引导学生学会在一定的情境中抽象问题，分析问题与解决问题，再进行有效反思，拓展新问题，促进学生数学素养的提升.

关键词：思维导向；关注过程；发展素养

初中数学具有承前启后的特征，它比小学阶段更注重逻辑思维的培养，而在理性思维深度方面略逊于高中数学教学.初中数学教学是引导学生由形象思维为主逐渐转为抽象思维为主的过渡时期，教师应着力培养学生的思维，关注知识发生、发展的过程，引领学生深度思考，从而为学生高中阶段数学素养的储备奠定基础.下面笔者谈谈思维导向下提升学生素养的实践与思考，以期与同行交流.

1 激发抽象思维提升素养

进入初中后，部分学生会觉得数学学习变得更难了，有的学生会遭遇数学学习的瓶颈，甚至逐渐丧失学习数学的兴趣和信心.经与部分学生交流，发现主要是因为初中阶段的很多数学知识比较抽象，而小学数学的大部分知识都与现实生活有一定关联，学习内容的改变导致部分初中生在短期内无法适应.因此初中阶段的数学教学，教师要设计一些从问题情境中抽象出来的数学问题，挖掘问题中的数学元素，提炼其中的数学本质属性，积累解决抽象问题的方法经验，提升学生的数学抽象素养.

例1观察规律11×2=1－12，12×3=12－13，13×4=13－14，……，运用你观察到的规律解决以下问题：如图1，分别过点Pnn，0n=1，2，……作x轴的垂线，交y=ax2a>0的图象于点An，交直线y=－ax于点Bn．则1A1B1+1A2B2+……+1AnBn的值为（）.

A．nan－1B．2an－1

C．2ann+1D．nan+1

解析：因为过点Pnn，0n=1，2，……的垂线交y=ax2a>0的图象于点An，交直线y=－ax于点Bn，所以令x=n，可得An纵坐标为an2，Bn纵坐标为-an，则AnPn=an2，BnPn=an.

所以AnBn=an2+an，从而可得

1AnBn=1a（n2+n）=1a1n-1n+1.

所以1A1B1+1A2B2+……+1AnBn

=1a1-12+12-13+13-14+……+

1n-1n+1

=1a1-1n+1=na（n+1）．

故选：D．

评析：本题考查了一次函数和二次函数与垂直于x轴的直线交点的坐标问题，解题的关键是能够抽象出要解决的问题的一般特征AnBn=an2+an，再抽象出已知条件的一般规律，即1n（n+1）1n-1n+1，类比这个式子，对所求式子进行化简，得1AnBn=1a51n-1n+1.解题过程中体现了抽象数学问题，由特殊到一般的归纳总结，再形成类比迁移，破解难点．

2 驱动问题思维提升素养

问题是思维的起点，是数学的“心脏”.创设一个个具体的问题，学生才会更加积极主动地思考、探索.教师要善于把知识传授的课堂转向问题解决的课堂，教学中力求用问题推动学生进行深度学习，即形成“提出问题→解决问题→再提出问题→解决问题”的模式.

案例“线段的垂直平分线”引入

“线段的垂直平分线”是学生在学习了“三角形的有关知识”的基础上进行的，是后续证明“线段相等”和“直线垂直”的依据，具有承上启下的重要作用.对于这节课的引入做如下设计：

师问1：为解决A，B，C三地用电难的问题，区政府决定新建一个水电站，向A，B，C三地供电，要求该水电站到A，B，C三地的距离一样，试确定所建水电站的位置.

生：先将A，B，C三地抽象成A，B，C三个点，问题转化为如何求作一点P使PA=PB=PC.

师问2：P点怎么找？根据我们学过的知识，就是要构造以P为顶点的三个等腰三角形.如何构造？问题能否简化？

生：可以先试着找与A，B两个点距离相等的点.

师问3：各位同学拿出课前准备好的A4纸，画一条线段AB，请设计一个数学实验，动手找到与A，B两点距离相等的点的轨迹.

生：将纸折叠使得点A与点B重合，得到折痕l即为所求.

根据以上教学活动，自然引出“线段垂直平分线”的定义.以上教学设计，教师借助问题驱动思维，让学生积极自主探究线段垂直平分线的作法，体验知识的形成过程中蕴涵的数学思想方法.教学中，基于以学生为主体的原则，以问题式的数学活动推动学习进程，鼓励学生在“做中学”，培养学生的合作精神与创新能力.

3 构建逻辑思维提升素养

逻辑思维能力，指的是个体正确、合理思考的能力[1].初中数学很多题目都考查了逻辑推理，考查学生能够基于已知条件，结合数学定律公式，逻辑层层递进，一步步推向最终的结论.所以，教师要适时引导学生逐渐养成严谨的数学逻辑思维习惯，这是学好初中数学的必备能力.

例2如图2，∠MON=45°，已知正方形ABB1C，正方形A1B1B2C1，正方形A2B2B3C2，正方形A3B3B4C3，……，它们的顶点A，A1，A2，A3……在射线OM上，顶点B，B1，B2，B3，B4……在射线ON上，连接AB2交A1B1于点D，连接A1B3交A2B2于点D1，连接A2B4交A3B3于点D2，……，连接B1D1交AB2于点E，连接B2D2交A1B3于点E1，……，按照这个规律进行下去，设四边形A1DED1的面积为S1，四边形A2D1E1D2的面积为S2，四边形A3D2E2D3的面积为S3，……，若AB=2，则Sn等于．（用含有正整数n的式子表示．）

解析：因为∠MON=45°，由正方形ABB1C与正方形A1B1B2C1，得△OAB和△OA1B1都是等腰直角三角形.所以OB=AB=BB1=2，A1B1=OB1=4.

同理A2B2=8.

于是正方形ABB1C，正方形A1B1B2C1，正方形A2B2B3C2的边长分别为2，4， 8，

由AC∥B1B2，DB1∥D1B2，得CDDB1=ACB1B2=24，即DB1=2CD，从而CD=13CB1=23，DB1=43.

同理C1D1=13C1B2=43，D1B2=83；C2D2=13C2B3=83，D2B3=163.

因为DB1∥D1B2，所以△DEB1∽△EB2D1.

设△EDB1和△EB2D1的边DB1和B2D1上的高分别为h1和h′1，则h1h′1=DB1D1B2=4383=12.

因为h1+h′1=B1B2=4，所以h1=43，h′1=83.

设△DEB1，△E1D1B2，△E2D2B3的边DB1，D1B2，D2B3上的高分别为h1，h2，h3，则有

h1=43，h2=83，h3=163.

所以S1=S△A1B1D1－S△DB1E=12×42－12×DB1·h1=12×42－12×43×43=649.

同理S2=S△A2B2D2－S△D1B2E1=12×82－12×D1B2·h2=12×82－12×83×83=4×649；

S3=S△A3B3D3－S△D2B3E2=12×162－12×D2B3×h3=128－12×163×163=42×649；

…………

Sn=649×4n－1=4n+29=22n+49．

故答案为：22n+49．

评析：本题以规律型问题为载体，有一定的难度.解决本题的难点是数形结合并善于发现规律，而具备一定的逻辑思维能力是解题的关键．需要根据已知条件结合图形特征，证得△ADC∽△B2DB1，推出CD=23，DB1=43，同理得到C1D1=43，D1B2=83；由△EDB1∽△EB2D1，推出△EDB1边DB1上的高为43，计算得S1=649，同理得S2=649×4，S3=649×42.找到规律，即可求解.

4 培养批判思维提升素养

数学是一门严谨的学科.在数学学习中，无论是运算，还是证明，都必需做到有理有据，任何一个步骤的不严谨，都可能会导致解题错误.

例3若关于x的方程x+ax－1=a无解，求a的值．

本题在实测中，很多学生出现如下错解.

错解：由x+ax－1=a，得x+a=ax－1，即

x+a－ax+a=0．

所以1－ax=－2a，则x=2aa－1.

当x=1时，原方程产生增根，无解，即2aa－1=1，解得a=－1.

所以a的值为－1．

正解：由x+ax－1=a，得1－ax=－2a．

当1－a=0时，原方程无解，此时a=1．

当1－a≠0时，x=2aa－1，解得a=－1．

综上，a的值为1或－1．

评析：本题的错因主要是学生的批判性思维淡薄，在等式两边同时除以其数（整式）的基本运算中，未能对除数是否为0进行分类讨论．

例4在半径为10 cm的圆内有两条相互平行的弦，它们的长度分别为12 cm和16 cm，求这两条弦之间的距离.

评析：本题大部分学生利用“垂径定理”和“勾股定理”，求出答案为2 cm，忽视了还有另外一个解为14 cm.造成这个错误的原因，是学生缺乏批判思维，在分析题意时未能分析好图形特征，画图时对两条相互平行的弦与圆心的位置关系的情况考虑不周.解题教学中，教师要善于引导学生强化批判思维的意识，敢于质疑，养成严谨的逻辑推理和数学运算的习惯，深刻理解数学知识的内涵和问题的本质.

总之，初中数学思维的培养尤为重要.教学中，教师应在学生的“最近发展区”上，合理应用问题情境，以学生为主体，构建数学思维活动，激发学生主动思考、活跃思维，循序渐进地完善学生的思维品质，促进学生形成良好的数学素养，为学好高中数学打下基础.

参考文献：

[1]马晓芹.谈初中数学教学中学生逻辑思维能力的培养[J].中学数学，2022（16）：77-78.