由一道题谈换元的几种技巧

黄淑敏

换元法，也叫变量代换法，或辅助元法，我们在解 数学题时常要用到它.运用换元法，能使复杂问题变得 简单，陌生问题变成熟悉问题，非常规问题变为常规 问题，这样便为我们解题打开了一条“绿色通道”.那么 如何进行换元呢？我们先来看一个例子.

一、題目及其解析

例1

解析：本题是一道最值问题，看似较为简单，其实 较为复杂.解题的关键是将已知的关系式进行合理变 换，通过三角换元求得 x 2 + y2 的最值.

解：

显然这种换元思路比三角换元更胜一筹.通过合 理换元，可把复杂的代数式转化成简单的代数式，将 复杂的问题转化为简单的问题，这就是换元法的魅力 所在.

二、换元的几种思路

1.局部换元

局部换元是常用的换元思路，是指把某个代数式 或其中某一部分看成一个“整体”，用一个字母来代 替，从而使原问题简化.运用局部换元法解题的关键是 找到合适的式子进行换元，有时候我们要通过适当的 变形，才能发现这个“整体”.

例2

解：

本题主要考查了指数函数与对数函数的运算性 质以及图象.为了求得最值，需令 t = 2x + 1 ，n = 2x ，通 过两次局部换元，将原函数化成我们熟悉的对勾函 数，根据对勾函数的性质就很容易求出最值.

例3

解：

令 t = sin θ - cos θ ，通过局部换元，消去参数 θ ，便 能将非常规的三角函数最值问题转化为二次函数最 值问题.解题时应特别注意新元的取值范围.

2.三角换元

所谓三角换元，是指将某个式子用三角函数替换， 把问题转化为三角函数问题来求解.根据同角的三角函 数关系式 sin2 θ + cos 2 θ = 1 ，通常可令变量 x = sin2 θ 、 x = sin θ 、y = cos 2 θ ，通过三角换元，可将函数式转化为 三角函数式，以利用三角函数的有界性和单调性求得 问题的答案.

例4

解：

在选取新元时，要关注角的取值范围，保证函数 的定义域不变，通过等价转换，将问题转化为三角函 数问题来求解.同时也要尽量保证根式为正数，这样可 避免去掉绝对值符号时的分类讨论.

例5

解：

解答本题，本质上是利用了椭圆的参数方程，通过 引入参数 θ ，将椭圆最值问题转为三角函数最值问题.

例6

解：

进行三角换元前，必须深入挖掘题目中的隐含条 件，将其与同角的三角函数关系式关联起来，合理进 行换元，便可将问题顺利转化，从而快速求得问题的 答案.

3.均值换元

均值换元是指利用一个新元来沟通原来两个量之 间的关系，通过换元，来简化计算.对于形如 x + y = 2S 的关系式，可设 x = S + t，y = S - t ，其中 S 是 x，y 的平均 值，t 是新元，这样便可将二元变量问题转化为一元变 量问题，从而达到化繁为简的效果.

例7

解：

根据 A + C = 120° 进行均值换元，便将问题变为 简单的三角函数问题.若题目中出现两个变量 x，y ，可 以设 x = a + b，y = a - b ，这称为“和差换元法”，该换元 思路和均值换元思路类似，

例8

解法一：

解法二：

比较两种解法，不难发现解法2优于解法1.解法2 采用了均值换元法，将二元一次函数转化成一元二次 函数，从而将陌生问题化为熟悉问题.

综上所述，换元法是一种重要的解题方法，无论 是局部换元、三角换元，还是均值换元，在解题中都能 起到化繁为简，化陌生为熟悉的作用.在解题时，同学 们一定要注意这种方法的合理应用，选取合适的部分 或式子进行换元，以简化运算，提升解题的效率.

（作者单位：福建省漳州市第三中学）