求解多元函数最值问题的两种途径

崔胜军

思路探寻 多元函数最值问题中涉及了多个变量，采用常规 的方法求解，很难获得问题的答案.此时，我们需通过 消元、换元，来减少问题中变量的个数，将多元函数最 值问题转化为简单的、常规的一元函数最值问题来求 解.下面谈一谈求解多元函数最值问题的两种途径：消 元、换元.

一、消元

所谓消元，是指根据变量之间的关系或关系式， 用其中一个变量表示其他变量，以消去其他的变量.在 求解多元函数最值问题时，需先根据题意，寻找变量 之间的关系；然后通过消元，将问题转化为关于某个 变量的最值问题；再运用简单基本函数的单调性、基 本不等式、导数法、配方法等求得函数的最值.

例1

解：

我们首先将已知关系式变形，即用y表示x，并将 其代入目标式中，便可将目标式转化为只含一个元y 的式子；再将其变形，配凑为两式 y - 1、 4 y - 1 的和，而 其积为定值，便可利用基本不等式求得最值.

例2

解：

为了消元，将 x 2 y + xy2 - 4 = 0 看作关于 x 的一元 二次方程，根据求根公式求得x的表达式，并将其代入 目标式中，便将目标式转化为关于y的一元函数式，再 利用基本不等式求得函数的最值.

二、换元

有些问题没有给出变量之间的关系式，此时需通 过换元来求多元函数的最值.运用换元法来求解多元 函数的最值，需先根据题意找到合适的式子进行换 元，而该式必须含有几个变量，如令 t = x y 、t = x - y 等，这样便可用新元替换原来的几个变量，将多元函 数最值问题转化为一元最值问题，再根据基本函数的 单调性、基本不等式、导数法、配方法等求最值即可.

例3

解：

先将目标式变形，可发现该式中多次出现 y x ，于 是令 t = y x （t > 0） ，通过换元，将问题转化为关于t的一 元函数式，再利用基本不等式求解.

可见，换元法和消元法均是解答多元函数的最值 问题的有效方法，虽然其解题思路有所不同，但目的 都是一样的，即通过减元，将问题转化为简单的、常见 的函数最值问题.

（作者单位：甘肃省天水市第三中学）