灵活换元，提升解代数式题的效率

江春宇

换元法是解答高中数学问题的常用方法，是指引 入一个或几个新变量，并将问题中的某个变量或某个 式子替换，通过等量代换求得问题的答案.运用换元法 解题，关键是找到合适的变量和式子进行换元，以将 问题简化.下面，主要谈一谈三种换元的技巧.

一、三角换元

三角换元，是指用三角函数进行换元.若题目中出 现平方式、根式、倒数式，往往可通过三角换元来求得 问题的答案.运用三角换元法解题，要根据同角的三角 函数关系式 sin2 α + cos 2 α = 1 ，令变量为 sin2 α、cos 2 α、 sin α、cos α ，再将其代入目标式中，便可将问题转化为 三角函数问题，利用三角函数的基本公式、性质来求 得问题的答案.

例1

解：

目标式中含有根式，于是令 x = 3sin α、y = 2 sin β， 通过三角换元，将目标式转化为三角函数式；再通过 三角恒等变换，将三角函数式化为正弦函数式，便可 利用正弦函数的有界性来求得目标式的最值.在进行 三角换元的过程中，要关注角的取值范围.

二、局部换元

局部换元，是指将问题中代数式的某一部分用一 个新变量替换.换元的式子往往是根号下的式子、绝对 值内部的式子、幂函数式的指数、对数函数式的真数、 问题中多次出现的式子等.在换元的过程中要注意确 保新旧元的等价性.

例2

解：

在该不等式中，log2 2a a + 1 出现多次，于是将其用 新变量 t 替换，通过局部换元，使不等式简化，将不等 式转化为了关于 t 的不等式.

三、均值换元

进行均值换元，需利用两个变量的平均值进行换元. 一般地，若 x + y = 2S，则可引入新变量 t，使 x = S - t、 y = S + t .通过均值换元，便能将问题转化为关于 t 的函 数、不等式、方程问题来求解.在换元前后，要确保定义 域、自变量取值范围是等价的.

例3

解：

解答本题，要抓住关键信息 S = x 2 + y2 ，确定均值 S 2 ，引入新变量t，通过均值换元，将问题转化为关于t 的方程问题；再根据完全平方式恒大于或等于0的性 质，建立关于S的不等式即可解题.

由此可见，三角换元、局部换元、均值换元的特 点、适用情形各不相同.同学们在解题时，要注意根据 代数式的结构、特点，进行合理的换元.这样才能有效 地简化代数式，提升解题的效率.

（作者单位：江苏省南通市海门证大中学）