相似三角形中的求值问题

摘要：在一些与平面几何相关的求值问题中，经常借助相似三角形的构造、判定与性质等的应用，而让问题合理转化、直观形象，能有效解决计数、线段、比值、面积以及综合应用等相关问题的求值，利用相似三角形引领并指导数学教学与研究.

关键词：相似三角形;计数;线段;比值;面积

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2022）11-0008-03

收稿日期：2022-01-15

作者简介：王东东（1981.12-），男，山东省新泰人，大学，中学高级教师，从事中学数学教学研究.

相似三角形是在初中平面几何中一个非常重要的内容，包括相似三角形的定义、判定、性质等，同时涉及特殊的直角三角形相似的判定及直角三角形的射影定理，是平面几何的重要知识点与考点之一.在破解一些相关的平面几何求解问题中，巧妙借助相似三角形的相关知识来处理，经常可以合理转化，化难为易，出奇制胜.以下结合几类常见的相似三角形中的求值问题，如计数、长度、比值、面积以及综合应用等相关的求值题加以剖析.

1 计数问题

例1如图1所示，在△ABC中，ED∥AB，FG∥AC，PH∥BC，相应的交点分别为A₁、B₁、C₁，则图中与△ABC相似的三角形的个数为个.

分析根据相似三角形的性质，要判断图中与△ABC相似的三角形，可以从平行这个条件出发，找到对应相等的角，从而得以确定两三角形相似.

解析由于PH∥BC，那么∠APH=∠B，而∠A是公共角，则△APH∽△ABC，同理可以判断△BGF∽△ABC，△CED∽△ABC，进一步，FG∥AC，那么∠PFC₁=∠A，又∠FPC₁=∠B，△FPC₁∽△ABC，同理可以判断△DGA₁∽△ABC，△HEB₁∽△ABC，而ED∥AB，那么∠FPC₁=∠A₁B₁C₁，而∠FPC₁=∠B，则∠A₁B₁C₁=∠B，同理可得∠A₁C₁B₁=∠C，则△A₁B₁C₁∽△ABC，所以图中与△ABC相似的三角形的个数共有7个，故填答案：7.

点评三角形相似的判定关键是结合三角形相似的性质加以分析，在求解三角形相似的问题的过程中，往往是在熟练掌握相应性质的基础上，结合直观图形加以正确分析.

2 长度问题

例2如图2，正方形ABCD的边长是2，BE=CE，MN=1，线段MN的两端在CD、AD上滑动，当DM=时，△ABE与△DMN相似.

分析因为两个三角形都是直角三角形，当且仅当两直角边之比相等时它们相似，据此可列一个方程，再结合MN=1列方程组，解此方程组得DM的值.

点评本题是探求两个三角形相似的条件问题，实质是以三角形相似为条件，求线段长度问题，关键是找到相应的比值并结合相关条件加以求解.特别在实际求解时，要全面考虑，比如本例中就容易忽视其中的一种情形.

3 比值问题

点评结合辅助线的构造，利用直角三角形的相似以及相关条件加以确定相关的求值问题.对于平面几何中的求值问题，关键是正确引入相关的辅助线，加结合相应条件的变换与转移，从而达到求值的目的.

4 面积问题

点评通过平行线的性质，结合相似三角形中的对应边的比例关系与相应的三角形的面积的比例关系的转化与应用来分析与处理问题.

5 综合应用问题

点评在平面几何问题中，往往可以有机地结合相应的函数等相关问题，利用函数等相关问题的性质来处理与解决对应的平面几何问题，这是一种非常巧妙与有效的办法.关键是将平面几何问题进行代数化，并加以正确的分析与判断.

相似三角形及其应用是在初中平面几何的基础知识上的进一步拓展与提升，特别是在一些平面几何的求值问题中，合理借助辅助线与相似三角形的构造，通过对判定、性质等一系列的转化与应用，有效培养学生逻辑推理能力、图形直观能力与创造思维能力，其也是历年中考数学命题中的一大热点问题，应该引起一线教师高度重视.

参考文献：

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[2] 王鋒.平行“牵”相似 求值如添“翼”[J].中学生数理化（初中版·中考版），2020（Z1）：9-11.

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[责任编辑：李璟]