基于数据插值预测路基沉降及误差分析

宋光浩

（1.河北省地质矿产勘查开发局第八地质大队，河北 秦皇岛 066000）

沉降预测的常用方法是选取拟合模型，通过实测数据计算拟合参数，根据拟合参数预测未知点沉降状态，这种预测方法计算快捷、原理简单，但限制于拟合模型的特点，将已知数据代入模型中依然存在误差，在预测已知点之间的沉降情况时效果通常不好[1-8]。数据插值法具有与已知点完全符合的特性，很多研究对插值法在沉降预测中的适用性展开了探讨，李谆[9]提出一种基于三次样条插值和灰色GM（1，1）模型的组合预测算法，通过三次样条插值法处理原始非等间距数据，将其转变为等间距序列，继而用传统GM（1，1）模型进行预测，克服了单一预测模型的局限性；王征博[10]建立基于分形插值的预测模型，并将此算法应用于桥墩沉降数据的预测中；王彦之[11]分别采用三次样条插值技术和1stOpt软件进行仿真插值，并对结果进行比较。上述研究缺少对常用插值方法适用性的总结，尤其是在内插预测中插值方法的优劣比较，因此本文使用几种数据插值方法进行沉降预测研究，探讨插值法在预测沉降中的适用性与精度，并与常见的2种拟合方法进行对比[12-15]。

1 常用的插值法

设一组二维数据，自变量xi(i=0，1，2，3，…，n)，因变量yi(i=0，1，2，3，…，n)，插值函数为f(x)，其中n为已知数据的个数。

1）线性插值。线性插值表达形式比较简单，其系数仅为一次，可以认为是一次多项式插值法，其求解式如式（1）所示：

2）三次样条插值。三次样条插值中，将区间[a，b]分成n个区间，[(x0，x1)，(x1，x2)，…，，(xn-1，xn)]，共有n+1个点，其中区间[a，b]的端点即为x0和xn，三次样条方程满足以下3个条件：在每个小区间上f(x)都是一个三次方程；f(x)与已知数据相符合；f(x)曲线光滑，f(x)与其一次二次导数都是连续的；则此三次方程可以组成如式（2）所示的形式：

4）三次多项式插值。三次插值多项式的一般形式如式（4）所示：

式中，αi为待定系数，可由2个端点的函数值及其导数值列4个方程联立求解。

5）拉格朗日插值。拉格朗日插值多项式的基本形式如式（5）所示：

式中，lk(xj)表示自变量x取第j个时的第k个插值基函数，具体形式如式（6）所示：

6）牛顿插值。牛顿插值法公式如式（7）所示：

式中，f(x0，x1)表示差商，例如，

2 路基沉降案例验证

路基沉降案例使用文献[16]的实测数据。图中可知路基沉降共有380 d，其中0~120 d为路基的填筑期，120~220 d为恒载期，220~380 d为稳定期，本次计算选用K12+505桩号的断面进行计算，由20 d起始，每间隔40 d作为已知数据，则已知数据由20 d至380 d共计10组，将空缺的9组数据作为模型内插的已知数据，分别使用线性插值、三次样条插值、分段三次埃尔米特插值、三次多项式插值、拉格朗日插值和牛顿插值法进行内插预测。已知数据如表1所示，其中备注为已知点的是作为已知数据的10组点，备注未知点式作为待内插数据的9组点。

表1 已知数据

根据已知点对待定点进行插值，列举成果时略过10组已知点，仅比较9组未知点，为方便比较，将文献[16]中的GM（1,1）与Verhulst的成果也合并列出，内插成果表如表2所示。

表2 内插成果对比/mm

由上表可知，插值法内插成果明显优于拟合方法的拟合成果，内插成果与真值相差维持在3 mm以内，但拟合成果在许多时间上与真值出入较大，例如第40 d。几种内插方法中，拉格朗日与牛顿插值成果在小数点后两位相同，其实际计算结果并不相同，但其区别很小，在小数点后10位才有所差别，在这种近似的误差下，考虑到牛顿插值法对新引入数据的差商接续性，应当舍弃拉格朗日插值的预测方法（拉格朗日插值对新数据没有接续性，加入新数据就需要重新计算参数，牛顿插值法由于存在差商表，继续沿表计算即可获得加入新数据的内插结果）；线性插值精度较于其他几种内插方法精度明显偏低，三次样条插值、分段三次埃尔米特插值及三次多项式插值精度区别不大，因此引入平均相对误差进一步评价其精度。相对误差成果如表3所示，其中最后一行为平均相对误差；表3成果曲线如图1所示，其中纵轴为相对误差，横轴为天数。

图1 相对误差曲线

表3 平均相对误差对比

由表3可见，内插方法中三次样条插值精度最高，平距相对误差仅为0.55%，分段三次埃尔米特插值、拉格朗日插值与牛顿插值精度相对，均为0.61%~0.62%，三次多项式插值与线性插值精度最低（三次多项式插值本质也是线性插值），说明线性插值方法不能很好地内插预测沉降曲线；两种拟合方法精度偏低，其平均相对误差与内插方法相差一个数量级。

3 结语

本文由实测数据等间隔分割得到实验数据，对比了常用的数据内插方法及文献中的拟合成果，结果表明，数据内插方法能够比较准确地预测路基沉降值，其中三次样条插值精度最高，分段三次埃尔米特插值、牛顿插值和拉格朗日插值精度次之；数据内插方法具备与已知点相符合的特性，其预测精度远高于常规拟合方法。推荐在实际应用中高精度需要时选择三次样条插值，当工程尚未结束时，考虑到数据的持续使用应当选择牛顿插值或埃尔米特插值。

本文仅对比了数据内插时的预测情况，验证了内插方法对比拟合方法具备的优势；后续研究将在有关数据外插方法与拟合模型的对比方面展开，当数据外插时，插值法不再具备与已知数据符合的优势（外插数据在已知范围以外），其与拟合方法的应用取舍制需进一步探讨。