AANA 样本下非参数模型加权估计量的相合性

2022-04-26 02:51:52何其慧

通化师范学院学报 2022年4期

何其慧

考虑如下非参数回归模型：

上述加权估计量最早由STONE 提出[1］.由于其应用广泛，很多学者都对其进行了深入而全面的研究，具体可参考文献[2-9］，其中不乏很多关于相依样本下的相应结果.本文将在AANA 样本下研究模型（1）中估计量的矩相合性与完全相合性，所得结果改进和推广了文献[10-11］中相应的结论.

本文引用如下一些记号：C代表正的常数，其值在不同的地方可以不同，I(A)为事件A的特征函数，[x]表示不超过x的最大整数，a+=aI(a≥0)且a-= -aI(a＜0).

1 预备知识

首先回顾JOAG-DEV 和PROSCHAN[12]提出的如下关于负相协（NA）随机变量的概念.

定义1 称随机变量{Xi,1 ≤i≤n} 是NA的，如果对{1 ,2,…,n} 的任意非空不交子集A与B都有

Cov(f1(Xi,i∈A),f2(Xj,j∈B)) ≤0,

其中：f1与f2是使上式有意义且对各变元单调非降的函数.称随机变量序列{Xn,n≥1} 是NA 的，如果对任意n≥2，X1,X2,…,Xn是NA 的.

NA 随机变量在多元统计分析和系统可靠性分析中有广泛的应用，因此，近几十年很多学者都对NA 随机变量进行了深入的研究.此外，NA 随机变量的概念也被推广到更加宽泛的相依结构，其中之一便是渐近几乎负相协（AANA）.AANA 随机变量的概念是在文献[13］中提出的，其定义如下：

定义2 随机变量序列{Xn,n≥1} 称为AANA的，如果存在非负序列u(n)→0，n→∞使得对所有n，k≥1，Cov(f(Xn),g(Xn+1,Xn+2,…,Xn+k)) ≤u(n)[Var(f(Xn)Var(g(Xn+1,Xn+2,…,Xn+k))]12，其中：f和g是使得上式方差存在的同为单调非降（非增）的连续函数.

AANA 序列包含了NA 序列作为特例（取混合系数u(n) = 0），同时文献[13］也给出了满足AANA 但不是NA 的例子，故AANA 是包含NA 的一类非常宽泛的相依结构，在这种误差结构下研究模型（1）中估计量的渐近性质有着较为重要的理论意义和应用价值.

最后给出随机控制的定义.

定义3 若存在常数C，使得对所有的x≥0 及n≥1，都有则称随机变量序列{Xn,n≥1} 被随机变量X随机控制.

为证明本文的主要结果，还需要下述几个重要引理.

引理1[14］令{Xn,n≥1} 为AANA 随机变量序列，其混合系数为{u(n),n≥1} .假设f1，f2,…都为单调非降（或非增）的连续函数，则仍然为AANA 随机变量序列，且其混合系数仍为{u(n),n≥1} .

2 主要结果

在给出主要结果之前，需要先列出如下关于权函数的基本假设：

上述三个条件是研究非参数模型加权估计量最基本的假设.基于以上条件，可以建立如下关于AANA 误差下估计量（2）的矩相合性的结果.

从而式（6）得证.

注1：刘婷婷等人[10］在s= 2 的条件下证明了AANA 样本下定理1 的结果.注意到定理1 将s= 2 放宽到1 ＜s≤2，所以定理1 改进了刘婷婷等人[10］相应的结果.

定理 2 假设条件(H1)~(H3) 成立 .{εni,1 ≤i≤n,n≥1} 为均值为0 的AANA 随机误差阵列且被随机变量ε随机控制，其混合系数满足存在正整数k，常数p＞0 及q∈(max(3·2k-1,2/p,1+1/p),4·2k-1)，使得

最后来证明J2＜∞.由Cr不等式及引理4可得

由上述证明式（11）得证，故式（9）成立.由式（9）及Borel-Cantelli 引理可得式（10）也成立.

注2：SHEN 等人[11］在E|ε|1+(1-1/γ)/p＜∞，1/γ＜p＜1 的条件下得到了AANA 样本下估计量（2）的完全相合性的结果，而定理2 则将p的范围推广到p＞0.此外，相比SHEN 等人[11］对结论的证明，定理2 的证明要简单得多.

下面给出主要结果在最近邻估计中的应用.取A= [0,1]，xni=i/n，1 ≤i≤n.对任意的x∈A，将|xn1-x|,|xn2-x|,…,|xnn-x|重新排序如下：

由定理1 和定理2，容易得到模型（1）中关于最近邻估计量的矩相合性与完全相合性的结果.

类似推论1 的证明，同样由定理2 可得到如下结论.

推论2 假设{εni,1 ≤i≤n,n≥1}为均值为0 的AANA 随机误差阵列且被随机变量ε随机控制.假定存在正整数k，常数0 ＜p＜1及q∈(max(3·2k-1,2/p,1 + 1/p),4·2k-1)，使得

3 结语

本文主要利用关于AANA 随机序列的矩不等式，建立了AANA 样本下非参数回归模型中加权估计量的矩相合性与完全相合性，所得结果改进和推广了文献[10-11］中相应的结果.作为应用，还得到了AANA 样本下最近邻估计量的矩相合性与完全相合性.