高中数学阅读能力培育的教学探析

南京师范大学第二附属高级中学 王德军 （邮编 211400）

数学阅读教学是数学教学不容忽视的一个方面，阅读能力也是构成学习能力的一个重要成分.然而，高中数学学科的阅读不完全等同于小学和初中，在面对的知识广度和深度上体现新的要求.数学审题有其自身特点，它更多体现数学自身在知识、方法等方面的独特性.高中数学阅读教学要从新的视角来重视，从能力层面来培养，注重过程性学习和教学.

1 数学阅读教学的现状分析

不少同学从初中步入高中将很多解题错误归结为题目没看清，读题太快，疏忽了某些条件，误解了某些信息等，这些现象充分暴露了学生阅读能力未能适应高中数学学习的要求，高中数学无论是内容还是题型都较以往更加具有内涵，注重知识呈现的情境，除了应具备基本的文本阅读能力外，对不同语言形式的转换、对关键信息的推理、联想和整合提出新的要求.很多学生的准备是不足的，教学中数学审题应足够重视，须做好初高中数学阅读教学的衔接，有目的、有计划去培养和提升数学阅读能力.

2017 版课程标准提出六大核心素养的培育目标，素养的培育过程伴随着阅读能力提升过程，阅读能力的教与学的效果将直接影响着素养的提升水平.新课标中，数学文化渗透在每个模块或专题中，显然，教材对数学阅读的要求有增无减，课堂在对数学阅读能力的培育应该体现过程性，有层次，分阶段地落实和达成.

2 关注阅读教学，递进式培养审题能力

阅读是审题的第一步，波利亚在《怎样解题》一书中提出:“对你所读不懂的问题做出答复是愚蠢的，为你所不希望的目标工作是悲哀的.”读懂题目是审题成败的关键.数学阅读不是仅停留于对题目字面的简单读懂，高水平的审题还需要能读懂乃至读透问题.数学阅读教学应课堂教学可采用范读、导读、自读的方式，渐进式来培育.

2.1 教师发挥主导优势——范读

很多同学刚进入高中缺乏基本的审题经验和能力，对材料的阅读停留在表面，读不懂，理解不透现象比比皆是，遇到困惑时往往一时也不能找到有效的解决办法.此时，教师的主导作用尤为重要，应长期坚持示范阅读，利用好每一个契机，引领学生，捕捉信息，挖掘信息，整合信息，边读边议，让学生从模仿逐步走向会读、能读.例如，函数的概念这节课，其抽象性强，教师难教，学生难懂，教学时强调过程性解读.读题后抓住几个关键词：”数集”、“每一个”、“唯一”、“对应”.研究的对象是什么？两个数集.“每一个”说明数集A不可以有多余的元素未被对应.“唯一”应理解为数集B可以有多余元素.不同于初中对函数概念的认识，高中从“对应”的角度全新定义函数.

2.2 师生合作——导读

例1《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中.如图，白圈为阳数，黑点为阴数.若从这10 个数中任取3 个数，则这3个数中至少有2 个阳数的概率为（）

这段材料形式上是一段文字语言，本质上说明的是一个概率问题，教学时，教师如何引导？不妨可以根据学生的反应分阶段提供以下几个审读问题：（1）该文字材料涉及的基本事件是什么？（2）它属于什么样的概率模型？（3)如何统计基本事件总数？（4）“至少有2 个阳数”如何分类？（5）如何求解“至少有2 个阳数”的概率？

2.3 让学生成为主角——自读

随着学习的推进，阅读经验日积月累，审题能力逐步提升，良好的阅读习惯基本形成.我们应相信学生，尽可能让学生成为审读的主角.这个阶段，我们的同学可以挑战一些具有新颖性、内涵丰富、有一定深度的材料.审读过程中，让学生自己根据标准结果展开自我反馈，并能从遗漏和错误中分析出原因、及时纠正.必要时，利用学生的主体优势，展开生生互动点评，让自读自纠成为学生学习的一种良好氛围.

总之，审题的核心能力是数学阅读，教学中既要根据学情，调配好学习资源的难易度，做到因地制宜，因材施教.将范读、导读、自读等方式有机融入教学，坚持循序渐进，不断促成学生养成良好阅读习惯和阅读能力的提升.

3 合理探析，深度阅读

高中阶段数学阅读不能单纯停留于读懂层面，学生要解决好懂而不会这样的常见问题，还需做到读通、读透问题，在阅读的深度上要下足够的功夫.波利亚提出解题四段论：理解题目，拟定方案，执行方案，回顾检验.深度阅读应做好第一和第二两个阶段.首先弄明白一道题涉及哪些知识和信息，适当作一些挖掘和推导，其次我们还需要制定好解题计划与程序，优化好算法.

3.1 细读材料，明确知识

阅读的第一个维度是知识层面的信息和数据：未知量是什么？已知数据是什么？条件有哪些？条件是否可以确定未知量？画一张图，引入适当的符号等.

例2若定义在R上的奇函数f(x)在(-∞，0)内单调递减，且f(2)=0,则满足x·f(x-1)≥0 的x的取值范围是（）

惠民生，民生水利工程建设扎实推进。全面完成2013年度农村饮水安全工程建设任务，新解决400万农村人口饮水安全问题。在完成2012年安排的726座小型病险水库除险加固建设任务的基础上，新开工建设400座小型病险水库除险加固工程。加强水土流失综合治理，治理水土流失面积330km2，实施生态修复面积400km2。

A.[-1,1]∪[3,+∞),

B.[-3,-1]∪[0,1],

C[-1,0]∪[1,+∞）,

D[-1,0]∪[1,3]

通过初步审题发现，本题显性条件有5 个，定义域为R，函数的奇偶性，一个单调减区间为(-∞，0)，函数的一个零点x=2,问题x·f(x)≥0.通过已知条件挖掘和推导，还会有所发现，由函数在(-∞，0)内单调递减和函数y=f(x)为奇函数推出函数在(0,+∞)内单调递减.而f(2)=0易推出f(-2)=0，随之，函数y=f(x)在定义域R上的草图呼之欲出.不等式x·f(x-1)≥0 是用“数”还是用“形”完成求解，由既有条件和挖掘产生的信息，显然利用图形求解的把握性更大.问题x·f(x)≥0 则转化为x与f(x-1)的符号关系，将y=f(x)的图象向右平移1 个单位得到函数y=f(x-1)的图象，最后完全利用图形分区间写出解集.

3.2 审阅方案，优化思路

阅读的第二个维度是对题目呈现的显性信息和挖掘出来的内涵进行整合、系统构建，对分析出来的多种方案进行可行性分析和比对，优化方案，选择问题解决的最佳方法.

例3已知点M（-1，1）和抛物 线C：y2=4x，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A,B两点，若∠AMB=90°,则k=__________.

由于M′为AB的中点，所以M为A′B′中点，MM′平行于x轴，所以y1+y2=2，即k=2.

4 开展针对性训练，着实提升阅读能力

4.1 通过语言之间相互转化，提升“联想转换”能力

在数学阅读和解题过程中，问题情境往往是丰富的，尤其当我们对文字材料进行审阅时，需要不同的语言形式展开分析和表达，那么联想和转换言语形式，合理建立数学模型是阅读必须经历的过程.

例4水以20 立方米/分的速度流入一圆锥形容器，设容器深30 米，上底直径为12 米.试求当水深为10 米时，水面上升的速度.

解析时，首先需将文字语言转化为数学语言，在圆锥轴截面中利用三角形相似寻求任意时刻流入水所形成的底面半径r 与高h 的关系即h,为了得到水面上升高度h与时间t的函数关系，先考虑等积法：V=20t=从而h=t,得到高度h与时间t的函数关系后，剩余工作则对h求导即得到水上升的速度.审题过程完全贯穿由文字语言到图形语言再到数学语言的转换，它们前后关联，后者建立在前者基础之上，形成了一个完整的思维系统，审题中应重视这样的思维转换能力的培养.

4.2 通过变式训练，增强精准辨析能力

例5若函数y=x3+x2+mx+1 在（0，1）上的单调递增，则实数m的取值范围是_______.

不少同学把“在区间（0，1）内单调递增”误读成“函数的单调区间是（0，1）”，殊不知此时的区间（0，1）除了可能成为单调区间外，它还有可能是实际函数单调递增区间的一个子集，造成对条件的审阅不全面.还有一部分同学将条件翻译成f′(x)＞0,x∈(0,1)恒成立，忽视了在区间（0，1）内可能存在拐点，即f′(x)≥0，x∈(0,1)恒成立，总的说来，本题的唯一条件隐含了三层含义，如果审题时不够精准，解题必将产生误差.为了能有效提升学生对类似问题辨析能力，教学中可以不失时机地采用针对性变式训练.

变式1若函数y=x3+x2+mx+1 在（0，1）内单调，则实数m的取值范围是______.

变式2若函数y=x3+x2+mx+1 在（0，1）内存在单调增区间，则实数m的取值范围是______.

变式3若函数y=x3+x2+mx+1 的单调减区间是，则m的值是______.

变式4若函数y=x3+x2+mx+1 在（0，1）内单调递增，在(1，+∞)内单调递减，则实数m的值是______.

学习的初始阶段需要经历辨别以及习得的过程，为了能在不同背景中运用特定的知识、方法以达到举一反三的目的，读懂乃至读透材料是关键.变式训练具有针对性强，有助于学生在对比中纠正自身审题的错误或缺陷，在上述四个形似的变式中，学生需要进行类比、推理、辨析以及整合才能对题型的把握达到精且深的程度，类比、推理、辨析以及整合等都是审题能力必备成分，教学中有计划进行变式教学，不断积累审题经验，审题能力定会在训练中得到提升.

4.3 开展学生自主变式，增强信息的整合能力

课堂教学中，我们不妨互换角色，让学生就某个问题展开自主变式及问题的解决，为保证问题提出的有效性和价值，教师在幕后可以提供导向性指导及点评.学生模拟站在老师的角度思考，有助于知己知彼，培养独立思考的习惯，同时经历信息的融通、整合、统筹及功能考量，学会换位思考，久而久之，对题目变式的能力提升一定有助于提高审题能力.

例6已知椭圆=1(a＞b＞0)的左右焦点分别是F1、F2,过F1且与x轴垂直的直线交椭圆于A,B两点，直线AF2与椭圆的另一个交点为C，若SΔABC=3SΔBCF2，求椭圆的离心率.

角度1条件“SΔABC=3SΔBCF2”能提供什么？通过数形分析，它的实质上确定了点C在线段AF2上述一个三等分点，如何刻画三等分点？激发学生思考，就部分条件做适度变式.

变式1已知椭圆=1()a＞b＞0的左右焦点分别是F1、F2,过F1且与x轴垂直的直线交椭圆于A,B两点，直线AF2与椭圆的另一个交点为C，若，求椭圆的离心率.

角度2从离心率求解方法看，原题主要采用了代数的求法，为了拓展该题的应用功能，全面考察离心率求法应用，请同学们设计一个变式，如何突显几何方法求离心率？

变式2已知椭圆=1()a＞b＞0的左右焦点分别是F1、F2,过F1且倾斜角为60°的直线交椭圆于A,B两点，使∠F1AF2为直角，求椭圆的离心率.

角度3离心率是描述圆锥曲线的一个性质，除了椭圆我们能串联一下知识，能改变一下情境来求离心率吗？

变式3已知双曲线=1()a＞b＞0的左右焦点分别是F1、F2,过F1且与x轴垂直的直线交椭圆于A,B两点，直线AF2与椭圆的另一个交点为C，若=3，求椭圆的离心率.

5 总结

数学阅读是一种重要的数学能力，课堂教学中应予以足够的重视.构成数学阅读能力的成分丰富，不同的课型应有所侧重，教学设计需精准定位，有效实施.阅读的过程也体现多维性，除了知识层面还有方法与思维的考量，应推进深度审题的教学模式.阅读能力的提升也需要数学综合素养的支撑，不可孤立的对待，教学时应有机结合.总之，数学阅读能力的提升不可能一蹴而就，重视过程性教和学，循序渐进地落实.