基于自适应变异粒子群算法的船舶结构优化方法

王一镜，罗广恩，王陈阳，李爽

江苏科技大学 船舶与海洋工程学院，江苏 镇江 212100

0 引 言

船舶结构优化设计方法主要分为规范方法和直接计算方法2 种[1]。其中，基于直接计算法的有限元分析结构优化技术日臻成熟，使用该方法进行结构优化不仅成本低且计算结果精准。然而，对于越来越复杂的结构，所需的计算时间也就越长，导致结构优化工作效率降低。随着计算机硬件、软件的不断发展，计算机的计算能力不断提高，使用机器学习进行船舶结构优化成为了新趋势。BP 神经网络便是其中之一，它是一种通过误差逆向传播 (error back propagation training) 算法训练的前馈式神经网络，主要用于解决误差校正问题。由于BP 神经网络可以将预测输出结果不断逼近期望值，在船舶设计领域得到了广泛应用。然而，传统的BP 神经网络在使用试验数据进行训练时其权值和阈值的选择具有随机性，在此机制下经过训练的BP 神经网络缺乏良好的稳定性和泛化性。为解决这一问题，很多学者进行了相关研究。例如，李慧等[2]利用遗传算法（GA）对BP 神经网络进行优化（GA-BP 方法），得出了最优的耐撞性舷侧夹层板厚度，此方法虽然使预报性能得到了极大提升，但泛化能力仍不足以代替有限元计算。甄春博等[3]使用粒子群优化（PSO）算法建立PSO-BP 神经网络代替有限元分析确定应力与设计变量之间的关系，对油船舯部进行结构优化。然而，标准PSO 算法虽可有效改善BP神经网络收敛速度不稳定的缺点，但其自身缺乏种群多样性，会导致全局性较差，在拟合函数存在多个局部最小值时，得到的解易收敛于局部最优解。Li 等[4]基于人工蜂群（artificial bee colony，ABC）算法提出了一种针对采用纤维增强塑料（FRP）建造的渔船的结构优化方法。但因采用轮盘赌选择方式使算法在迭代过程中的最差解会对新一代解产生影响，而导致算法陷入局部最优。

鉴此，本文拟采用自适应变异粒子群（adaptive mutation particle swarm optimization，AMPSO）算法对BP 神经网络进行优化，此算法是在PSO 算法基础上借鉴种群多样性思想和GA 算法中的变异思想对PSO 算法进行改进，再结合正交试验设计、GA 算法，提出一种适用于结构优化的AMPSO-BP-GA 方法，最后，对比多种算法计算的算例结果，以验证本文算法的精度和优化效果。

1 基于自适应变异的粒子群算法

1.1 AMPSO 算法

AMPSO 算法是在PSO 算法的基础上借鉴了GA 算法的自适应变异操作而来[5]。该算法在每次粒子更新后，对粒子个体是否陷入局部最优解进行判断。判断标准为一个粒子更新频率，若某一代的最优粒子更新发生了长时间停滞且其适应度大于理论最优解，则判断其为陷入局部最优的惰性粒子。对其进行变异操作，变异后的粒子能够跳出先前搜索到的局部最优值位置，并在更大的空间中展开搜索，同时保证了种群的多样性。

1.2 改进PSO 算法的性能验证

全局搜索能力和局部收敛能力是评价算法性能的2 个基础能力，前者是算法在迭代前期快速寻找到全局最优解所处范围的能力，后者则是算法在最优解附近进一步寻找到极值的能力。为准确评估算法性能，使用4 个多维非线性函数作为算法的目标函数，并对GA，PSO，AMPSO 算法的全局搜索能力和局部收敛能力进行测试。测试目标函数的数学公式、区间和最小值如表1 所示。表中，xi为自变量；n为测试函数的维度；Ackley和Rastrigin 为多峰函数，其最小值附近有许多局部极小值点，侧重于测试算法的全局搜索能力；Sphere 和Rosenbrock 为单峰函数，有唯一的全局最小值点，侧重于测试算法的局部收敛能力。

表1 测试函数Table 1 Testing functions

当函数维度为2 时，4 个非线性测试函数的图像如图1 所示。图中y为函数值即适应度值。

图1 4 种测试函数图像Fig. 1 Graphs of four testing functions

图2 分别为PSO，GA，AMPSO 算法在相同的测试环境下对Ackley，Rastrigin，Sphere 和Rosenbrock 测试函数的适应度曲线，曲线下降越快说明收敛速度越快。结果表明，相比于PSO 和GA 算法，AMPSO 算法在迭代前期快速收敛，收敛速度具有明显优势。

图2 4 种测试函数的适应度曲线Fig. 2 Fitness curves of four testing functions

除了收敛速度，还应将算法的寻优结果即最佳适应度作为算法的性能评估指标。在迭代次数达到500 时，适应度曲线的落点即为算法的寻优结果，其越接近最小值0，说明效果越好。具体寻优结果如表2 所示。

表2 算法测试结果Table 2 Test results by different algorithms

由表2 可见，对于多峰函数Ackley 和Rastrigin，GA 算法比PSO 算法更接近函数的最小值；对于单峰函数Sphere 和Rosenbrock，PSO 算法比GA算法更接近函数的最小值，而AMPSO 算法的4 种函数的寻优结果精度最高。

以上计算结果表明，AMPSO 算法兼具了PSO算法和GA 算法的优点，可以在迭代前期快速收敛，并在后续迭代过程中进一步寻找到函数的全局最小值，因此，比PSO 算法和GA 算法在收敛速度和精度上均具有明显优势。

2 改进BP 神经网络的构建

BP 神经网络通过误差逆向传播算法对权值和阈值进行更新，通过多次更新找到使误差最小的权值和阈值的组合。但这种方法相当于整个搜索区间只有1 个空间点在对“误差函数”进行极值寻优，不仅效率低且很容易输出误差较大的网络模型。因此，使用优化算法对BP 神经网络的权值和阈值进行优化，不仅可提升训练效率，而且以误差作为目标函数的种群算法优化后的BP 神经网络更容易训练出高精度和高稳定性的网络模型。

2.1 训练样本的生成

神经网络需要一定数量的训练样本来保证其准确性，使用Isight 辅助Nastran 进行有限元计算，通过正交化处理得到训练样本。本文以跳板结构强度有限元计算为例，具体计算流程为：首先，由Isight 的DOE 模块制定正交试验方案[6]，将所需数据提交给Data Exchanger 模块，由该模块修改bdf.文件中的变量；然后，提交给Nastran 模块进行计算；最后，再次使用Data Exchanger 模块读取f06.文件中所包含的最大位移值、最大应力值等信息并进行记录。在计算过程中，输入变量为跳板结构的面板、底板、纵桁、肋板等构件的厚度。输出变量为板单元应力最大值、梁单元应力最大值以及跳板结构的最大变形值。

经过上述流程的计算，共得到243 组样本，其中230 组用于神经网络训练，其余的13 组作为测试样本，用于测试神经网络的准确性。

2.2 不同神经网络的对比

使用上述数据样本分别对BP 神经网络、GA-BP 神经网络、PSO-BP 神经网络、AMPSO-BP神经网络进行训练。BP 神经网络训练的最大迭代次数为1 000 次，目标误差值为10-5，学习速率为0.01，权值训练算法选择Levenberg-Marquardt算法，节点传输函数使用Sigmoid 函数。GA 算法中，变异概率是0.02，交叉概率是0.7。PSO 算法中，社会学习因子c1和个体学习因子c2均为1.494 45，惯性权重取0.8。

在测试误差阶段，随机抽取13 个样本作为测试样本，用于计算误差。统计并对比训练结果误差，结果如图3 所示。总体上，相比于BP，GA-BP和PSO-BP 神经网络，AMPSO-BP 神经网络的预报结果和有限元计算结果之间的误差更小。

图3 不同BP 神经网络的误差对比Fig. 3 Error comparison of different BP neural networks

为了进一步确定AMPSO-BP 神经网络模型的泛化能力，在保证数据样本和训练环境不变的情况下，对BP 神经网络、GA-BP 神经网络、PSO-BP神经网络和AMPSO-BP 神经网络分别连续进行5 次训练。取每次训练的平均误差和最大误差进行统计，结果如表3 所示。

由表3 可见，通过5 次训练，BP 神经网络的最大平均误差为0.77%，最大误差为4.59%；GA-BP神经网络的最大平均误差为0.17%，最大误差为2.29%；PSO-BP 神经网络的最大平均误差为0.15%，5 次训练最大误差为0.93%；而AMPSO-BP神经网络的最大平均误差仅为0.09%，5 次训练最大误差仅为0.47%。

表3 采用测试样本对于不同BP 神经网络训练的计算误差对比Table 3 Comparison of calculated errors using test samples for training different BP neural networks

通过上述误差统计结果可见，AMPSO-BP 神经网络相比于另外3 种BP 神经网络有着精度高、泛化性和稳定性强等优点，能够作为有效的有限元代理模型进行结构优化任务。

3 基于改进PSO 算法的结构优化

基于AMPSO 算法优化的AMPSO-BP 神经网络有效地解决了BP 神经网络易过早收敛及陷入局部最小值的问题，且较基于标准算法优化的PSO-BP，GA-BP 神经网络具有更佳的拟合能力和稳定性。基于此，进一步以AMPSO-BP 为有限元软件的代理模型，结合正交试验设计、GA 算法，提出AMPSO-BP-GA 结构优化设计方法。优化流程图如图4 所示，具体的优化流程描述如下：

图4 AMPSO-BP-GA 结构优化设计流程Fig. 4 Design flowchart of structural optimization using the AMPSO-BP-GA method

1） 建立结构有限元模型，确定结构优化参数；

2） 采用Isight 软件联合Nastran 设计正交试验并计算得到神经网络的训练样本；

3） 采用AMPSO 算法优化BP 神经网络，使用训练样本训练AMPSO-BP 神经网络；

4） 使用训练完成的AMPSO-BP 神经网络模型代替有限元计算，对接GA 算法展开结构的优化设计，输出优化结果。

3.1 目标函数及其约束条件

基于AMPSO-BP-GA 的结构优化神经网络程序，在结构优化过程中使用GA 算法对目标函数进行极值寻优。本文以结构重量为目标函数，故目标函数的数学表达式为

式 中： ρi为 不 同 构 件 的 材 料 密 度；Vi为 构 件 的 体积；Si为构件（或式（3）中的十杆形桁架构件）的截面面积；Li为构件的长度。

船舶结构优化目标是在约束条件的限制下结构重量最轻。使用AMPSO-BP-GA 算法进行船体结构优化时，应将规范中的应力、变形作为约束条件。在GA 算法的子程序function 中，将有约束目标函数改为基于罚函数的无约束目标函数，对于应力值或变形值不满足规范的个体，针对其超标幅度施加合理的罚因子项。其数学表达式为

式中：p(i)为 罚函数因子； σi为预报应力值； σ为许用应力值； δi为预报变形值； δ为许用变形值。

3.2 结构优化及分析算例

为了验证AMPSO-BP-GA 结构优化方法的可行性和有效性，以十杆形桁架和车渡船跳板算例进行了结构优化，并在相同约束条件下，与其他结构优化方法的输出结果进行对比。

3.2.1 十杆形桁架结构优化

为了验证AMPSO-BP-GA 算法的结构优化效果，使用经典的十杆形桁架结构[7]作为优化目标。桁架结构如图5 所示，桁架结构的杆长L=9.144 m，弹 性 模 量E=6.895×104N/mm2，密 度ρ=2.768×103kg/m3，外力F=444.5 kN，端部简支端约束。优化任务为二力杆选取合适的截面面积，使结构整体重量达到最轻。

图5 十杆形桁架结构平面图Fig. 5 Schematic diagram of a cross-bar truss structure

十杆形桁架结构优化问题的目标函数及约束条件表示为：

式中，W为十杆形桁架结构的重量。

采用AMPSO-BP-GA 方法对十杆形桁架结构进行优化，并与传统的连续变量优化方法OPTDYN和CONMIN 得到的结果[7]以及文献[8-9] 结果进行对比，结果如表4 所示。由表可见，采用AMPSOBP-GA 方法优化得到的结构重量最轻，结果更加合理有效。

表4 十杆形桁架优化结果比较Table 4 Comparison of a cross-bar truss optimization results

3.2.2 车渡船跳板结构优化

考虑跳板的结构特点，将板材厚度、骨材截面尺寸作为优化设计变量[10]。将跳板的材料参数、跳板的整体尺寸、骨材间距等作为已知量处理。跳板尺寸为：长3 m，宽5 m，高0.3 m，材料采用Q235 钢。根据有限元分析结果，在运输车轮印载荷作用下，跳板的最大板材应力为27.6 MPa，小于规范的许用应力 0.80σsw=176.25 MPa。最大梁应力为90.09 MPa，小于规范许用应力 0.77σsw=171.55 MPa。最大变形位移是0.63 mm，小于许用位移L/400=7.50 mm，其中L=3 m，为跳板的短边长度[11]。说明跳板结构有较大的强度、刚度储备，可以进行结构优化。优化的目标函数及约束条件可以表示为：

式 中： σp为 板 材 应 力； σb为 梁 应 力。分 别 使 用GA-BP-GA，PSO-BP-GA，AMPSO-BP-GA 方法对跳板进行结构优化，结果如表5 所示。

表5 跳板优化结果比较Table 5 Comparison of a gangboard optimization results

由表5 可见，基于GA-BP-GA 和PSO-BP-GA优化后的跳板重量分别为1 702.5 和1 872.8 kg，相较原重减轻了25.4% 和17.9%，而使用AMPSOBP-GA 模型优化后的跳板重量为1 520.7 kg，减轻了33.3%，效果最佳。将优化后的跳板结构进行调整，采用Nastran 进行有限元分析，分析结果如图6～图8 所示。由图可见，优化后的跳板结构板材应力、梁应力以及变形有所增加且仍满足规范要求，具体校核结果如表6 所示。

图 6 结构板材应力云图Fig. 6 Stress contours of structural plate

图 7 结构梁应力云图Fig. 7 Stress contours of of structural beam

图8 结构变形云图Fig. 8 Stress contours of structural deformation and displacement

表6 结果表明，优化后的结构满足规范约束，且优化后的梁应力已经非常接近许用应力，实现了在规范允许范围内的最大减重。这说明基于AMPSO-BP-GA 的结构优化方法具有较好的优化效果。

表6 优化后的结构校核Table 6 Structural check after optimization

4 结 论

本文将AMPSO 算法、BP 神经网络、GA 算法、正交试验法进行融合，提出了AMPSO-BP-GA结构优化方法，并通过十杆形桁架结构和车渡船跳板结构的算例进行了验证，取得了较好的优化效果。通过研究，得出如下结论：

1） 采用AMPSO 算法可解决标准PSO 算法搜索精度低、容易出现早熟收敛的缺点，从多维度非线性函数极值寻优结果看，AMPSO 算法比标准的PSO 和GA 算法具有更高的搜索精度及更快的收敛速度。

2） 采用AMPSO-BP 神经网络可解决传统BP神经网络易出现过早收敛导致精度低的缺点，从跳板结构有限元计算结果设计的正交试验结果看，AMPSO-BP 神经网络也比传统的BP，PSO-BP及GA-BP 神经网络拥有更高的预报精度和泛化能力。

3） 在相同约束条件下，采用AMPSO-BP-GA方法优化十杆形桁架结构，结构减重效果优于本文提到的其他方法，且采用AMPSO-BP-GA 方法优化跳板结构，结构减重也比GA-BP-GA 方法、PSO-BP-GA 方法的更大。

4） 所提AMPSO-BP-GA 结构优化方法具有推广性，可为其他船体结构的优化问题提供参考。