冻融循环作用下水泥土统计损伤模拟方法

苏艳军

(中国建筑东北设计研究院有限公司，沈阳 110166)

水泥土是以土、水、水泥和外加剂按比例掺和而成的多相混合体系，广泛应用于公路工程、地基基础工程[1-2]。北方季冻区一年四季温差较大，冬季结冰，夏季融化[3]，公路路基既承受交通荷载，维护公路面层及基层的稳定，又受冻融循环作用影响，易发生翻浆、冻胀导致路面沉陷、裂缝、拥包等病害，威胁车辆行驶安全[4-5]，因此模拟水泥土在冻融循环作用下的力学行为具有十分重要的意义[6]。

中外已有较多水泥土力学行为及本构模型的研究，童小东等[7]引入连续损伤理论，基于塑性功硬化规则构建弹塑性损伤模型；陈四利等[8]开展饱水环境下水泥土单轴压缩试验，建立细观空隙损伤模型；Lee等[9]引入提出黏结应力比，考虑水泥土颗粒间的黏结效应以及粘结随围压和剪应变的退化，建立一种塑性本构模型；张本蛟等[10]引入进行水泥土单轴和三轴压缩试验，分析其力学性能随掺量的变化趋势，采用Popovics模型拟合试验数据，取得较好成效；Nguyen等[11]基于临界状态土力学，考虑水泥和黏土之间的化学胶结作用，提出一个新的本构模型，并成功辨识掺量10%的水泥土试验数据；Yapage等[12]将临界状态框架、边界面塑性和动态屈服面概念与Mohr-Coulomb模型相结合，提出一种新的水泥土本构模型；周海龙等[13]以内蒙古黄河灌区粉砂土为主要骨料，以硅酸盐水泥为胶凝材料，制作水泥土试样开展单轴抗压室内试验，通过研究高径比及掺量对强度的影响，提出一种强度预测模型。

统计损伤理论在岩土体本构关系模拟中取得较好的效果，在水泥土变形破坏全过程模拟中鲜有报道。考虑到水泥土强度分布的随机性，假设水泥土受荷微元强度服从某种概率随机分布无疑是一条创新性途径。基于此，现开展不同冻融循环次数下的三轴压缩试验，根据弹性模量衰减规律定义冻融损伤变量，假设受荷损伤微元强度服从Weibull概率密度分布，得到受荷损伤变量，从水泥土受荷微单元和冻融微单元之间的关系出发，构建冻融、受荷总损伤变量，引入损伤修正因子，建立新的冻融循环作用下的水泥土统计损伤模型。基于试验成果和线性回归曲线拟合法，求取模型参数，分析损伤累积规律，并模拟水泥土力学行为。以期为冻融循环作用下水泥土力学行为模拟和季冻区公路路基设计、施工及养护提供一定参考。

1 冻融循环作用下水泥土统计损伤模型

1.1 损伤变量的定义

水泥土作为一种复杂的混合物，内部存在较多的缺陷，在冻融循环及外界荷载的共同作用下，水泥土内部微缺陷不断发育扩展，冻融循环作用以及外界荷载作用造成的损伤逐渐累积，最终造成水泥土宏观力学性能的劣化，故需同时考虑冻融循环及外界荷载的损伤劣化效应，构建冻融循环损伤和受荷损伤演化方程。

假设水泥土由N(N→∞)个微单元组成，其中冻融循环和外界荷载作用造成的微单元损伤个数为N1，无损微单元个数为N2，其中N1由冻融损伤微单元Nn和受荷损伤微单元Np组成。故定义冻融、受荷总损伤变量为

(1)

冻融、受荷总损伤变量D∈[0，1]。单独考虑水泥土微单元个数，将冻融损伤变量Dn理解为冻融循环作用造成的微单元损伤个数与水泥土总体微单元N的比值，受荷损伤变量Dp理解为外界荷载作用造成的微单元损伤个数与水泥土总微单元去除冻融损伤微单元后的比值，于是有

(2)

联立式(1)、式(2)可得

D=Dn+Dp-DnDp

(3)

式(3)即本文冻融、受荷总损伤的演化方程，这里D不再是单一相加而得，表明冻融、荷载对水泥土造成的损伤是一种相互影响、作用的结果，实质上根据式(3)得到的损伤变量量值小于式(1)。

冻融循环和外界荷载作用在水泥土材料时，由于作用机理的不同，造成的损伤衰减的程度、效果也不同。两者作用的耦合效应使得水泥土受损部位的损伤程度、效果持续反馈调整，导致水泥土材料力学性能衰减。唯象损伤力学理论[14]认为弹性模量的衰减规律可从一定程度上反映材料损伤劣化，故将水泥土材料在不同循环次数的冻融作用下的弹性模量劣化规律表征冻融损伤变量Dn，即

(4)

式(4)中：E0为未经过冻融作用的弹性模量；En为冻融循环n次后的弹性模量。由于冻融损伤变量Dn仅与E0和En相关，将冻融损伤作用理解为一种随冻融循环次数变化的持续作用，当达到目标次数时，水泥土材料的冻融损伤变量Dn表现为某一具体量值。

在外界荷载作用下，由于水泥土材料的非均质性，其内部各个微单元受荷存在较大的随机性，导致材料受荷损伤也是随机分布，假定水泥土材料受荷损伤微元强度F=f(σ*)服从某种概率密度分布，则受荷损伤变量为

(5)

式(5)中：σ*为有效应力；P为受荷损伤微元强度的某一积分函数。由于水泥土材料在外界荷载作用下持续受荷，受荷期间材料内部微单元随机分布，故将受荷损伤作用定义为一种随着应力变化和应变增长而逐渐累积的持续作用。

Weibull分布广泛应用于材料寿命检验，假设受荷损伤微元强度服从Weibull分布，则其概率密度分布函数P(F)为

(6)

式(6)中：m和F0为Weibull分布参数；F为受荷损伤微元强度。

当应力水平加载至Y时，受荷损伤破坏的微单元数目Np为

(7)

Dp=P(Y)

(8)

将式(7)和式(8)代入式(6)可得

(9)

式(9)即受荷损伤变量Dp的损伤演化方程。

将式(4)和式(9)同时代入式(3)可得

(10)

式(10)即冻融、受荷总损伤变量D的损伤演化方程。

1.2 统计损伤模型的建立

假设水泥土材料在冻融循环和外界荷载作用下产生各向同性损伤，损伤仅在最大主应力σ1方向累积扩散。在水泥土三轴压缩试验中，围压σ3=中间主应力σ2，假定无损水泥土材料服从从Hooke定律，于是有

(11)

依据Lemaitrel应变等价性假说[15]，可通过如下形式进行损伤演化，即

(12)

式(12)中:σ*和σ分别为有效应力和表观应力；E为弹性模量；ε为轴向应变。

通过式(12)对式(11)进行损伤演化，同时考虑到水泥土破坏后存在一个残余强度，故引入一个损伤修正因子η[16]，由此可得本文所建模型的本构方程为

σ1=Enε1(1-ηD)+2μnσ3

(13)

式(13)中：η为损伤修正因子；μn为冻融循环n次后的泊松比。式(13)即冻融循环作用下水泥土统计损伤模型。

受荷损伤变量Dp与F紧密关联，考虑到受荷微元强度的可计算性，结合文献[17]，选取Mises屈服强度准则将受荷损伤微元强度F为

(14)

式(14)中：J2为应力偏量第二不变量。

(15)

再由式(11)、式(12)和式(15)可得

(16)

将式(14)～式(16)代入式(9)可得

(17)

式(17)即受荷损伤变量Dp的损伤演化表达式。

将式(14)～式(16)代入式(10)可得

(18)

式(18)即冻融、受荷总损伤变量D的损伤演化表达式。再将式(18)代入式(13)便可得到本文所建冻融循环作用下水泥土统计损伤模型的本构方程。

2 模型验证及参数解析

2.1 水泥土冻融循环试验

本次试验背景为某高速内蒙古境内段，试验所用土样取自内蒙古呼和浩特地区，土样介于1～2 mm、1～0.5 mm、0.5～0.25 mm、0.25～0.75 mm及小于0.75 mm的颗粒质量分数分别为1.53%、11.76%、26.59%、33.75%和26.37%。土样基本物理性质指标如表1所示。

表1 土样基本物理性质指标

本次试验使用内蒙古天皓水泥集团有限公司生产的32.5级矿渣硅酸盐水泥，初凝、终凝时间分别为150 min和250 min。水泥掺量为水泥质量和干土质量的百分比，本次试验选取6%和10%两种水泥掺量。水泥土材料的最大干密度、最佳含水率与掺量的关系曲线如图1所示。水泥与土相互作用，发生胶结和化学反应，细小颗粒凝聚成较大团状体，水泥土材料的最大干密度相比原状土降低，最佳含水率相比原状土升高。

图1 最大干密度、最佳含水率与掺量的关系曲线

根据最佳含水率加水搅拌焖料，时间不少于12 h，然后分别加入掺量6%和10%的水泥继续均匀搅拌。以静压法制备95%压实度的试件，试件规格为直径40 mm、高80 mm的圆柱体，保鲜膜密封后养生28 d。水泥土养生结束后，进行循环冻融，以-18 ℃的冻结温度在低温恒温箱内养生12 h，再在20 ℃恒温水中养生12 h，如此24 h的养生周期为1次冻融循环。将冻融循环次数设定为0、5、10、20、50次，达到目标冻融循环次数后，先取出部分试样，其余试验继续冻融循环，直至达到下一目标次数。

采用CSS-2901TS型土体三轴流变试验机进行三轴压缩试验，围压设定为0.5 MPa，剪切速度为0.05 mm/min，试验数据采集系统对每0.5 mm的位移计数1次，直至读数达到峰值。水泥掺量6%和10%下不同冻融循环次数的水泥土三轴压缩试验结果如图2所示。

图2 不同冻融循环次数的水泥土偏应力-应变曲线

由图2可看出，水泥土三轴抗压强度随着冻融循环次数的增加而递减，取偏应力-应变曲线的近似直线段的斜率作为弹性模量，发现水泥土弹性模量也随着冻融循环次数的增加而递减。

总体上，水泥掺量的增加促进水泥土抗压强度的增强。在掺量6%和10%的情况下，冻融循环50次的三轴抗压强度分别为未经历冻融循环的32.73%和38.25%，这说明冻融循环作用能大幅削弱水泥土材料的抗压强度，在季冻区水泥土路基设计、施工和后期养护中不可忽视冻融循环作用的影响。

2.2 模型参数求解

2.2.1 参数E0、En和μn和η

曹瑞琅等[16]利用统计损伤模型辨识岩土体材料三轴压缩试验数据时，考虑到残余强度使得材料破坏后仍有一定的承载能力，将损伤修正因子η定义为

(19)

式(19)中：σr为残余强度；σ1c为三轴抗压强度。水泥土材料变形破坏全过程与岩土体类似，皆存在抗压强度和残余强度，故采用式(19)作为水泥土损伤修正因子，基于试验结果求取。

参数E0、En和μn分别为未经过冻融的水泥土弹性模量、冻融循环n次的弹性模量和泊松比，根据水泥土冻融循环试验可以确定，参数E0、En、μn和η如表2所示。

由表2可看出，水泥土弹性模量随着冻融循环次数的增加而递减，泊松比随着冻融循环次数的增加而递增。

表2 E0、En、μn和η

在同样冻融循环次数下，随着水泥掺量的增加，弹性模量递增，泊松比递减。E0为未经过冻融作用的初始弹性模量，水泥掺量6%和10%的E0分别为230.970 MPa和297.654 MPa。

2.2.2 参数m和F0

将式(10)代入式(13)变形可得

(20)

对式(20)等号两边同时取对数可得

(21)

继续对式(21)等号两边同时取对数可得

=mlnF-mlnF0

(22)

式(22)可变形为

Y=mX+A

(23)

式(20)～式(23)即线性回归曲线拟合解析方法，由此可得到参数m、F0，如表3所示。

表3 模型参数m和F0

由表3可看出，冻融循环次数的增加，参数m和F0大致呈递减趋势。

2.3 损伤分析

2.3.1 冻融损伤分析

将表2中的参数代入式(4)，计算冻融损伤变量Dn，绘制Dn与冻融循环次数的关系曲线，如图3所示。

由图3可看出，随着冻融循环次数的增加，冻融损伤变量Dn不断增大，冻融损伤作用持续加深。冻融循环次数在0～10次范围内，Dn累积较快，当其超过10次以后，Dn累积速度放缓，这说明冻融作用显著影响水泥土材料内部微缺陷发育扩展，当冻融作用达到一定程度时，材料内部微缺陷发育速度逐渐趋于平稳。在同一冻融循环次数下，高掺量的冻融损伤变量值略低于低掺量，这说明水泥掺量的增大可能会抑制冻融损伤的发展。

图3 Dn与冻融循环次数的关系曲线

2.3.2 受荷损伤分析

将表2和表3中参数及试验数据代入式(10)，可得到受荷损伤变量Dp的累积发展曲线，如图4所示。

图4 受荷损伤累积曲线

由图4可看出，受荷损伤累积曲线由两部分组成，首先是快速累积的阶段，该阶段内受荷损伤急剧累积，在同一应变下，随着冻融循环次数的增加，受荷损伤累积曲线斜率递增，较高冻融循环次数的受荷损伤量始终大于低冻融循环次数，这说明冻融循环作用的增强促进受荷损伤的累积发展。当受荷损伤累积到一定程度时，受荷损伤累积曲线逐渐减小，最终受荷损伤变量趋于1。

2.3.3 冻融、受荷总损伤分析

将表2和表3中参数及试验数据代入式(18)，可得到冻融、受荷总损伤累积曲线，如图5所示。

图5 冻融、受荷总损伤累积曲线

由图5可看出，水泥土在不同冻融循环次数下，冻融、受荷总损伤变量的起始值不同，冻融循环次数越高，该起始值越大。首先是水泥土试样经过不同循环次数的冻融作用，该过程中水泥土试样的冻融损伤随循环次数的增加而不断累积。试样达到目标冻融循环次数后，再进行三轴压缩试验，压缩过程中受荷损伤在冻融损伤的基础上持续累积发展，受荷损伤与冻融损伤发生耦合作用。

总体上，随着冻融循环次数的增加，Dn、Dp和D均逐渐递增，直至趋于稳定。冻融循环作用促进水泥土材料的受荷和冻融损伤发育。

2.4 模型验证

为验证水泥土统计损伤模拟方法的可行性，将表2和表3中的模型参数代入式(13)，计算得到模型预测值，绘制预测值和试验值对比曲线，如图6所示。

由图6可看出，预测值与试验值吻合较好，拟合精度较高，尽管预测值在应变2%～6%范围内略高于试验值，但整体上误差较小，能较为准确地辨识不同冻融循环次数下的水泥土材料变形破坏全过程曲线，证明所建模型的可行性和合理性。

图6 预测值和试验值对比曲线

3 结论

(1)根据弹性模量衰减规律定义冻融损伤变量，假设受荷损伤微元强度服从Weibull概率密度分布，建立受荷损伤变量，从水泥土受荷微单元和冻融微单元之间的关系出发，构建冻融、受荷总损伤变量。

(2)基于试验成果和线性回归曲线拟合法，求取模型参数。分析冻融损伤变量Dn、受荷损伤变量Dp及冻融、受荷总损伤变量D随冻融循环次数的变化规律，随着冻融循环次数的增加，Dn、Dp和D均逐渐递增，直至趋于稳定。冻融循环作用促进水泥土材料的受荷和冻融损伤发育。

(3)基于冻融、受荷总损伤变量，引入损伤修正因子，构建新的冻融循环作用下的水泥土统计损伤模型，辨识本文水泥土试验数据，预测值和试验值曲线吻合良好，验证所建模型的可行性和合理性。