直觉犹豫模糊集距离测度及其应用

王拥兵，左照鑫，张丽霞

(安庆师范大学 数理学院 安徽 安庆 246013)

0 引言

自Zadeh[1]提出模糊集概念以来，许多学者陆续给出了模糊集的多种扩展形式。例如，文献[2]提出了直觉模糊集的概念，并研究了直觉模糊集代数运算及其应用。文献[3-4]定义了犹豫模糊集，讨论了不同类型犹豫模糊集的集成算子。由于犹豫模糊集只对每个属性信息给出不同的隶属度，在实际决策过程中不能够全面地反映决策者的评估信息。基于此，文献[5]定义了直觉犹豫模糊集，并将其应用于多属性决策问题。直觉犹豫模糊集集成了直觉模糊集和犹豫模糊集的优势，能够更好地描述决策者的偏好不一致性。此外，文献[6]研究了基于犹豫直觉模糊语言集距离的TOPSIS和TODIM多属性决策方法；文献[7]结合相关系数研究了直觉犹豫模糊集的群决策问题。

距离测度在决策过程中一直是研究的热点问题之一，已经在许多领域得到了广泛的应用，如多属性决策问题、市场前景预测、模式识别等。文献[8]研究了模糊集的几何度量和Hausdorff 度量；文献[9-11]研究了犹豫模糊集的距离测度、相似测度和相关测度。文献[12]同样考虑了直觉犹豫模糊集的距离度量问题，但只考虑了隶属度和非隶属度之间的差异，并未考虑直觉犹豫模糊集犹豫程度的差异。犹豫度是体现直觉犹豫模糊集的重要特征之一，基于此，本文将给出直觉犹豫模糊集犹豫度的概念，并基于犹豫度定义给出不同类型的直觉犹豫模糊集的距离测度，结合偏好决策和TOPSIS方法，通过模式识别案例和锂离子电池供应商模型，验证了所提方法的有效性和优越性。

1 预备知识

定义1[2]设X是一个有限的非空集合，则称

I={〈x,μ(x),ν(x)〉|x∈X}

为直觉模糊集(intuitionistic fuzzy set，IFS)，其中μ(x)和ν(x)分别表示元素x∈X对于集合I的隶属度和非隶属度，μ(x)≥0,ν(x)≥0,且μ(x)+ν(x)≤1。

进一步地，π(x)=1-μ(x)-ν(x)表示元素对于集合I的犹豫度。

定义2[3-4]设X是一个有限的非空集合，则称

H={〈x,h(x)〉|x∈X}

为X上的一个犹豫模糊集(hesitant fuzzy set，HFS)，其中h(x)是[0,1]区间中一些数值的集合，表示元素关于集合A的一些可能的隶属度。

定义3[4]设X是一个有限的非空集合，则称

A={〈x,ΓA(x),ΨA(x)〉|x∈X}

为直觉犹豫模糊集(intuitionistic hesitant fuzzy set，IHFS)，其中ΓA(x)和ΨA(x)是[0,1]区间中的两个子集合，表示x∈X的可能的隶属度和非隶属度，即

ΓA(x)={γ1,γ2,…,γl(h)}，

ΨA(x)={η1,η2,…,ηl(g)}，

其中：对于任意的γA(x)∈ΓA(x),有ηA(x)∈ΨA(x),且满足0≤γA(x)+ηA(x)≤1;反之，对任意的ηA(x)∈ΨA(x)，有γA(x)∈ΓA(x)，且满足0≤γA(x)+ηA(x)≤1。所有直觉犹豫模糊集构成的集合记为IHFS(X)。

对于任意的x∈X，〈x,ΓA(x),ΨA(x)〉被称为直觉犹豫模糊元(intuitionistic hesitant fuzzy element，IHFE)，可以简写为

其中：lA和gA分别表示隶属度和非隶属度元素的个数。一般情况下要求lA=gA。若lA≠gA,可以对较短的隶属度个数或非隶属度个数进行延伸，直至lA=gA，延伸方式为

定义4设A,B∈IHFS(X), 若函数D:IHFS(X)×IHFS(X)→[0,1]满足以下性质：

1) 0≤D(A,B)≤1，

2)D(A,B)=0当且仅当A=B，

3)D(A,B)=D(B,A)，

则称D(A,B)为A和B间的直觉犹豫模糊集的距离测度。

设A,B∈IHFS(X)，其中

A={〈x,ΓA(x),ΨA(x)〉|x∈X}，

B={〈x,ΓB(x),ΨB(x)〉|x∈X}，

则A和B间的Hamming距离为

A和B间的广义距离为

其中：p>0。特别地，若p=2，则为A和B间的Euclidean距离(DE(A,B))。

例1设X={x},A,B,C∈IHFS(X),其中

A={〈x,{0.4,0.2},{0.8,0.5}〉}，

B={〈x,{0.3,0.1},{0.5,0.4}〉}，

C={〈x,{0.7,0.3},{0.6,0.1}〉},

则DH(A,C)=DH(B,C)=0.25，DE(A,C)=DE(B,C)=0.273 9。

根据上述计算结果，传统的Hamming距离和Euclidean距离无法识别样本C是属于模式A还是模式B。因此，有必要进一步考虑直觉犹豫模糊集的距离测度。本文将在直觉犹豫模糊集犹豫度的基础上，提出一些新的直觉犹豫模糊集的距离测度公式。

2 基于犹豫度的直觉犹豫模糊集的距离测度

定义5设A∈IHFS(X), 对任意的xi∈X，则直觉犹豫模糊元A(xi)的直觉犹豫度定义为

实际上，这里的μA(xi)表示决策者对给出隶属度与非隶属度的犹豫程度。特别地，若μA(xi)=0, 表示决策者可以很明确地得出隶属度和非隶属度; 若μA(xi)=1, 表示决策者对给出隶属度与非隶属度最犹豫不决的情况。

定义6设A,B∈IHFS(X)，对任意的xi∈X，则A和B关于xi的直觉犹豫度的偏差定义为

其中，μA(xi)和μB(xi)分别为直觉犹豫模糊元A(xi)和B(xi)的直觉犹豫度。

定义7设a1=〈Γ1,Ψ1〉，a2=〈Γ2,Ψ2〉∈IHFE(X)，则a1和a2间的Hamming距离为

其中：参数t∈[0,1]。

对应的A,B∈IHFS(X)，则A和B间新的Hamming距离定义为

其中：参数t∈[0,1]。

A和B间新的Euclidean距离定义为

其中：参数t∈[0,1]。

A和B间新的广义距离定义为

其中：参数t∈[0,1],p>0。

定理1设A,B∈IHFS(X), 则DHH(A,B),DHE(A,B),DHG(A,B)满足定义4中的三条性质。

证明以DHH(A,B)为例进行证明，其他距离测度的证明类似。

1) 设

A={〈x,ΓA(x),ΨA(x)〉|x∈X},

B={〈x,ΓB(x),ΨB(x)〉|x∈X},

从而

故有

所以，

于是，有

同理可得0≤μB(xi)≤1。从而

进一步可得

因此，

2) 若DHH(A,B)=0,则

故μA(xi)-μB(xi)=0,即

可得μA(xi)=μB(xi)，故A=B。

反之，显然成立。

3) 根据定义7，有

综上所述，DHH(A,B)满足定义4中的三条性质。

由于属性之间存在差异，因此有必要将属性的权重纳入距离测度考虑中。定义A和B间的新Hamming加权距离为

A和B间的新Euclidean加权距离为

A和B间的新广义加权距离为

例3设A,B,C为例1中的IHFS，根据上述距离测度，并取t=0.5，可以计算出DHH(A,C)=0.225,DHH(B,C)=0.275。由此可判别模式C属于模式A，这与直观上认识是一致的。

此外，从问题的计算结果来看，本文提出的新距离测度既保留了传统的直觉犹豫模糊集距离测度的特点，又考虑了直觉犹豫模糊集本身的数据结构特征，克服了传统距离测度的不足。

3 属性权重的确定方法

目前，多属性决策问题是一个研究热点，决策者需要在权衡多个属性后选择最优方案。近年来，人们对解决这一问题的方法进行了广泛的研究，TOPSIS是其中比较有效的方法之一。对于属性值为直觉犹豫模糊元的多属性决策问题，决策者对备选方案有一定的主观偏好，且偏好值为直觉犹豫模糊元。决策举证中的属性值可以作为客观偏好值，但由于现实条件的限制，主观与客观偏好间常常存在一定的偏差。为了使决策更合理，属性权重的选择应使决策者的主观偏好与客观偏好的总偏差最少。本文提出的距离测度既充分考虑了直觉模糊元之间隶属度和非隶属度的关联，又考虑了直觉犹豫模糊元的犹豫度，且在实际应用中是有效的。由此，将基于新的直觉犹豫模糊集的距离测度来确定属性信息的权重模型，

(1)

为了求解该模型，构造拉格朗日函数

(2)

属性权重为

在解决实际问题时，通常要求属性权重的和为1，将上述属性权重式子归一化，可得

(3)

根据直觉犹豫模糊元的新距离测度，分别计算方案与正、负理想元的加权距离，

(4)

根据R(Yi)的值对备选方案进行排序，R(Yi)越大，则方案Yi越优。

4 决策步骤

本文给出一种对方案有偏好的直觉犹豫模糊集的多属性决策方法，具体步骤如下。

Step 2 根据属性权重优化模型，利用式(3)计算属性权重。

Step 3 根据式(4)计算各方案的相对贴近度。

Step 4 进一步根据R(Yi)(1≤i≤m)的值，对方案进行排序。

5 算例分析

5.1 算例

下面通过具体实例对上述算法进行说明。

例4与传统二次电池相比，锂离子电池具有能量高、循环性能好、无记忆效应等优点。自其诞生以来，在短短的数年内，锂离子电池就占据了手机、数码相机、摄像机和笔记本等便携式移动电子设备领域。影响锂离子电池性能的因素是多种多样的，下面将利用直觉犹豫模糊集的决策方法，分别从锂离子电池正负极材料的选择(C1)、电解质的选择(C2)、隔膜的选择(C3)、电池的结构和尺寸(C4)四种主要属性来对Y1、Y2、Y3和Y4这四家锂离子电池供应商进行评估。

Step 1 专家对这四种属性进行评估，得到各方案的属性值，以直觉犹豫模糊元的形式给出，如表1所示。

表1 专家评估信息表Table 1 Expert evaluation information form

表2 各方案与α+和α-之间的距离Table 2 The distance between each alternative and α+, α-

表3 各方案与偏好之间的距离Table 3 The distance between each alternative and preferences

因此，可得

Step 2 取t=0.5,p=1，建立属性权重优化模型为

根据式(3)计算属性权重为

ω=(0.375,0.225,0.233,0.167)。

Step 3 由式(4)计算各方案的相对贴近度为

R(Y1)=0.635 5,R(Y2)=0.583 1，

R(Y3)=0.657 3,R(Y4)=0.682 0。

Step 4 按照R(Yi)(1≤i≤4)的大小，对方案进行排序，即R(Y4)>R(Y3)>R(Y1)>R(Y2)。因此，Y4为最佳锂离子电池供应商。

5.2 敏感性分析

令p=1,通过对参数t取不同的数值进行敏感性分析。当t分别取0.2、0.5、0.6、0.8、1.0时，分析备选方案评价结果的排序情况，结果如表4所示。可以看出，随着参数t取值的不同，最佳备选方案Y4的排序结果始终没有发生改变，由此可知，备选方案的排序结果对参数t的变化不敏感。

表4 参数t对方案排序的影响Table 4 The ranking results of alternatives with different parameter t

令t=0.5，通过对参数p取不同的数值进行敏感性分析。当p分别取1、2、4时，分析备选方案评价结果的排序情况，结果如表5所示。可以看出，随着参数p取值的不同，最佳备选方案Y4的排序结果始终没有发生改变。也就是说，备选方案的排序结果对参数p的变化不敏感。

表5 参数p对方案排序的影响Table 5 The ranking results of alternatives with different parameter p

综合参数t、p的敏感性分析，表明了本文方法的稳定性和可行性。

注利用文献[12]中提出的Hamming距离进行计算，其结果为R(Y4)>R(Y1)>R(Y3)>R(Y2)。

由此可知，其排序的最优方案和最劣方案与本文方法的计算结果基本一致。此外，通过上述例1和例3的分析可知，本文提出的直觉犹豫模糊集距离测度可以克服文献[12]中Hamming距离的不足之处，进一步说明本文所提出的距离测度是有效的。

6 小结

犹豫度是体现直觉犹豫模糊集的重要特征之一，在决策过程中能够很好地反映决策者犹豫不决的程度。基于此，本文给出直觉犹豫模糊集犹豫度的概念，以及不同类型的直觉犹豫模糊集的距离测度，具体模式识别案例分析结果表明了本文所提出的距离测度的有效性和实用性。此外，结合有偏好的决策问题和TOPSIS方法，给出了备选方案的决策模型和算法步骤。将此方法应用于锂离子电池供应商模型，并对相应的参数t、p进行了敏感性分析，可以得到的最优方案始终相同，证明了所提出的距离测度具有实用性和稳定性。