Levy噪声下基于自适应级联三稳随机共振的4 FSK信号检测

张亚麟,王辅忠

(天津工业大学 物理科学与技术学院，天津 300387)

0 引言

1981年，Benzi等人[1]在研究周期性回归冰河期问题时提出了随机共振这一概念，该概念的提出克服了传统信号提取中将噪声作为干扰的局限性，描述了非线性系统中由噪声引起的信号增强现象[2-3]。近40年来，它被广泛应用于图像处理[4-5]、化学[6]、传感器[7]、机械故障检测[8]、信号检测与提取[9-10]等领域。在通信领域，随机共振常用于噪声背景下的微弱信号检测[11-12]，因为随机共振系统能够能够将噪声能量转移到信号当中，对信号有一定的增强作用，所以其应用不断扩展。对于研究模拟信号的随机共振理论推导和仿真模型在30年来已逐渐趋于完善，但对数字信号而言随机共振系统的研究还相对较少，因此，在当前数字集群通信环境下的理论与技术发展中，研究如何在Levy噪声背景下提取数字信号并降低数字信号误码率就显得尤为重要。

4 FSK信号全称为“四进制频移键控信号”[13]。4 FSK调制解调技术是DMR协议的关键核心技术，也是数字通信中常用的一种调制方式。该调制是是一种恒定的包络调制，是一种可以用多个不同的载波频率代表各种数字信息的调制模式。该调制具有一定的抗干扰性能[14]。一般来说，4 FSK调制和解调通常由滤波器、包络检测器、采样决策装置和逻辑电路组成。多个系统代码误码率随着系统进制数的增加而增加。当比特能量固定时，误码率随着基数的增加而降低。因此，在有噪声的信道传输中仍存在误码率较高的现象。

传统的去噪方法通常是基于卷积神经网络、多重分形理论和小波阈值算法[15-17]。在滤除噪声的同时，原始信号中的有用信息也被滤掉，从而增加了信号传输中的误码率，降低了信号传输的质量。而随机共振系统能够利用噪声放大弱信号从而达到抑制噪声的目的。进行信号仿真检测时，通常需要模拟环境噪声，本文选用了更加符合现实的Levy噪声作为仿真检测的背景噪声，与理想分布的高斯白噪声不同，Levy噪声具有很强的冲击性，更加符合真实信道环境。

本文根据4 FSK信号的特点，提出了Levy噪声下基于自适应级联三稳随机共振随机共振理论的4 FSK信号提取方法。以4 FSK信号为研究对象，采用四阶Runge-Kutta算法，通过自适应级联三稳随机共振系统，进行信号的提取与误码率的检测，研究随机共振方法相较于传统方法的优越性，从而拓展随机共振的应用领域。

1 Levy噪声的分布函数及频谱

Levy噪声也被称为α噪声，是由Levy等人在1934年研究中心极限定理和大数定律时提出的。与服从理想分布的高斯噪声不同，Levy噪声是唯一满足广义中心极限定理分布的噪声。Levy噪声作为一种典型的具有渐近幂律行为的噪声模型，近年来受到了越来越多的关注[18-19]。Levy噪声可用参数化方法对其进行描述[20]，其分布的特征函数表达式如下：

(1)

式(1)中，α代表特征指数，取值区间为(0,2]，该参数决定了噪声分布的拖尾性和脉冲性。其拖尾性随着α的增大而增大，脉冲性随着α的增大而减小。β代表对称参数，取值区间为[-1,1]，该参数决定了Levy噪声分布的对称性，当β=0时，呈对称分布。σ代表尺度参数，取值区间为(0,+∞)，该参数决定了噪声分布样本点偏离μ的离散程度。μ代表位置参数控制着噪声分布的左右移动。当α等于1，β等于0时，此时噪声服从柯西分布；当α等于2，β等于0时，此时噪声服从高斯分布。图1为不同Levy噪声参数下的概率密度函数分布图。

图1 不同Levy噪声参数下的概率密度函数

Chambers-Mallows-Stuck(CMS)方法生成的Levy分布随机变量X的表达式如下：

(2)

式(2)中，V服从区间(-2π,2π)的均匀分布，W服从均值为1的指数分布，V和W相互独立。其中Bα,β和Sα,β的表达式如下:

(3)

(4)

参数α分别为0.5,1,1.5,2时的Levy稳定噪声分布如图2所示。从图中可以看出Levy噪声参数越小时，冲击性越强，使得在SR系统中运动的布朗粒子会冲出非线性势函数的运动轨迹范围，因此在实际模拟中需要根据系统以及信号的实际情况进行截断。

图2 不同参数α下的Levy噪声分布

2 4 FSK的调制与调制

2.1 4 FSK模型

频移键控(FSK)是利用载波频率变化来传输数字信息。它是一种利用数字基带数字信号的离散值特征来锁定载波频率以传输信息的数字调制技术。由接收端接收到的载波信号被转换成数字信号，从而完成数字信息的传输。由于易于实现，具有较好的抗噪声和抗褪色能力而得到了广泛的应用。

4 FSK是多频移位键控(MFSK)的一种典型形式。通过增加正弦波的不同数、不同频率和正弦振幅，可以形成四频调制模型。该表达式如下：

S(t)=m1(t)Acos(2πf1t+φ1)+

m2(t)Acos(2πf2t+φ2)+m3(t)Acos(2πf3t+φ3)+

m4(t)Acos(2πf4t+φ4)

(5)

2.2 4 FSK调制

4 FSK调制是一个恒定的包络调制。在第四元符号区间内，被调制信号的载波频率是4个可能的离散值之一。每个载波频率对应两个二进制符号，二进制位流首先通过串行到并行的转换生成两个并行位，相当于转换为四元符号。然后每两位映射到4 FSK信号波形中的一个，从而完成4 FSK调制。根据DMR标准，二进制位与四元符号之间的关系如表1所示。

表1 二进制符号对4 FSK信号的映射

四频调制具有4个不同的载波频率，对应于4个不同的数字信号，并且在一个符号时间内只传输一个频率。其实现原理如图3所示。

图3 4 FSK调制原理图

当输入值为0、1、2、3时，4 FSK调制信号如下:

(6)

2.3 4 FSK解调

常用的4 FSK解调方法有很多，主要分为相干(同步)解调和非相干解调。相干解调也称为同步检测，适用于所有线性调制信号的解调。实现相干解调的关键是，接收机需要恢复一个与被调制的载波严格同步的相干载波。恢复载波的性能与接收机的解调性能直接相关。非相干解调也被称为包络检测。信封检测是为了直接从无相干载波的调制波形的振幅中恢复原始的调制信号。本文采用包络检测技术，实现了4 FSK信号解调。该方法的优点是，接收机不需要产生与发射机具有相同频率的相干载波，且实现简单、高效。4 FSK包络检测解调的原理如图4所示。

图4 4 FSK解调原理图

3 随机共振系统模型

3.1 三稳态随机共振模型

三稳态动力系统可以用非线性朗之万方程(LE)表示，考虑外力和Levy噪声驱动的三稳模型，如下方程所示：

dx/dt=-dU(x)/dt+Aε(t)+Dξ(t)

(7)

式中，ε(t)为本文输入振幅为A的4 FSK信号，ξ(t)为强度为D的Levy噪声，经典的三稳态势函数描述如下：

U(x)=ax2/2-bx4/4+cx6/6

(8)

其中:a、b和c为势参数。图5表示参数a、b和c对势分布的影响。从图5可以看出3个参数随着x的变化对势分布的影响。值a和b影响两侧势井的清晰度。当a值越大b值越小时，势井会变得越平坦。值c会影响势垒的陡度，随着c值的增加，势函数两边将逐渐变得陡峭。

图5 不同参数a，b，c下的势函数U(x)

在这种情况下，方程可如下所示：

dx/dt=-ax+bx3-cx5+Aε(t)+Dξ(t)

(9)

方程(9)表示了具有传统反射对称第六势的一个变量的非线性朗之万方程，形成了经典的三稳定SR模型。可以表明，系统输出x由电位、输入信号和噪声决定。随随力在这种非线性三稳势中发挥着积极的作用，将部分噪声能量转化为信号能量，从而提高信号能量。当信号振幅非常小时，在没有噪声的前提下，粒子将在3个势阱中的任何一个中。此时，调整系统不足以使粒子从一个势阱过渡到另一个势阱。通过施加周期性的驱动力和随机力，粒子可以通过高度穿过势垒，使系统的输出在3个势阱之间形成大规模的连续跃迁运动，从而出现随机共振现象。只有当电势处于与周期力相匹配的最优条件下时，周期力和随机力才能放大粒子的振荡，并增强周期信号。同时，通过调整势参数a、b、c的值，可以实现三稳态势函数的直接参数控制。然而，在模拟中，调整势参数a、b和c的值不需要设置复杂的限制。该自适应算法可以更直观、更方便地找到最佳参数值。

为了达到对4 FSK信号最好的处理效果，在三稳态随机共振系统模型的基础上，采取三稳态系统级联[19]的方法，建立了级联三稳态随机共振系统模型，对于级联三稳态随机共振已有学者进行了该方面的相关研究，将两个或者两个以上随机共振系统级联在一起，使得信号多次经过随机共振系统，从而使得系统内的噪声能量不断地向信号能量转移。式(10)表示了级联三稳态随机共振系统方程：

(10)

级联三稳态随机共振系统如图6所示。

图6 多级级联三稳态随机共振系统图

当i>2时，xi(t)既是上一级随机共振系统的系统输出，也是下一级随机共振系统的系统输入，本文主要研究两级的级联三稳态随机共振系统模型对4 FSK信号的提取，以误码率为评价指标分析系统的作用效果。

3.2 自适应算法

图7 自适应三稳态随机共振方法流程图

图8 基于自适应三稳态随机共振系统的4 FSK信号处理流程图

本文采用四阶Runge-Kutta算法对朗之万方程(LE)进行数值计算，其数学分析步骤如式(11)所示：

(11)

式中，y为系统处理的信号，s为掺杂Levy噪声的系统输入4 FSK信号，h为该算法的步长，其中h=1/fs。a、b和c是四阶龙格-库塔算法中的直接控制势参数。

4 Levy噪声下4 FSK信号的自适应级联三稳态随机共振响应

图9(a)为4 FSK信号传统调制解调模型，图9(b)为4 FSK信号自适应级联随机共振调制解调模型，本文的参数调节和设置均基于以下两个模型。

图9 信号传输系统模型图

实验仿真中，使用随机函数产生4 FSK信号基码，并通过频率调制生成4 FSK调制信号图，如图10所示。

图10 4 FSK数字基码与调制信号时域图

固定Levy噪声的参数α、β、σ和μ分别为1.65、0、1和0，噪声强度D为0.8，4 FSK信号幅度A为1，其4个频率f0、f1、f2和f3分别为0.02 Hz、0.04 Hz、0.08 Hz和0.16 Hz，采样频率fs为10 Hz。图11(a)和(b)分别表示系统输入信号的时域分布图和频域分布图，从图中可以看出4 FSK时域信号完全淹没在Levy噪声当中，而在频率分布图中虽然可以观察到信号的特征频率，但是频谱脉冲过于集中在低频带上，在信号处理中容易混杂在一起，导致原始信号无法恢复。

图11 随机共振系统输入信号时域频域分布图

为了更好地提高自适应级联三稳态随机共振系统的有效性，本文对4 FSK信号进行了预处理，并通过滤波器将其分为4个单独的信号分别通过自适应随机共振系统。设置系统参数a、b和c的扫描间隔为(0,1]、(0,1]和(0,1]。参数a、b和c的扫描步长均为0.01，本文将最后的误码率作为信号质量改善的指标，将预处理的单个频率信号与经过随机共振系统后的单个频率信号进行对比，得到系统输入输出对比图如图12～15所示。

图12 随机共振系统输出f0信号时域频域分布对比图

从图12中可以看出，f0信号经过随机共振系统后的时域图毛刺相较经过系统之前明显减少且频率图中的频谱峰值从7.8×104增加到1.04×105。频谱达到最高点时的a，b和c值分别为0.1、0.3和0.8。与图12相似，在图13、14和15中，时域图都变得更加清晰、毛刺更少，不再被Levy噪声完全淹没。频域最高幅值也从更为突出，噪声的能量转移到信号能量之中，证实了随机共振的有效性。其中图13的频谱幅值由输入的4.47×104增大至6.17×104。图14的频谱幅值由输入的6.89×104增大至7.85×104。其中图15的频谱幅值则由输入的5.06×104减小至4.36×104。虽然图15的频率幅值相较未经过随机共振系统的信号略小，但时域仍然比未经过随机共振系统的信号要更为清晰。频谱值减小的原因在于随机共振对低频信号的作用明显要优于高频信号，因此经过随机共振系统的高频率f3信号会比低频的f0信号效果要略差一些。

图13 随机共振系统输出f1信号时域频域分布对比图

图14 随机共振系统输出f2信号时域频域分布对比图

图15 随机共振系统输出f2信号时域频域分布对比图

自适应级联三稳态随机共振系统输出信号经过包络检波器并解调的图形如图16(a)所示。经传统调制解调系统模型的图形如图16(b)所示。

图16 两种模型解调信号对比图

考虑到Levy噪声的影响，进行了500次独立实验，得到了仿真中系统输出的平均误码率。信号经4 FSK自适应级联三稳态随机共振系统模型解调后相比传统模型误码率平均降低了4%。

5 结束语

本文基于随机共振原理设计了一种Levy噪声下4 FSK信号自适应级联三稳态随机共振系统的新方法，在4个支路上分别加上三稳态随机共振系统，4个支路都发生了随机共振现象，大幅提高载波的频谱幅值同时降低了4 FSK信号的误码率，相比于传统的解调方式有着很大的提升。实验结果表明：在Levy噪声背景下可以通过调节随机共振系统参数a、b和c来实现随机共振现象；与传统的解调方法相比，自适应级联三稳态随机共振方法更能从含有噪声的原始信号中识别4 FSK信号，误码率相比于传统模型降低了4%。该实验结果表明自适应级联三稳态随机共振系统可以作为Levy噪声背景下提取4 FSK信号的有效方法。本文研究了Levy噪声下数字信号提取的研究，下一步将对数字图像信号的检测进行研究。