三角形边等差的解法及命题意图探究

摘要：关于三角形边成等差、等比的结论有很多，甚至关于角成等差等比也有一些结论.本文通过一道高考模拟卷试题的多种解法探究边等差三角形的简单性质.

关键词：边等差;基本不等式;构造椭圆;琴生不等式;命题

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2022）07-0100-03

收稿日期：2021-12-05

作者簡介：刘小树（1985.8-），男，安徽省蚌埠人，本科，中学一级教师，从事高中数学教学研究.[FQ）]

1 试题呈现

题目（蚌埠市2020届高考第四次模拟考试理科第16题）△ABC中，设角A，B，C的对边分别是a，b，c，若sinB=sinA+sinC2 ，求1sinA+1sinC 的最小值.

2 试题解析

解法1（基本不等式法）

由正弦定理，sinB=sinA+sinC2，①

可化为b=a+c2.②

又由余弦定理及不等式，得

cosB=a2+c2-b22ac

=a+c2-2ac-a+c242ac

=34a+c2-2ac2ac

≥342ac2-2ac2ac=12.

而0<B<π，所以0<B≤π3.

由sinB=sinA+sinC2化为1=sinA+sinC2sinB，因此1sinA+1sinC=1×1sinA+1sinC=12sinB×sinA+sinC×1sinA+1sinC=12sinB×2+sinCsinA+sinAsinC≥12sinB×2+2sinCsinA·sinAsinC=2sinB≥433.

上面两次不等式等号成立的条件为A=B=C=π3，即△ABC 为正三角形.

解法2（配角三角公式变换法）

由已知条件sinB=sinA+sinC2，得2sinB=sinA+sinC.又由二倍角sinB=sinA+C=sin2×A+C2，配角得到A=A+C2+A-C2，C=A+C2-A-C2，

于是2×2sinA+C2·cosA+C2=2sinA+C2·

cosA-C2sinA+C2≠0.

从而2cosA2cosC2-sinA2sinC2

=cosA2cosC2+sinA2sinC2.

化简整理为3sinA2sinC2=cosA2cosC2.即tanA2tanC2=13.③

故1sinA+1sinC=1+tan2A22tanA2+1+tan2C22tanC2

=12·tanC21+tan2A2+tanA21+tan2C2tanA2tanC2=2tanA2+tanC2≥2×2tanA2·tanC2=433.

当且仅当A=B=C=π3时，上式等号成立.

解法3（建系构造椭圆法）

令2a0=a+c，2c0=b，则a0=b，c0=b2.

以点A，C分别为椭圆的左右焦点建立平面直角坐标系，如图1，其中不妨取椭圆离心率为e=12，标准方程为x24+y23=1，

Bx0，y0x0≠±2，y0≠0，0<y0≤3.

故1sinA+1sinC=2sinBsinAsinC=2sinAcosC+cosAsinCsinAsinC，

所以1sinA+1sinC=21tanA+1tanC.④

在△ABC中，tanA=y01+x0，tanC=y01-x0，

于是④化为

1sinA+1sinC=21+x0y0+1-x0y0=4y0≥433，

当且仅当x0=0，y0=3时，

即当△ABC为等边三角形时取到最小值.

解法4（Jensen不等式法）

因为f（x）=sinx，x∈0，π，f ″（x）=-sinx<0，所以f（x）为上凸函数.

又2sinB=sinA+sinC，所以3sinB=sinA+sinB+sinC≥3sinA+B+C3=332.即sinB≥32.因此0<B≤π3或2π3≤B<π.又因为2sinB=sinA+sinC，2b=a+c，即a，b，c成等差数列.故b不是最大边.所以0<B≤π3.

由基本不等式，得2sinB=sinA+sinC≥2sinA·sinC，sin2B≥sinA·sinC，当且仅当A=C取等号.即1sinA·sinC≥1sin2B.

所以1sinA+1sinC=2sinBsinA·sinC≥2sinBsin2B=2sinB≥433，当B=π3时取到等号.

故当且仅当A=B=C=π3时，上式等号成立.

3 试题命题意图分析

试题用了4种方法解题，从解法1到解法4，解题要求难度逐渐加大，但是从考后调查发现，以上四种解法中，解法1，2仅少部分同学使用，解法3更是罕有人用，竞赛党同学容易想到解法4.试题难度系数0.22，区分度0.45，全市得分率为22.01%，最好的学校得分率也仅为40%，足见得分很低.大多数同学使用的方法让命题者欣慰又大跌眼镜：直接根据对称性取正三角形得到答案.这不得不让人思考，为什么会出现这种事与愿违的结果呢？可以从两个方面分析：一方面：大多数同学做16题常使用极限法、特殊图形或特殊值法，加上考试时间紧，压轴小题难度大，学生不敢在这里耗费时间，不得不取特殊图形法，而且验算后发现符合要求，就铤而走险解题.另一方面如果答案被学生轻而易举猜到，说明命题没有体现隐形性，要从命题角度考虑了.本题条件容易让考生联想到特殊图象法.

如果设置为

2acos2C2+2ccos2A2=3b，⑤

或cosA+2cosB+cosC=2，⑥

或5cosA+5cosC-4cosAcosC=4.⑦

相对来讲更能达到压轴和考查的目标.这是因为以上三种情形不易被考生猜到特殊图形，即使猜也没有理由.实际上这三种情形是等价的，最终都可以化为2b=a+c，这样既能达到考查要求，又不会被学生钻了空子，从而导致命题的尴尬境地.对于以上重新设置的条件为什么可以达到压轴目的呢，下面将转化过程具体证明，大家就一目了然了.

三种形式等价证明如下：

⑤2acos2C2+2ccos2A2=3ba1+cosC+c1+cosA=3b

a+c+acosC+ccosA=a+c+b=3b2b=a+c;

⑥cosA+2cosB+cosC=2

cosA+cosC=2-2cosB

2cosA+C2·cosA-C2=2×2cos2A+C22cosA+C2=cosA-C22sinA+C2cosA+C2=sinA+C2cosA-C2sinA+C=12sinA+sinC2sinB=sinA+sinC

2b=a+c;

⑦5cosA+5cosC-4cosAcosC=4

2cosA+C2=cosA-C2

或cosA+C2=2cosA-C2.

同⑥可化为2b=a+c或b=2a+c舍.

不难发现， ⑤⑥⑦考查知识方法更全面、丰富、多元性、隐形性，可以多层次考查学生.另外大家还发现①至⑦都是等价命题.

高中数学命题原则一般是条件间要满足相容性，不得与公理定理概念相矛盾;力求语言描述准确无歧义;解题方法多元性，多种知识、思想相互沟通，对考生有启发性;试题素材要新颖、丰富、典型、隐形性，防止猜题.

命题是一项重要的工作，教师命题必须紧扣教学大纲和高考核心素养要求，合理命题，既要考查学生对基础知识，思想方法的掌握情况，又要让学生从问题中训练思维，提升能力，得到启发，使学生在解题中领悟命题意图，达到融会贯通，举一反三.命题要反复斟酌，力求做到没有失误，才能命出解法自然，形式完美的经典试题.

參考文献：

[1] 徐希扬. 边等差三角形的一个性质及应用[J].中学数学月刊， 1997（08）：16-17.

[责任编辑：李璟]