一道数学中考模拟题的溯源、解法研究与推广

北京师范大学广州实验学校(510700) 支柳香

前言

圆这一部分的知识在初中数学教学中占有极其重要的地位,中考中更是考查的热点.在与学生一起备战2021 年数学中考的过程中,一道关于圆的模拟试题引起了笔者的兴趣,笔者发现此题入口宽、解法灵活、适于推广,于是便进行了较深入的探究.

1 试题呈现

题目(2021 年广州广雅实验学校4月份中考模拟题)

如图1,已知在⊙O中,AB是⊙O的直径,C为⊙O上一点,AC=8,BC=6.若点D为⊙O上的一个动点,且ΔABD为等腰直角三角形,求线段CD的长.

图1

2 试题溯源

试题的原型来自于人教版数学九年级下册第24 章“圆”24.1.4 圆周角这一节的例4,原题如下:

如图2,⊙O的直径AB为10cm,弦AC为6cm,∠ACB的平分线交⊙O于点D,求BC,AD,BD的长.

图2

与例4 不同的是试题中的D点需要学生自己动手画出来,这样的D点有两个(为区别起见,分别记为D、E),需要分类讨论,所求的线段是CD和CE.

3 试题考查

此题考查了尺规作图、圆周角定理、勾股定理、圆内接四边形对角互补、垂直平分线的性质等知识点,也考查了分类讨论、构造的思想.因为ΔABD为等腰直角三角形,所以点D在线段AB的垂直平分线与圆的交点上,这样的D点有两个,考查了学生的动手画图能力,图形画出来之后,为了求出CD的长,可以通过建系,托勒密定理,相似,勾股定理,旋转,构造直角三角形等方法求出线段CD的长,这样可以较好的培养学生分析问题、解决问题的能力.

4 解法研究

作线段AB的中垂线,交⊙O于D、E,因为AB是⊙O的直径,所以∠ACB=∠ADB=90°,由于AC=8,BC=6,由勾股定理可得AB=10,因为AD=BD=EA=EB,于是ΔADB,ΔABE,ΔAOD,ΔBOD,ΔAOE,ΔBOE均为等腰直角三角形,得到AO=BO=DO=EO=5,AD=BD=AE=BE=由CD平分∠ACB,所以∠ACD=∠BCD=45°.

分析1:因为圆内接四边形对角互补,且AD=BD,所以可以得到以下解法:

解法1:如图3,延长CB至G,使CA=BG,连结DG,因为A、C、B、D四点共圆,所以∠CAD+∠CBD=180°,且∠DBG+∠CBD=180°,可得∠CAD=∠DBG,于是ΔCAD∽=△GBD,∠CDA=∠BDG,BG=AC=8,CG=6+8=14,∠CDG=90°,因而CD=CGcos 45°=在RtΔDEC中,EC2=DE2-DC2=2,所以EC=

图3

图4

分析2:因为CD、AB是圆中的两条相交的弦,AC、AD、BD、BC的长都是已知,运用托勒密定理可以得到以下解法:

分析3:因为AB与DE互相垂直,所以我们可以通过建立平面直角坐标系,将几何问题转化为代数问题进行求解,因此可以得到以下两种解法:

图5

分析4:由初高中衔接知识,可以运用两点间的距离公式求线段CD的长,因此可以得到以下解法:

解法4:如图6,以O为原点,DE为y轴,AB为x轴,建立平面直角坐标系,过点C作CH⊥AB,则D(0,-5),用ΔABC等面积法可算出ΔABC的高CH=4.8,在RtΔCBH中,由勾股定理可求得HB=3.6,因而OH=5-3.6=1.4,所以C的坐标为(1.4,4.8),利用两点间的距离公式可求出CD=在RtΔDEC中,EC2=DE2-DC2=2,所以EC=

图6

分析5:由于DE是线段AB的中垂线,运用垂直平分线的性质,可以得到以下解法:

图7

图8

分析6:为了求出CD,要把CD放到一个直角三角形中去,因此需要构造直角三角形,有以下三种解法:

图9

图10

比较以上几种解法,可以发现第一种方法最为简捷,这个方法可以解决圆内接四边形的这一类问题以及以下此题的变式1.

5 变式推广

将线段AC,BC的长一般化,可得到以下变式推广.

图12

推广1:如图11,已知在⊙O中,AB是⊙O的直径,C为⊙O上一点,AC=b,BC=a.若点D为⊙O上的一个动点,且ΔABD为等腰直角三角形,求线段CD的长.

图11

如果AB不是直径,ΔABC是一个一般的三角形,可得到以下变式推广.

推广2:如图13,已知ΔABC是⊙O的内接三角形,AC=b,BC=a,AB=c.若点D为⊙O上的一个动点,且ΔABD为等腰三角形,求线段CD的长.

图13

图14

经过以上的推理论证,可得到以下一般性的结论:

如图15,已知ΔABC是⊙O的内接三角形,AC=b,BC=a,AB=c.若点D为⊙O上的一个动点,且ΔABD为等腰三角形,则线段CD的长为或

图15

结语

通过对2021 年数学中考模拟题的多解研究与推广,笔者发现此题可作为研究性教学的素材,对本题进行解题教学时,学生可重点研究试题的辅助线的添加由来,感悟题目考查的知识点与学习的重点,研究试题的解法以优化解题策略和方法,研究试题的推广以培养探究意识和创新精神,提高学生分析问题和逻辑推理的能力.

总之,数学教学的主要任务是让学生学到有用的数学,渗透终身数学教育思想,让数学教育面向全体学生.初中阶段是基本的数学思想形成的重要阶段,而思想驱动之下习惯的形成,则是数学教学的重要内容.笔者一直以来,带着这样的认识去教学,使学生真正形成数学习惯,提高学生的数学核心素养.