谐波减速器柔性效应对机械臂末端精度的影响*

詹如月,彭来湖,祖洪飞,胡 玲,李剑敏

(浙江理工大学 机械与自动控制学院,浙江 杭州 310000)

0 引 言

随着工业技术的快速发展,工业机器人正不断地往轻量化、柔性化、高速化等方向发展[1]。

在机械臂的运动过程中,由于负载过重、速度过快等因素会导致机械臂的弹性部件发生变形,使机械臂的运动可靠性和运动精度降低。

机械臂的弹性部件主要有臂杆和驱动部件,其驱动部件由谐波减速器和电机组成,其中电机提供动力,谐波减速器传递动力。在谐波减速器中,柔轮的柔性以及摩擦等因素会导致其产生传动误差,使机械臂的运动误差增大,使其定位精度下降等。因此,谐波减速器对工业机械臂传动误差及其定位精度而言至关重要[2,3]。

针对谐波减速器对机械臂运动精度的影响问题,国内外学者已经进行了一系列的研究。

DANG Xuan-ju、谷勇霞、罗阳等人[4-6]分析了谐波减速器的迟滞性、磨损失效、动态摩擦等因素对谐波减速器传动效率的影响,并对其变化规律进行了研究,提出了一种提高工业机器人的寿命以及控制精度的方法。TONG Qing-bin等人[7]分析了谐波减速器的传递原理,以及谐波传递误差的来源,并据此建立了含有齿侧间隙和刚度的谐波减速器传动误差公式。在考虑加工误差以及装配侧隙等因素的条件下,沙晓晨、Hang Jia等人[8,9]建立了谐波减速器的传动误差方程,并通过实验验证了误差传递公式推导的正确性,评估了其结构对谐波减速器运动学误差的影响。刘泽宇、MA Guo-qing等人[10,11]建立了机械臂的刚柔耦合动力学模型,并采用ADAMS对刚柔耦合机械臂进行了动力特性分析,得到了机械臂各关节的转矩以及其动态误差的变化规律。

赵杰亮等人[12]结合了Euler-Bernoulli梁与谐波传动误差模型,建立了带有谐波滞后传动的柔性机械臂动力学方程,证明了谐波滞后传动会对柔性空间机械臂的运动产生影响。

综上所述,目前许多学者仅对谐波减速器的传动情况、机械臂的运动学以及动力学的仿真进行了分析,未能将谐波减速器的输出转速直接与机械臂的关节转速相结合,从减速器的动态误差出发,对刚柔耦合机械臂的运动及其定位误差进行定量的分析。

为此,笔者以UR10工业机械臂为研究对象,通过建立谐波减速器刚柔耦合模型,联合ADAMS和ANSYS仿真得到减速器动态传动误差曲线,同时建立谐波减速器的动态误差数学模型,并对其进行求解;将谐波减速器带有传动误差的仿真速度作为机械臂的关节驱动速度,以此来探究不同速度(带误差)驱动下,机械臂系统的末端速度、加速度以及定位精度的响应情况。

1 谐波减速器建模与仿真

1.1 减速器模型及传动误差

根据谐波减速器的传动机理,谐波减速器的传动比计算如下:波发生器作为输入,柔轮固定,刚轮作为输出,则此时谐波减速器的理论传动比为:

(1)

式中:ωa—波发生器的角速度;ωf—柔轮的角速度;ωg—刚轮的角速度;zg—刚轮齿数;zf—柔轮齿数。

谐波减速器三维模型的基本结构参数如表1所示。

机械臂各结构材料参数如表2所示。

表2 机械臂各结构材料参数

各组仿真速度如表3所示。

表3 仿真速度表

采用ADAMS对复杂零件进行柔性化建模时,存在一定的困难,故此处笔者联合ANSYS导出带有模态的柔性体替换柔轮[13],并定义各部件的材料属性,构建刚柔耦合虚拟样机。

基于ADAMS仿真的谐波减速器刚柔耦合模型如图1所示。

图1 基于ADAMS仿真的谐波减速器刚柔耦合模型

1.2 减速器动态传动误差模型

为了验证仿真模型的正确性,笔者通过谐波减速器传动误差的数值解计算,以对此进行验证。

谐波减速依靠电机输入的力引起柔轮变形,从而带动齿轮啮合将力输出。根据这种传动特点,为了计算谐波减速器的运动误差,笔者建立动态传动误差方程,即:

(2)

式中:φ—运动误差;θi—输入转角;θo—输出转角;N—传动比。

谐波减速器的总动能如下:

(3)

式中:Ji,Jo—输入、输出转动惯量。

在建模过程中,仅考虑柔轮的柔性,则有:

f=K1φ+K2φ3=Kf(φ)

(4)

式中:K1,K2—非线性刚度系数;K—等效扭转刚度系数。

系统的势能主要为弹性势能,即:

(5)

忽略摩擦等因素,笔者将上式的动能和势能代入拉格朗日方程,即:

(6)

(7)

得到谐波减速器动态传动误差的动力学方程为:

(8)

(9)

式(9)即为不考虑摩擦阻尼谐波减速器的动力传输特性的基本方程。

令谐波减速器的非线性弹性力为f(φ)=φ+αφ3,则式(9)可以改写为:

(10)

令外激励力F(t)=Acos(ωt),笔者采用runge-kutta四阶算法迭代求解上述微分方程。

此处以UR10中的CSG-2UH20减速器作为研究对象,其输入端转动惯量为Ji=5.12×10-5kg·m2,输出端转动惯量为Jo=19.3×10-2kg·m2,传动比为N=100,等效扭转刚度为K=2.5×104N·m/rad,输入力矩为Ti=7 N·m。将其代入上述微分方程,分别按照表3中的4组额定转速仿真得到误差的范围。

1.3 仿真结果与数值解对比

根据传动误差的定义[14，15]可知,实际角速度、理论角速度的差值与采样时间的乘积即为传动误差,则传动误差计算式如下:

(11)

式中:θer—误差角度;vθ1—输入角速度;vθ2—实际输出角速度;R—传动比;ti—采样时间间隔。

笔者在输出端添加旋转约束力为120 N,将时间设置为谐波减速器至少转过一周的时间,步数设置为300。

仿真结果经MATLAB对传动误差公式进行积分计算,得到4组传动误差曲线图如图2所示。

图2 不同转速下各仿真组的传动误差图

数值计算及仿真误差结果整理如表4所示。

表4 四组数值计算、仿真的误差范围及平均误差

观察上述4组仿真误差曲线图可知:

由于柔轮受力发生非线性弹性变形,导致其啮合过程中的运动误差呈一定的周期性,近似呈正余弦函数的变化趋势[16];

表4为仿真与数值计算求解得到的不同转速下的误差范围。当额定转速70%时,传动误差范围最小,数值解与仿真解相对误差为15%;当额定转速100%时,相对误差最大为55%。

笔者将数学模型与仿真得到的结果进行对比,结果表明误差范围基本保持一致。该结果验证了仿真模型的正确性,保证了后续机械臂定位误差分析的准确性。

2 基于ADAMS的机械臂仿真

2.1 仿真参数设定

笔者构建UR10机械臂三维模型,并按照表2中机械臂与关节材料特性进行定义,小臂替换为柔性体,得到其刚柔耦合模型,如图3所示(假定机械臂从图3中的位置a运动到位置b)。

图3 刚柔耦合机械臂起点位姿和终点位姿

笔者利用仿真得到谐波减速器的4组输出转速,并将得到的输出转速转化为样条曲线,以作为关节的驱动转速,样条曲线函数CUBSPL(time,0,spline_1,0)*1d[17];

关节1、2、3的额定转速分别为120°/s、120°/s、180°/s;笔者分别设置55%、70%、100%、120%额定转速下的仿真实验;仿真步数为400,末端负载为98 N,设定关节运动函数使得转过的关节角为(-2.617,-0.873,-0.698,0,0,0)rad;

运动过程分别经历了匀加速、匀速、匀减速3个阶段。其中,匀加速及匀减速过程经历的时间为0.1 s,对应的步长区间分别为0～20及20～90,不同转速下的匀速时间不同,对应的步长区间为20～70之间。

2.2 仿真及结果分析

接下来,笔者分别研究末端执行器的角速度误差、角加速度误差,关节力矩以及末端位移误差的情况,以此来说明传动误差对机械臂的定位误差及定位精度的影响情况。

笔者将步长作为自变量,角速度及角加速度误差作为因变量,通过仿真得到了末端执行器的角速度误差图,如图4所示。

图4 不同转速下末端执行器角速度误差图

不同转速下的角加速度误差图如图5所示。

图5 不同转速下角加速度误差图

不同转速下的速度及加速度误差值经过整理,得到了误差正向最大最小值表,如表5所示。

表5 机械臂末端角速度及角加速度误差正向最大最小值表

通过观察图4及表5可知:随着各个关节转速的增大,其末端执行器的角速度误差范围整体呈增大的趋势,且呈非线性振荡;

运动过程分为3段:(1)0～20步长和70～90步长之间,机械臂分别经历了0.1 s的匀加速及匀减速,故瞬时角速度误差变化明显;(2)120%额定转速时,瞬时角速度误差值最大为4.42°/s,且整个过程波动不规则;(3)55%额定转速时,角速度误差最大为1.86°/s。20～70步长之间保持匀速状态,误差值在0°/s附近正负交替均匀波动。

结合图4及表5可知:当转速小于额定转速的70%时,在匀速状态时,角速度的误差在-0.3°/s～0.4°/s之间稳定波动。再观察图5可知,随着转速的增大,角加速度误差曲线的波动更加明显。

综上所述,当转速为额定转速的70%时,其运动状况最优,其运动误差的范围最小。

当转速为额定转速的70%时,关节3与关节4的力矩如图6所示。

图6 转速为额定转速70%时的部分关节力矩

经整理后得到的关节3与关节4力矩的相对误差表,如表6所示。

表6 关节3与关节4力矩相对误差表

图6分别为关节3、4在带有传动误差及不带有传动误差情况下的力矩对比图,其整个作用时间可以分为3段:

在0～0.1 s以及0.32 s～0.42 s内,传动误差对机械臂的力矩输出影响很小;但在0.1 s～0.32 s内,带有误差的机械臂力矩波动很大,与无误差模型的相对误差为42.9%和216.98%。这是由于0 s～0.1 s及0.32 s～0.42 s内,关节3分别经历了匀加速以及匀减速;而在0.1 s～0.32 s内,关节3处于匀速阶段,机械臂启动与停止前的瞬间力矩值很大,故其相对误差较小;但在匀速阶段力矩值较小,所以误差明显。

末端执行器终点空间位置点分布如图7所示。

图7 末端执行器终点空间位置点分布图

机械臂末端位移偏折如图8所示。

图8 机械臂末端位移偏差折线图

末端执行器位移偏差如表7所示。

表7 末端执行器位移偏差表

传动误差对与机械臂的影响结果最终体现在定位误差上,图7为机械臂运动完成后末端执行器在空间上的位置分布。

在同一转速下,无误差的位置点与有误差的位置点之间存在明显偏差。由图8可知,驱动转速与机械臂末端的位移偏差呈非线性关系。观察表7可知,第2组仿真的末端位移偏差最小值为1.07 mm,第4组的位移偏差最大为2.93 mm,对应的关节转速分别为70%、120%。

综合角速度及角速度误差分析来看,当转速为额定转速的70%时,机械臂的运动最为平稳,定位误差最小。

3 结束语

由于工业机械臂运动过程中,谐波减速器的柔性效应会导致机械臂末端的定位精度下降。为了减小其传动误差,提高机械臂末端的定位精度,笔者以UR10机械臂为例,分别对谐波减速器和机械臂进行了理论建模及仿真研究,即结合ADAMS及ANSYS,对谐波减速器传动误差进行了仿真分析,并采用runge-kutta对传动误差动力学方程进行了迭代求解,对仿真结果进行了验证;分析了传动误差对机械臂末端运动误差及定位精度的影响。

研究结果表明:

(1)采用谐波减速器的数学模型对仿真模型的正确性进行了验证;在转速为额定转速的70%时,求得谐波减速器的传动误差范围最小为-8.0″～7.5″;

(2)对于末端执行器的角速度和角加速度误差而言,在转速为额定转速的70%时,机械臂末端的瞬时角速度误差高达2.4°/s,稳定后其误差范围在-0.3°/s～0.4°/s内;随着转速的增大,角速度和角加速的误差范围波动都明显增大,由此证明,小幅值传动误差对于机械臂的运动会产生极大的影响;

(3)当关节转速为额定转速的70%时,机械臂末端的位移偏差最小为1.07 mm,此时定位误差最小;随着关节转速的增大,机械臂末端位移偏差呈非线性增长。

笔者后续的研究方向是:同时考虑双杆柔性情况下,传动误差对机械臂末端定位精度的影响;对机械臂系统进行动力学分析,并计算考虑多种随机参数输入下,机械臂末端运动的可靠度等。