强基计划数学备考系列讲座(4)——考前复习策略

王慧兴(正高级教师)

(清华大学附属中学)

基于强基计划校考试题与自主招生试题表现,强基计划校考数学备考的每个要点从基础(高考层面)到提升,体现强基计划与高考命题坚持互补检测原则.这种互补性既表现在知识的深度与广度,又表现出数学处理问题技巧的灵活性要求与能力差异.强基计划校考数学试题通常精巧灵活,突出对学生数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数学分析这六方面数学核心素养的考查.

1 认清互补性,补齐短板

长期面向高考学习数学的学生,由于应试的局限性,通常知识面较窄,数学处理技能灵活性也较低,造成面向强基知识与技能形成缺陷的情况.学生应该按照高考与强基互补性补齐知识短板(如表1),再通过针对性训练逐步提升.

1.1 短板提要

高考与强基互补性知识短板如表1所示.

表1

1.2 要点解析

1)集合:以|S|表示有限集合S的元素个数,考点如表2所示.

表2

2)函数:高考应试决定了常态数学教学弱化映射主线的学习,掌握映射主线知识有助于深化理解函数内容,如站在互为反函数的高度就能够清晰地理解反三角函数与对数恒等式等抽象内容,考点如表3所示.

表3

3)导数:由于极限知识缺失,造成常态数学教学弱化导数定义教学,定积分更是难于理解,导致新教材删除定积分及其算法,但高校强基命题注重在这个边缘上立意试题,考点如表4所示.

表4

4)反三角函数,考点如表5所示.

表5

由于“组合与概率”“复数与多项式”“不等式与最值”已在本刊本年度1,2,3月(上半月刊)单独撰文,这里就不再赘述;另外,平面几何、初等数论、与常态数学教学联系较少,而且内容较多,难以在一篇文章中予以解析,这里也不再赘述.

2 典例精析

补齐知识短板,适当做题,以历练解题技能,这是十分必要的一方面;另一方面,要按照强基计划校考题型加强针对性训练,以增强训练适应性.

2.1 衔接高考热点,深化延伸

例1过点P任作椭圆E:＋y2＝1的两条弦AB,CD,如图1所示,再过端点A,B分别作椭圆E的切线交于点M,过端点C,D分别作椭圆E的切线交于点N,求出直线MN的方程.

图1

学习圆锥曲线,应把握“切点弦直线→极点与极线→配极原则→自极三角形”这条主线,极点、极线凝聚了点与直线的结合关系,能减少中间计算环节,是简化解析几何计算的一个视角.

2.2 突出高考弱化、长期不考的内容

本题以数列求和为载体,把反正切概念与运算性质、裂项方法、极限直觉体验融为一体,考查学生知识与技能的创新运用能力.

2.3 突出高考不考的内容

例3(中国科学技术大学)集合A＝{n！＋n|n∈N*},B＝∁N*A.

(1)求证:B中不存在一个无穷项等差数列;

(2)B中是否存在一个无穷项等比数列,说明理由.

(1)任取一个各项均为正整数的无穷项等差数列{an},记其公差为正整数d,目标是证明其中必有一项ai＝a1＋(i-1)d∈A,这等价于证明其首项a1与A中的(d＋i)！＋(d＋i)(i＝0,1,2,…,d-1)的某个数模d同余,否则,∀i＝0,1,2,…,d-1,都有

则其中必有两个数模d同余,设存在0≤i1＜i2＜d,满足

但0≤i1＜i2＜d,所以必有i1＝i2,矛盾.

记a1≡(d＋i0)！＋(d＋i0)(modd)(i0∈N,i0＜d),则存在j,l∈N,使得a1≡(d＋i0＋j)！＋(d＋i0＋j)-ld,故

故任一无穷项正整数等差数列的各项不可能都在集合B中.

(2)我们来分析各项仅有质因子2,3的无穷项等比数列{3×2n-1},下证此数列的各项都不在集合A中.

用反证法,假设存在3×2n-1∈A,则存在k∈N*,使得

因为1！＋1＝2,2！＋2＝4,3！＋3＝9,6！＋6＝3×2×112,所以k≠1,2,3,6.

情形一,若k＝2i-1(3≤i≤n),代入①,得

两边模3得0＝1,矛盾.

情形二,若k＝3×2i-1(3≤i≤n),代入①,得

两边模2得0＝1,矛盾.

综上,①不成立,故数列{3×2n-1}各项都在集合B中.

本题以数列为载体,把整除和同余,融入集合概念,考查整数分析基本技能.

2.4 适度历练过往竞赛试题,以开阔视野,拓展思维,增强灵活性

例4(北京大学)不定方程x3＋y4＝z5的正整数解(x,y,z)个数是_________.

构造特殊解(x,y,z)＝(24a,23a,2b)(a,b∈N*),代入原方程得

这等价于12a＋1＝5b,即12a-5b＋1＝0.

模5得2a≡-1(mod5),a≡2(mod5),即

代回12a-5b＋1＝0,得

故(x,y,z)＝(220k＋8,215k＋6,212k＋5)(k∈N)都是方程的解,因此该方程有无穷多解.

一方面,有恒等式2n＋2n＝2n＋1(n∈N*);

故(x,y,z)＝(220k＋8,215k＋6,212k＋5)(k∈N)是方程的无穷多个正整数解.

本题缘于2014年中国东南数学奥林匹克试题,检测数论结构能力,详见实战演练9.

例5(加拿大数学奥林匹克)将个不同的数随机排成如图2所示的三角阵,其中第k行(自上而下)的最大数记作Mk,求事件A＝“M1＜M2＜… ＜Mn”的 概率P(A).

图2

因为所求概率与n有关,记P(A)＝Pn,则P1＝1.

2.5 重视历练强基过往试题,以增强针对性、提升适应性

例6(复旦大学)任给n∈N*且n≥2,求证:

证明放缩至裂项求和.

因为对一切i≥2,都有

所以

本题本质基于定积分立意,考虑函数f(x)＝,由定积分定义,建立不等式

例7(清华大学)在R 上定义的可导非常值函数f(x)和g(x)满足:f′(0)＝0,并且∀x,y∈R,都有f(x＋y)＝f(x)f(y)-g(x)g(y),g(x＋y)＝f(x)g(y)＋g(x)f(y).求证:f2(x)＋g2(x)＝1.

由已知条件得

若存在某个x0∈R,使得f2(x0)＋g2(x0)＝0,则∀y∈R,都有

所以∀x∈R,都有f2(x)＋g2(x)＝0,即f(x)＝g(x)＝0(∀x∈R),这与已知条件矛盾,故∀x∈R,都有f2(x)＋g2(x)＞0.

对式①两边取对数得

换元:令F(x)＝ln(f2(x)＋g2(x))(x∈R),得

按题意f(x)可导,从而F(x)可导,必连续,所以,由柯西方程可得F(x)＝ax,即

两边求导,并取x＝0,得

再由已知f′(0)＝0,得a＝2g(0)g′(0).

下面求g(0)与g′(0)的值.

在已知等式中取x＝y＝0,得f(0)＝f2(0)-g2(0)以及g(0)＝2f(0)g(0).

若g(0)≠0,则f(0)＝从而

综上,有a＝2g(0)g′(0)＝0,即

例8(北京大学)已知O为△ABC的外心,AB,AC与△OBC的外接圆分别交于点D,E,并且DE＝OA,则∠OBC＝_________.

如图3所示,连接BE,由题意得DE＝OA＝OC,所以∠DBE＝∠OBC,从而∠OBA＝∠CBE.因为∠AOB＋2∠OBA＝180°以及∠AOB＝2∠BCE,所以2∠CBE＋2∠BCE＝180°,即

图3

故∠BEC＝90°,BC的中点为F,则BC是⊙F的直径,故∠BOC＝90°,从而∠OBC＝45°.

2.6 关注大学先修课程基础内容

有些高校已经把大学先修课程中比较基础的内容提前引入强基校考,譬如复旦大学的强基校考试题常考行列式的计算、矩阵基础知识以及应用矩阵方法求解线性方程组.

例9求k的取值,分别使得下面方程组有无穷多个解、唯一解或无解,有解时求出所有解.

对增广矩阵进行初等变换

当k＝1时,原方程组同解于x1＋x2＋x3＝1,有无穷多个解(x1,x2,x3)＝(0,b,1-b)(b∈R).

当k≠1,0,-1时,增广矩阵可转化为

所以原方程组有唯一解

当k＝-1时,对方程组增广矩阵继续变换得

所以方程组有无穷多个解(x1,x2,x3)＝(-a,1,a)(a∈R).

综上,原方程的解如下.

当k＝1时,方程组有无穷多个解

当k≠1,0,-1时,方程组有唯一解

当k＝0时,方程组无解.

当k＝-1时,方程组有无穷多个解

3 实战演练

1.(清华大学)定义在(-1,1)上的函数f(x)满足两个条件:

①f(x)＞0,∀x∈(-1,0);

②f(x)＋f(y)＝,x,y∈(-1,1).则f(x)为( ).

A.奇函数 B.偶函数

C.减函数 D.有界函数

2.曲线f(x)＝的离心率为________.

3.从⊙O:x2＋y2＝4 上一点作椭圆E:y2＝1的切点弦,求切点弦围成的面积.

4.(中国科学技术大学)已知

A.0 B.1

C.无穷多 D.前三个选项都不对

6.(香港中文大学)求值:

7.(中国科学技术大学)求函数f:R➝R,使得

8.(中国科学技术大学)定义函数列

(1)证明:fn(x)是n次整系数多项式;

(2)求方程fn(x)＝0的所有根.

9.(中国东南数学奥林匹克)求证:方程a2＋b3＝c4有无穷多个正整数解(ai,bi,ci)(i∈N*),使得对每个整数n均有cn,cn＋1互素.

(完)