多元Fuzzy连续函数Korovkin逼近定理

陈英伟，常之魁，王志军

(河北经贸大学 数学与统计学学院，河北 石家庄 050061)

1 基础概念

函数空间的正线性算子逼近中，Korovkin逼近定理通过验证几个测试函数的逼近就可决定该函数空间中所有函数的逼近性，故Korovkin定理处理连续函数逼近问题上显得更为简洁和方便. 不同的连续函数空间中具有不同测试函数的算子逼近及应用，例如一些著名的逼近算子如Bernstein算子、 Baskakov算子、卷积算子(例如 Gauss-Weierstrass 算子)等.此外， 也可通过引入连续模来研究逼近算子的逼近阶及相关逼近性质.

实际研究中经常会遇到不完整和不精确的数据，常利用不确定性理论，如概率论、模糊集理论来研究.其中，模糊集理论作为集合论的直接推广由Zadeh[1]引入，鉴于其已成功应用于很多科学领域,如经济金融、天气预报、电子信息、生物技术等领域,有必要将很多经典集合理论推广到模糊集领域，其中模糊值 Korovkin定理给出了通过模糊连续模来刻画模糊单变量连续函数的多项式逼近及其逼近阶[2-6].近来模糊型卷积型算子也常被研究[7-9].

本文中将考虑Rn中以2π为周期的多变量模糊值连续函数的三角 Korovkin 逼近定理，借助于连续模获得多项式逼近阶.由多元模糊值函数的 Fourier 级数引入多元模糊型Fejér算子，并对 Korovkin逼近定理加以验证.

下面给出一些概念和符号.

并定义距离

定义2模糊型多元连续函数f连续模定义为

对δ>0,

(1)

其中,x=(x1,x2,…,xn),y=(y1,y2，…,yn).

2 引理

引理1令f为定义在Rn上2π周期的模糊值连续函数.则对任一δ∈[0,π]，有

(2)

1)∃m∈Zn，x,y∈I(m1,m2,…,mn);2)∃m∈Zn，满足对某一个下标不妨为i，使得x∈I(m1,m2,…,mi,…，mn),y∈I(m1,m2,…,mi+1,…，mn)或x∈I(m1,m2,…,mi+1,…，mn),y∈I(m1,m2,…,mi,…，mn);3) ∃m∈Zn，满足对2个或2个以上的下标，不妨为i,j，有x∈I(m1,m2,…,mi,…，mj,…,mn),y∈I(m1,m2,…,mi+1,…，mj+1,…，mn)，或x∈I(m1,m2,…,mi+1,…，mj+1,…，mn),y∈I(m1,m2,…,mi,…,mj,…，mn).

只需证明2)、3)的前一种情况，因为x,y地位相同，通过交换x,y可得后一种.

令x′=x-(2m1π,2m2π,…,2mnπ),y′=y-(2m1π,2m2π,…,2mnπ)，易得d(x′,y′)=d(x,y)≤δ.

情况1x,y∈Im,x′,y′∈I0=[0,2π]×…×[0,2π]，由f的周期性，知

情况2x∈I(m1,m2,…,mi,…，mn),y∈I(m1,m2,…,mi+1,…，mn)，则x∈I0=[0,2π]×…×[0,2π],y∈Ii=[0,2π]×…×[2π,4π]×…×[0,2π].令l为连接x,y的线段，由f的周期性，取点l′=l∩I0∩Ii，有

情况3 2个或2个以上的类似于情况2同理可得.

引理得证.

证明:令x=(x1,x2，…,xn)∈[-π,π]n.只需以下分情况讨论.

若对i=1,2,…，n,|yi-xi|≤δ,其中δ足够接近零， 则

情况2 若存在某1个i,有|yi-xi|>π,而其他j(j≠i)|yj-xj|≤π.

令k为整数满足|yi+2kπ-xi|≤π，则

情况3 对2个以上的|yi-xi|>π，参考情况2,类似可证.

引理得证.

3 模糊型Korovkin定理

对任x∉[0,2π]n，则存在y∈[0,2π]n使得(y1,y2,…,yn)=(x1+2m1π,x2+2m2π,…,xn+2mnπ),m1,m2,…，mn∈Z{0}.故

D(f(x),0)=D(f(y),0)≤M,∀y∈Rn[0,2π]n.

由上可知f为Fuzzy值有界.

令m→∞表示对所有的i(i=1,2,…，n)，均有mi→+∞.下面给出Fuzzy型连续函数空间上的Korovkin逼近定理.

(3)

进一步，对

f0(x1,x2,…,xn)=1,f1(x1,x2,…,xn)=sinx1,f2(x1,x2,…，xn)=sinx2,…,fn(x1,x2,…,xn)=sinxn,fn+1(x1,x2，…,xn)=cosx1,fn+2(x1,x2,…,xn)=cosx2,…,f2n(x1,x2,…,xn)=cosxn,若有

(4)

由f的连续性，则对任意给定的ε>0，存在δ>0，满足当d(x,y)≤δ，有

故

对式(3)两边同时取supα∈[0,1]max，则

由式(4)，则意味着

定理得证.

最后给出Fuzzy连续函数Korovkin逼近收敛阶的结论.

.

最后再对x=(x1,x2,…,xn)取上确界，有

由条件i)、ii)，可得

定理得证.

下面通过模糊型多元算子对Korovkin逼近定理加以验证.

模糊型多元Fejér算子可定义如下:

其中Fejér核[10-11]为

则定义正线性算子