非交换拟洗牌Hopf代数的对极①

许达，喻厚义

西南大学 数学与统计学院， 重庆 400715

在由一个非空集合生成的自由结合代数上， 可以定义不同的代数结构， 拟洗牌代数是其中最重要的一个． 拟洗牌乘积最早出现在文献[1]关于罗巴代数的工作中， 而由文献[2]在研究多重zeta函数值时正式引入并深入研究， 目前在代数、数论和组合数学中均有广泛应用[3-4]． 为了研究多重zeta函数值的一般表达形式， 文献[5]给出了两类交换的拟洗牌代数， 利用形式幂级数构造了一类性质良好的Hoffman-Ihara算子， 并借其建立了洗牌代数和交换拟洗牌代数之间的同构关系． 在此基础上， 文献[6]利用形式幂级数构造了多变元的Hoffman-Ihara算子， 并发展了相应的operad理论． 为了研究符号置换上的代数组合性质， 文献[7]构造了带权重的非交换拟洗牌代数， 证明了它具有Hopf代数结构， 并建立了它与经典代数对象[8-9]的联系， 但是并没有给出具体的对极公式． 本文将给出这一Hopf代数的两种对极公式， 一种是利用数学归纳法给出的显性表达， 另一种是利用Hoffman-Ihara算子给出的线性算子形式．

1 预备知识

设A是一个非空集合， 称为字母表， 其中的元素叫做字母． 由字母表A上的有限个字母形成的一个序列称为词， 用ε表示空序列， 称为空词． 设w=a1a2…an是一个词， 称n为w的长度， 记作(w)， 空词的长度定义为0． 词an…a2a1称为w的倒置， 记作wr． 令A*为字母表A上所有词的集合，K是一个特征为0的域，K〈A〉为K上由A生成的自由结合代数． 则K〈A〉的基础集就是以A*为基底的线性空间KA*， 其中乘法就是词的串联， 即

(a1a2…am)(b1b2…bn)=a1a2…amb1b2…bn

下面在K〈A〉上定义一种新的乘积．

定义1设A是一个字母表，K是一个特征为0的域， ∘是KA上一个满足结合律的乘积，λ∈K． 若K〈A〉上的一个二元运算*λ满足：

(a) 1K*λε=ε*λ1K=ε；

(b) 对任意a，b∈A和任意u，v∈A*， 都有

au*λbv=a(u*λbv)+b(au*λv)+λ(a∘b)(u*λv)

则称*λ是关于∘的权为λ的拟洗牌乘积．

由文献[7]中的定理2.1可知*λ满足结合律， 从而(K〈A〉， *λ)是一个结合K-代数． 我们称(K〈A〉， *λ)是权重为λ的拟洗牌代数． 当λ=0， 或∘是零乘积时， *λ就是K〈A〉上通常的洗牌乘积ш． 当∘交换时， *1和*-1分别特殊化为文献[5， 10]中的拟洗牌乘积* 和＊．

(1)

定理1[7]设A是一个字母表，K是一个特征为0的域． 则对任意λ∈K， (K〈A〉， *λ，μ，Δ，ε)是一个Hopf代数． 当λ≠0时， 乘积*λ是可交换的当且仅当乘积∘是可交换的．

下面将交换拟洗牌代数上的Hoffman-Ihara算子[5]推广到带权的非交换拟洗牌代数上． 令n是一个正整数，I=(i1，i2， …，ik)是一个由有限个正整数组成的序列． 若i1+i2+…+ik=n， 则称I为n的一个合成，(I)=k为I的长度．n的所有合成构成的集合记作C(n)． 设w=a1a2…an是一个词，I=(i1，i2， …，ik)是n的一个合成， 记

I[w]=(a1∘…∘ai1)(ai1+1∘…∘ai1+i2)…(ai1+…+ik-1+1∘…∘an)

定义2设K是一个特征为0的域，λ是K中的非零元， 令

则称Ψf，λ是K〈A〉上权重为λ的Hoffman-Ihara算子．

权等于1的Hoffman-Ihara算子在数论中有非常重要的应用[5]．

2 对极公式

定理2设A是一个字母表，K是一个特征为0的域，λ∈K，S是Hopf代数(K〈A〉， *λ，μ，Δ，ε)的对极． 则对任意词w=a1a2…an， 有

(2)

证因为任何Hopf代数(H，mH，μH，ΔH，εH)的对极SH， 都满足条件

mH(IH⊗SH)ΔH=εH1H

所以由(1)式可得， 对任意词w=a1a2…an， 都有

(3)

下面对w的长度n进行归纳， 证明等式(2)成立． 若n=1， 则由(3)式知S(w)=-a1， 故(2)式成立． 假设对小于n的情形， 结论成立． 对于n>1， 根据等式(3)和归纳假设可知

根据定义1，S(w)是一些词的线性组合， 其中每一个加法因子的第一个字母都是以下3种情形之一：

ak-il+1∘…∘akak-il+1∘…∘ak∘ak+1ak+1

为了简单起见， 称第一种情形中的项是k-型的， 后两种情形中的项是k+1-型的． 因为根据拟洗牌乘积的定义， 对任意a，b∈A和任意u，v∈A*， 都有表达式

au*λbv=a(u*λbv)+b(au*λv)+λ(a∘b)(u*λv)

所以对于出现在S(w)的展开式中的每一个词， 若它是j-型的， 且j≤n-1， 那么它将同时出现在k=j和k=j-1中． 但是这两个词的系数之和恰好为0， 会相互抵消． 因此唯一不会抵消的一类词是n-型的词， 它们只出现在第n-1项中， 而且没有被抵消的词均形如

(an-il+1∘…∘an)…(a1∘…∘ai1)

并带有系数

(-1)nλn-(I)=(-1)λ

其中I=(i1， …，il)是(w)的一个合成． 这就证明了等式(2)成立．

例如， 关于Hopf代数K〈A〉的对极S， 有S(a1)=-a1，S(a1a2)=a2a1+λa1∘a2和

S(a1a2a3)=-a3a2a1-λ(a2∘a3)a1-λa3(a1∘a2)-λ2(a1∘a2∘a3)

引理1设K是一个特征为0的域，λ∈K{0}． 则对任意词w， 都有

证由于

所以根据定义2， 对任意词w， 都有

证对于A上的任意词w=a1a2…an， 以及n的一个合成I=(i1，i2， …，ik)， 有

(an-ik+1∘…∘an)…(a1∘…∘ai1)=R(I[w])

所以， 由定理2知

因为R是线性映射， 故由引理1得

注1对于非交换的拟洗牌代数，R与Ψf，λ关于映射合成一般是不可交换的． 例如， 令A={a1，a2，a3}， 并且令乘积∘由x∘y=x(对任意x，y∈A)所定义． 则

而

定义1中的条件(b)对非交换拟洗牌乘积的定义是从前向后归纳给出的． 事实上， 容易证明也可以从后向前归纳定义， 即对所有字母c，d∈A和词u，v∈A*， 都有

uc*λvd=(u*λvd)c+(uc*λv)d+λ(u*λv)(c∘d)

(4)

命题1对所有λ∈K， 映射R是(K〈A〉， *λ)的一个代数自同构．

证因为R是双射， 故只需证明对任意词u1，u2，R(u1*λu2)=R(u1)*λR(u2)． 若u1，u2中有一个是空词ε， 则结论显然成立． 若u1，u2均不是空词ε， 则可设u1=aw，u2=bv， 其中a，b∈A，w，v∈A*．

一方面， 根据(4)式可得

R(u1)*λR(u2)=wra*λvrb=(wr*λvrb)a+(wra*λvr)b+λ(wr*λvr)a∘b

另一方面， 对u1，u2的长度之和(u1)+(u2) 进行数学归纳， 并由R是线性映射可知

所以R(u1*λu2)=R(u1)*λR(u2)， 这就证明了R是一个同构映射．