文/陈新合
特殊四边形是中考中重要的知识点,综合性比较强,常与直角三角形、等腰三角形和勾股定理等知识搭配。最值问题是中考的常考题型,以特殊四边形为背景的最值问题是近两年中考考查的热点。下面,老师结合中考题,总结归纳一些求最值的题型,供同学们学习时参考。
例1(2021·四川眉山)如图1,在菱形ABCD中,AB=AC=10,对角线AC、BD相交于点O,点M在线段AC上,且AM=3,点P为线段BD上的一个动点,则MP+PB的最小值是______。
图1
解:如图2,过点P作PE⊥BC于点E。
图2
∵四边形ABCD是菱形,AB=AC=10,
∴AB=BC=AC=10,∠ABD=∠CBD,
例2(2021·四川内江)如图3,在矩形ABCD中,AB=1,BC=2,点A在x轴正半轴上,点D在y轴正半轴上。当点A在x轴上运动时,点D也随之在y轴上运动,在这个运动过程中,点C到原点O的最大距离为 。
图3
解:如图4,取AD的中点H,连接CH,OH。
图4
∵在矩形ABCD中,AB=1,BC=2,
∴CD=AB=1,AD=BC=2。
∵点H是AD的中点,
∴AH=DH=1,
∵∠AOD=90°,点H是AD的中点,
在△OCH中,CO<OH+CH,当点H在OC上时,CO=OH+CH,
∴CO的最大值为OH+CH=+1。
例3(2021·山东威海)如图5,在正方形ABCD中,AB=2,E为边AB上一点,F为边BC上一点。连接DE和AF交于点G,连接BG。若AE=BF,则BG的最小值为 。
图5
解:如图6,取AD的中点T,连接BT、GT。
图6
∵四边形ABCD是正方形,
∴AD=AB=2,∠DAE=∠ABF=90°,
在△DAE和△ABF中,