基于平衡态公理的一类最短路径问题探究

邓清

摘  要：平衡态公理，又称最小势能原理，是物理弹性力学中的一个基本原理. 该原理指出，在一个独立体系中，如果该体系处于势能最低状态，则必然处于平衡状态. 研究旨在从物理学的视角出发，以平衡态公理为物理模型，重新思考和探究几何中一类最短路径问题，以使该类最短路径问题的结论更加明晰且自然.

关键词：平衡态公理;最短路径;物理视角

一、问题提出

数学是一门工具性较强的学科，它是物理、化学、计算机等学科的基础. 我们常常看到把数学思想嫁接到其他学科后结出丰硕的果实. 但反过来呢？其实，有些数学问题单纯用数学理论方法不容易解答，但由于物理学与生活实际更加贴近，若能借鉴物理学中的一些思想方法，可以使我们接受起来更加容易且自然，有时甚至能简化推理过程.

平衡态公理，又称最小势能原理，是物理弹性力学中的一个重要原理. 该原理指出，一个独立体系最终总是趋于一个能量尽可能低的稳定状态. 在一个独立体系中，如果该体系处于能量最低状态，则必然处于稳定平衡状态;若体系处于稳定平衡状态，则是能量最低状态.

如图1，一个小球在曲面上运动，当小球静止于最低点A时，小球的势能最小，就会处于稳定平衡状态.

根据这一原理，可以得到这样的结论：当一个质点受到几个始终分别指向某个定点的力时，若物体处于稳定平衡状态——质点所受合力為0，则该体系处于势能最小状态. 进一步可以推出这样的结论：质点处于稳定平衡状态时，该质点到几个定点的单程距离或多程距离之和最小.

下面的研究先对该定理进行证明，然后运用定理来探究数学中的一类最短路径问题，并从几何角度进行验证，以增强研究的严密性.

五、结束语

研究中以平衡态公理为物理模型，推导出系统处于平衡状态时，质点到各定点单程或多程距离之和最短的结论. 并以该结论为指引，探究一类几何最短路径问题的动点位置，再用数学方法进行证明. 由探究历程不难看出，从物理情境出发，借助“平衡态公理——最短路径问题”的模型思想，比从数学本身入手更容易确定动点的位置，更能促进学生发现问题和解决问题.

让学生在数学学习中经历“数学化”的过程，是弗赖登塔尔教育思想的灵魂. 数学是现实与观念、经验与理性、直觉与逻辑的统一体. 从某个角度而言，数学是一门工具性较强的学科，然而，数学知识的学习和数学思想的积累却又来源于情境，情境包括了生活情境和科学情境. 我们在教学过程或学习过程中，应注重发掘有利于思考和发现数学问题的各种情境素材，特别是与数学关联较大的物理问题情境，以便帮助学生发现和分析数学问题，培养他们的数学化能力，发展数学学科核心素养.

参考文献：

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[2]颜小兵.“饮马问题”的拓展与妙用[J]. 数学通报，2010，49（1）：38-39，42.

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[4]于川. 让学生经历“数学化”的数学教学策