具有变系数的时间分布阶扩散方程的高效新混合有限元逼近

王芬玲，赵艳敏，史艳华，曹方方,2

(1.许昌学院 数理学院,河南 许昌 461000;2.郑州大学 数学与统计学院,河南 郑州 450001)

近年来,对于分布阶偏微分方程的研究引起了越来越多专家学者的关注，它已经被广泛应用于复合材料的流变特性、信号控制和处理、高分子聚合物、核磁共振以及生物医学等领域.由于该模型的精确解不易求得，因而求它的数值解是有效的方法.例如，[1]给出了空间分布阶的扩散方程有限体积法；[2]提出了一类时空有限元方法去解决相关的问题；[3]针对具有光滑和非光滑初始条件的时间分布阶扩散方程，建立了有限元全离散格式并进行了误差分析；[4]给出了具有非线性源项时间分布阶的反应扩散方程的数值算法；[5]针对时间多项分数和空间分布阶波动方程在非结构化网格下得到最优误差估计.但以上的研究成果仅限于分布阶偏微分方程收敛性分析方面的讨论.

讨论一类含变系数的二维时间分布阶扩散方程高效混合有限元逼近问题.首先，借助Gauss积分对分布阶算子进行近似，将原问题转化为一个多项时间分数阶偏微分方程.进而，空间方向原始变量和中间变量利用双线性元Q11(K)和Q01(K)×Q10(K)元逼近，时间方向用修正的L1公式构造了全离散格式.然后利用数学归纳法证明了在H1模意义下该格式的稳定性，基于双线性元和Q01(K)×Q10(K)元的高精度结果和分数阶估计技巧导出了超逼近结果.最后，利用插值后处理技巧得到了相关变量的超收敛性质.

考虑一类具有变系数的二维时间分布阶扩散方程为

(1)

1 有限元构造和变分形式

Qij=span{xrys,0≤r≤i,0≤s≤j}.

插值算子Ih,Πh和投影算子Rh的定义为

(2)

(3)

引理1[6].假设u∈H3(Ω)，则有(∇(u-Ihu),∇vh)=O(h2)|u|3|vh|1,∀vh∈Vh.

2 逼近格式

由Gauss积分，则时间分布阶导数的逼近格式为

对时间区间[0,T]进行划分，步长τ=T/N,且tn=nτ,(n=0,1,…,N)，u(X,t)是[0,T]上的光滑函数，引入下面几个记号为

(4)

3 稳定性分析

(5)

(6)

(7)

将式(6)和(7)代入式(5)中，且运用Cauchy-Schwartz不等式，则式(5)可表示为

(8)

由式(8)，且利用Cauchy-Schwartz不等式和Young’s不等式，可得

(9)

(10)

(11)

利用数学归纳法来证明下面的不等式

(12)

(13)

则式(12)成立.

(14)

从而式(14)可变形为

(15)

(16)

即式(12)在n=r+1也成立，在此利用模的等价性定理1的第一个结论得证.

(17)

4 超逼近和超收敛分析

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

由引理4可得

(23)

由式(18)-(23)，则有

(24)

(25)

利用数学归纳法证明下面的不等式成立.

(26)

(27)

‖ηn‖1=‖Rhun-Un‖1≤C4(h2+τ2-αL+L-L-1).

(28)

根据引理2和式(28)得

‖Ihun-Un‖1≤‖Ihun-Rhun‖1+‖ηn‖1≤C5(h2+τ2-αL+L-L-1).

(29)

(30)

由引理2和引理3，且利用Cauchy-Schwartz不等式和Young’s不等式，可得

(31)

(32)

(33)

定理3 在定理2的条件下有如下超收敛结果

证明由引理6可知，‖un-I2hUn‖1≤‖un-I2hIhun‖1+‖I2hIhun-I2hUn‖1≤C(h2+τ2-αL+L-L-1).