点击余弦定理、正弦定理的应用问题

■欧修祝

余弦定理、正弦定理是三角函数中的两个重要定理,是解三角形的重要依据。余弦定理、正弦定理揭示了三角形中的边角关系,它们在解三角形中有着广泛的应用。

一、余弦定理的应用

已知三角形的三边关系或比例关系解三角形:根据边的关系直接代入化简或利用比例性质,转化为已知三边求解。判断三角形的形状,应围绕三角形的边角关系进行思考,可用余弦定理将已知条件转化为边与边的关系,通过因式分解或配方得出边的相应关系,从而判断三角形的形状。

二、正弦定理的应用

已知两边和其中一边的对角解三角形:先由正弦定理求出另一边所对角的正弦值,当已知角为大边所对的角时,由三角形中“大边对大角,大角对大边”的法则,能判断另一边所对的角是锐角,由正弦定理可求得锐角;当已知角为小边所对的角时,不能判断另一边所对的角为锐角,这时由正弦值可求得两个角,要分类讨论。判断三角形的形状,可用正弦定理、余弦定理将已知条件转化为边与边的相应关系,从而判断三角形的形状。

例2 在△ABC中,若sinA=2sinB·cosC,且sin2A=sin2B+sin2C,试判断△ABC的形状。

(利用角的互补关系)由sin2A=sin2B+sin2C,可得a2=b2+c2,所以A是直角,即A=90°。由A=180°-(B+C),sinA=2sinBcosC,可得sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=2sinBcosC,所以sin(B-C)=0。由-90°＜B-C＜90°,可得B-C=0,即B=C。故△ABC是等腰直角三角形。

三、余弦定理、正弦定理的综合应用

对于这类问题,要明确题中所给角与边的含义,认真分析已知条件与所求问题,也可以画出示意图帮助求解。

例3 在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若2asinA= (2b+c)sinB+(2c+b)sinC,且sinB+sinC=1,试判断△ABC的形状。