基于内模控制的分数阶PID算法的稳瞄控制器

张雅琼, 郭建都, 徐 阳, 孙 瑜

(中国北方车辆研究所，北京 100072)

稳瞄系统作为火控系统中的重要组成部分，是各类车载、机载等动态武器平台实现精确打击的关键前提和基础.实际工程中稳瞄系统一般使用设计简单且计算量小的传统PID控制器，但在参数变化、扭矩波动和不确定的负载的扰动下传统PID很难满足控制精度和抗干扰性的要求.

近年来随着对分数阶微积分理论的研究不断趋于成熟，分数阶PID(Fractional Order，简称FOPID)已被广泛地应用于各个领域PIλDμ[1-3].其普遍研究的格式是Podlubny教授提出的[4]，其中可以是任意实数，传统PID就是λ=1和μ=1的特殊情况.文献[5]-[7]中表明分数阶控制器具有提高处理参数不确定性问题的能力以及良好的抗干扰性，可最大程度减少稳态误差.虽然较传统PID，分数阶PID的5个参数提高了控制的灵活性，但其复杂冗长设计问题，为控制器的实现带来了困难.因此需要一个数学上计算简单，且能够提供较好性能的分数阶PID控制器设计方法.

内模控制(Internal Model Control，简称IMC)是基于数学模型的控制策略，由于其设计简单，优秀的控制特性，所以近年来关于内模控制的研究越来越多.文献[8]中将内模控制思想融入到PID控制器的设计中，所设计的控制器具有更好的调节品质以及良好的鲁棒性和抗干扰性，并且在PLC、智能仪表、总线控制系统中容易实现，有很高的工程应用价值.文献[9]提出一种基于内模控制的分数阶PID，设计简单仅有两个整定参数且控制效果优越.但该法仅适用二阶系统，并不适用于装甲车辆武器控制系统的稳瞄系统，因此通过吸取前人的优秀成果，文献[10]提出一种适用于稳瞄系统的分数阶PID控制器的设计方法.该方法将内模控制和分数阶控制的优点结合起来，不同于传统分数阶PID的5个待整定参数，本研究的分数阶PID控制器仅含有3个未知参数，最后这些参数可通过CRONE控制方法整定.该方法简化了分数阶PID复杂的整定问题.在Matlab平台下的仿真实验，与整数阶PID控制器和分数阶PID控制器的进行仿真对比，证明本研究的分数阶PID控制器在动态性能、抗干扰性及鲁棒性方面具有更好的控制效果.

1 稳瞄系统的组成与数学模型

稳瞄系统的主要功能是保证稳定瞄准线不受运动载体影响，使瞄准线精确地对准目标中央[11].实际工程中稳瞄系统一般由水平和垂直两个稳定系统有机地构成，由于稳瞄系统中水平向与垂直向稳定系统交叉耦合很小，且二者的工作原理及架构相同，因此本研究仅针对水平向稳瞄系统展开.稳瞄系统控制框图如图1所示，系统主要由陀螺、控制器、功率放大器、直流电机和负载组成.陀螺是稳瞄系统中的核心部件，当运动载体或基座相对于惯性空间有转动时，即有干扰力矩Mf输入时，陀螺Ge(s)会输出相应的角速度(角位移)信号E，这个信号经控制器C(s)和PWM功率放大后送到平台的稳定电机D(s)，稳定电机产生相应力矩驱动平台朝着相对基座转动相反方向转动，直至陀螺信号为零.当回路瞄准目标时，即有输入信号R时，陀螺相对惯性空间也会产生一个角速度(角位移)信号E，同样，此信号也得经过上述环节以使瞄准线精确跟随瞄准信号.

图1 稳瞄系统框图

本系统采用稳定性较好的光纤陀螺，陀螺的传递函数为

(1)

式中:Ke为陀螺的放大倍数，Bω为陀螺的闭环带宽，Td为陀螺输出延迟时间常数.

功率放大器的任务是将控制信号进行放大，使其有足够大的功率供给电机用以产生所需的力矩，在控制系统中可以简化为一个比例环节Kpwm.

直流力矩电机模型结构如图2所示，Ua、θ、Ea、Mf、ω分别为电机的输入电压、输出角度、反电动势、干扰力矩和电机转速，La和Ra为电机总电感和总电阻，Cm和Ce为力矩系数和电机反电势系数，J为电机输出轴总转动惯量.

图2 直流电机简化模型

机械时间常数Tm和电气时间常数Te是直流电机的两个关键常数，工程上计算方法如式(2)、式(3)所示.

(2)

(3)

化简图2的电机框图并代入Tm、Te,求得直流电机的输出力矩/控制电压的传递函数为

(4)

某特种车辆的水平向稳瞄系统的各项参数如表1所示.

表1 稳瞄系统参数值

将表1的各项参数代入式(1)～式(4)中，根据图1所示系统框图建立稳瞄系统的数学模型如图3所示，R为稳瞄系统输入信号，Y为电机带动负载转过角度，Mf为回路干扰力矩.

由图3可知，陀螺的传递函数为

图3 稳瞄系统的数学模型

(5)

被控对象P(s)的传递函数为

(6)

2 控制器设计的理论背景

2.1 分数阶PID

在控制系统中，积分器的数量越多，虽然跟踪效果越好，但闭环系统的稳定性越差；相反如果微分器的数量越多，虽然闭环系统的稳定性裕度越大，但是会削弱噪声抑制能力[12].因此，PIλDμ可以作为一些整数阶PID(即PI2D,PID2,PI2D2)之间的折衷控制器.换句话说，分数阶PID可以在精度和稳定性之间做更好的权衡.分数阶PID控制器的传递函数为

(7)

2.2 内模控制

内模控制是把外部作用信号的动力学模型植入控制器来构成高精度反馈控制系统的一种设计原理.利用该方法设计的控制器具有好的抗干扰性和鲁棒性.本研究通过内模控制思想来搭建分数阶PID控制器，以简化PIλDμ控制器繁琐的参数整定问题.

内模控制的基本结构如图4所示，其中P(s)为实际被控过程对象，M(s)为被控过程的数学模型，Q(s)为内模控制器，R(s)为输入变量，Y(s)为输出变量，D(s)为扰动输入变量.Q(s)和M(s)组合在一起形成的内模控制器CIMC(s)，等效反馈控制结构如图5所示.

图4 内模控制控制策略

图5 内模控制等效反馈控制结构

(8)

其中，

M(s)=M-(s)M+(s)，

(9)

(10)

2.3 整定规则

CRONE(Commande Robuste d’Ordre Non Entier)控制法[15]是一种可以对分数阶系统进行设计的频域方法.根据理想Bode传递函数以及鲁棒性设计系统时域以及频域指标，例如：系统带宽、相位裕度等等[14].

对于任何控制器，参数的整定都是一个难题.本研究采用CRONE控制法[15]进行参数整定.实际中的系统，假设给定截止频率ωc和相位裕度φm，以及环路增益鲁棒性要求，可通过以下3个约束方程[8]对控制器进行参数整定.L(jω)为系统开环频率特性；C(jω)为控制器频率特性；P(jω)为系统被控对象频率特性.

1)截止频率约束

|L(jωc)|dB=|C(jωc)P(jωc)|dB=0.

(11)

2)相位裕度约束

Arg[L(jωc)]=Arg[C(jωc)P(jωc)]=-π+φm.

(12)

3)环路增益鲁棒性要求Bode图相位曲线在截止频率ωc附近是平滑的，即相位对频率的导数在ωc处为零.这也意味着系统对环路增益变化的鲁棒性和响应的超调几乎相同.

(13)

3 控制器设计方法

3.1 构造分数阶PID

本文提出分数阶PID控制器设计方法，首先利用内模控制理论设计内模PID减少控制参数，然后通过增加积分项阶次与微分项阶次来构造分数阶PID.控制器的设计步骤如下：

1)模型分解

由2.2节内模控制原理可知，系统被控过程的数学模型M(s)=P(s)，且

(14)

2)设计内模控制器

(15)

式(15)中：η为滤波器时间参数，0<η<2.

3)利用内模控制构造分数阶PID

由于M(s)=P(s)，故将式(15)和式(6)代入式(8)，可得到内模PID控制器

(16)

显而易见，式(16)为含有一个待整定参数的普通PID格式，对照式(7)设计分数阶PID格式的控制器CFO-IMC-PID(s)

(17)

此时，基于内模控制的分数阶PID控制器CFO-IMC-PID(s)含有3个待整定参数η、λ、μ.

4)控制器整定

取式(17)对应控制器CFO-IMC-PID(s)作为图3稳瞄系统的控制器，则系统的开环传递函数为

L(s)=Ge(s)CFO-IMC-PID(s)P(s).(18)

令s=jω，对式(18)加以2.3节中的3条约束可得方程组

(19)

对于带有分数阶次的虚数j可用式(20)处理：

(20)

给定截止频率ωc与相位裕度φm,可求得η、λ、μ的唯一值.上述非线性方程组(19)可利用Matlab中的fslove( )函数求解.

3.2 分数阶微分算子的近似逼近

为了获得式(17)的分数阶PID控制器，通常需要某种方法对分数阶微分算子sμ和s-γ近似逼近.目前最常采用的方法是改进Oustaloup滤波器算法(Modified Oustaloup Filter Algorithm，简称MOFA)[16].由于滤波器不能实现全频段的微分算子的近似，所以可以选择感兴趣的频段(ωb,ωh)和需要近似的阶次2N+1来对微分算子进行近似逼近.

MOFA滤波器传递函数为

(21)

其增益和零极点为

(22)

根据经验计算得b=10,d=9.假设近似微分阶次为0.5，频带为(0.01,100)，则α=0.5,ωb=0.01,ωh=100.

虽然MOFA可以在幅值和相角的频率特性有很好的近似，但它有一定的局限性：滤波器阶数只能为奇数(即2N+1)，且只能研究对称的频率范围(即ωbωh=1).因此采用另一个具有良好近似特性的算法——最优有理逼近算法(Optimal Rational Approximation Algorithm,简称ORAA)[17-18], 它可以消除MOFA的限制，且不会增加算法的复杂性.该算法通过数值最优轨迹获得带增益的方法来改善系统性能.

ORAA滤波器传递函数为

(23)

其增益和零极点为

(24)

式(24)中：α为分数阶微分算子阶次；M为滤波器阶次；γ为频带增益，γ>1表示频带变宽，0<γ<1表示频带变窄，当γ=1频带无变化.假设近似微分阶次为0.5，频带为(0.01,100)，则α=0.5，ωb=0.01，ωh=100.频带增益γ=35，滤波器阶次为M=11.两个滤波器的Bode近似曲线如图6所示，H为s0.5原始曲线.

从图6 Bode曲线中可以得知，无论是微分算子的幅度频率特性还是相位频率特性，最优有理逼近算法均优于改进的Oustaloup算法，因此本文选用前者对微分算子进行合理化近似.

图6 两个滤波器Bode曲线对比图

3.3 分数阶算子对闭环响应的影响分析

为了进一步研究微分算子对系统闭环响应的影响，通过使控制器的λ和μ分别在(0.1,1.9)的范围内以0.1的步长进行遍历获得相应系统的bode图，如图7所示.

从bode图7可以看出：λ主要作用于系统的低频部分，而μ主要作用于系统的高频部分.当λ变化时系统的截止频率和相位裕度几乎没有变化，但μ变化时系统的截止频率和相位裕度却改变了，这是由于设计的截止频率处于高频部分，因此改变μ会对截止频率和相位裕度造成影响.此外，微分算子s±μ的频率传递函数为

图7 开环系统bode图

(25)

其中增益和相角为

|G(jω)|dB=±20μlog(ω)，

(26)

(27)

4 实验验证

4.1 动态性能分析

为验证基于内模控制的分数阶PID控制器(简称FO-IMC-PID)对图3稳瞄系统的控制效果，与整数阶PID控制器(简称IO-PID)和分数阶PD(简称FO-PD)作仿真对比(由于内模PID和分数阶PI无法对系统取得稳定控制，因此不做分析).根据2.3节整定规则知，给定截止频率ωc与相位裕度φm可对本设计的式(17)所示FO-IMC-PID控制器进行整定.利用试凑法确定截止频率ωc与相位裕度φm；当给定ωc=500rad/s、φm=40°时系统性能较好.将这两个参数代入方程组(19)，解得控制器的参数为η=0.0064、λ=1.7645、μ=1.4251.

FO-IMC-PID传递函数为

(28)

用2.3节中整定规则的3个约束条件设计的整数阶PID和分数阶PD的传递函数如下式(29)所示：

IO-PID传递函数为

(29)

FO-PD传递函数为

CFO-PD(s)=0.438 7+0.141 8s0.840 4.

(30)

图8为各个控制器下系统的单位阶跃响应对比曲线.从图中可以看出：本文设计的控制器FO-IMC-PID 可明显提升系统的响应速度，相较IO-PID超调也有一定减少.表2中控制器的动态性能指标值可以看出：该控制器上升时间和调节时间明显优于其他两个控制器，虽然FO-PD得超调量优于该控制器，但20.10%超调量满足特种车辆的动态性能指标要求[19].综合来看该控制器可以提供更好的控制性能.这在图9中的开环传递函数的频率响应可以看出，该控制器具有更高的带宽，这也证明了该控制器具有更快的响应性能.

表2 各控制器动态性能指标

图8 系统阶跃响应对比图

图9 开环系统Bode图

4.2 抗干扰性分析

在t=0.5 s时，在图3所示稳瞄系统M处加入负载干扰，系统的输出响应如图10所示.由图10可以看出：面对干扰FO-PD控制器已经无法取得稳定控制，IO-PID与本文设计的FO-IMC-PID仍然可以取得稳定控制.但相较于IO-PID，FO-IMC-PID能够快速地对干扰作出响应，且震荡幅度较小.因此FO-IMC-PID具有更好的抗干扰性能.

图10 扰动系统单位响应曲线

本文的研究对象为车载稳瞄系统，该系统所处的工作环境相较于机载与舰载瞄准系统更为复杂，会受到自身设备以及外界的扰动的干扰.因此好的抗干扰性，对车载稳瞄系统至关重要.本文设计控制器可有效增强车载稳瞄系统的抗干扰性.

4.3 鲁棒性分析

在实际的控制中往往通过忽略部分影响小的参数，用近似模型来表示一个系统，因此模型具有不确定性，具体可表现为参数摄动.设计的控制器应在模型存在不确定性的情况下，依然可以保持稳定和良好的控制特性.通过被控对象P(s)的增益在±20%摄动来观察FO-IMC-PID控制器控制下系统的鲁棒性，与其他控制器对比.

P(s)增益增大20%传递函数为

(31)

P(s)增益减小20%传递函数为

(32)

从图11摄动系统单位阶跃响应曲线可知，在被控对象P(s)的增益±20%摄动时各个控制器都可以满足稳定响应.为了量化分析各个控制器的鲁棒性能，引入误差积分准则作为评价控制器鲁棒性的指标.

误差积分准则是用系统期望输出与实际输出或主反馈信号之间的偏差的某个函数的积分式表示的一种性能指标.性能指标是衡量控制系统性能优良度的一种尺度.本设计选用平方误差积分准则(ISE)、绝对误差积分准则(IAE)、以及时间乘绝对误差积分准则(ITAE)这3个误差积分性能指标来衡量系统的鲁棒性.其计算公式如下

(33)

(34)

(35)

式(33)、式(34)与式(35)中:e(t)表示实际输出与期望输出的偏差；t为时间.

采用误差积分指标来衡量系统鲁棒性时，体现为上述各类指标值越小系统的鲁棒性越好.表3为系统参数摄动时不同控制器控制下的系统误差积分值.由表3中可以看出，FO-IMC-PID控制器使得各个指标值最小，与图11一样，显现出FO-IMC-PID控制器优良的鲁棒性.

图11 摄动系统单位阶跃响应曲线

表3 系统鲁棒性评价指标

4.4 样机验证

对以FO-IMC-PID为控制器的某周扫镜的稳瞄系统原理样机为实验对象进行台架试验.控制芯片选择32位DSP28335，利用CCS采集陀螺信号，数据的采集频率为1 kHz,横轴每个单位代表0.001 s,纵轴每个单位代表0.002 mil,阶跃响应与抗干扰响应曲线如图12和图13所示.

图12 硬件平台单位阶跃响应曲线

图13 硬件平台干扰响应曲线

由以上硬件试验结果可以看出，FO-IMC-PID控制器无论在动态响应和抗干扰性方面都有着显著的效果，由图13(a)可以求出传统PID控制的系统精度为0.097 mil(1σ),由图13(b)可求出分数阶PID控制下的系统的精度是0.021 mil(1σ),可以看出，改用分数阶PID控制后，系统抗干扰性提升将近4倍.

5 结论

针对稳瞄系统提出一种基于内模控制的分数阶PID设计方法.首先利用内模控制原理构造一个含有一个整定参数的内模PID；然后，通过增加积分项和微分项的分数阶次，使内模PID转换为含有三个可调参数的分数阶PID；最后，根据CRONE控制方法的3个约束，实现控制器参数的鲁棒整定，克服了参数整定的盲目性.并利用在低频和高频具有很好近似效果的最优有理逼近法对控制器的分数阶微分算子进行逼近.Matlab仿真实验与硬件试验表明，提出的方法设计简单有效，相较传统PID在动态性能、抗干扰性以及鲁棒性方面均有更好的控制效果，具有实际的工程应用价值.