存在关节死区的空间机器人无扰快速终端滑模控制1)

张智豪 于潇雁

(福州大学机械工程及自动化学院,福州 350116)

(福州大学流体动力与电液智能控制福建省高校重点实验室,福州 350116)

引言

随着空间技术的发展,空间机械臂的应用越来越广泛[1-6].由于在太空微重力环境中载体自由浮动,空间机械臂系统中载体与臂杆之间存在强动力学耦合,这会使得载体的姿态在工作过程中难以保持稳定,影响臂杆的正常工作[7-11].载体的姿态控制一般可以通过主动姿态控制系统ACS 来实现[12-15],但为了节省燃料,ACS 系统常常处于关闭状态,如何通过臂杆的运动规划来减小载体的姿态变化就有了现实意义.

Dubowskys 等[16-17]提出基于增强扰动图EDM 的关节运动规划来减小机械臂运动对载体姿态的扰动.Nenchev 等[18]采用基于定姿态雅克比矩阵FARJM 的方法进行空间机械臂的零扰动规划.Huang 等[19]利用双臂空间机器人中一个机械臂补偿来另一个机械臂运动造成的载体扰动.戈新生等[20-22]研究了通过机械臂运动对载体进行姿态调整的问题.张福海等[23-24]提出了一种笛卡尔空间的载体姿态无扰的空间机器人非完整路径规划方法.Nguyen-Huynh和Sharf[25]研究了系统捕获非合作目标后的运动规划问题,提出了自适应姿态无扰路径规划方案.Yoshida[26]通过指定自由向量来规划机械臂的运动,实现手臂对基座的零反作用力.Zhang等[27]研究了基于随机快速搜索树的一种运动规划算法,能够在不需要求解逆运动学的情况下完成规划任务并保留姿态约束.

上述方法[16-27]均是针对机械臂一般操作过程中运动学的非完整特性进行运动规划,没有考虑机械臂与待抓取目标之间的关系与关节的实际特性,而实际的空间机械臂关节通常都会存在“死区”特性.“死区”是指关节的输入力矩大小达到某个特定值之前,其输出力矩为零的输入-输出关系.当输入信号经由死区作用范围时,其会有一定的损失,从而造成系统控制精度的偏差.若不能消除其影响,除造成输出精度降低外,还会对系统造成极限环振荡,甚至导致控制失效,从而无法完成空间作业[28-30].

本文研究了存在关节死区的漂浮基平面三连杆空间机械臂拦截目标前最后阶段的无扰动空间规划与控制问题.首先针对载体位姿均不受控条件下,建立存在关节死区的三连杆空间机械臂系统的拉格朗日动力学模型,推导出三连杆空间机械臂反作用零空间的数学模型,并对反作用零空间进行向量范数约束算法研究.进而提出了一种具有抗干扰性与高收敛性的终端滑模控制算法实现系统的姿态无扰控制,该方法采用变系数双幂次趋近率与非奇异快速终端滑模面相结合的方式,提高系统状态收敛速度与抗干扰性,同时考虑机械臂关节存在的死区特性,设计了自适应补偿器,通过自适应控制来逼近死区特性的上界,以确保跟踪控制的有效执行.最后基于Lyapunov 函数法证明了系统的稳定性,并通过系统数值仿真验证了所提方法的有效性.

1 系统动力学方程

如图1 所示为一平面三连杆空间机械臂系统与一待抓取旋转的目标卫星.该空间机械臂系统由自由漂浮的刚性载体B0,系统的刚性臂B1,B2,B3组成,其中P是待抓取的目标.

图1 漂浮基三杆空间机器人与待抓取目标Fig.1 Floating based three-bar space robot and target to be grasped

假设该系统在xOy平面内作平面运动.空间机械臂系统沿着轨道以速度v运动,由于轨道曲率半径很大,在短时间的运动内,可以把轨道近似看成一条直线.被抓取目标为以角速度绕质心旋转的圆柱形物体,抓手手柄距离质心rh.机器人系统轨道相对于x轴位置角为 ψ,它与目标质心的距离为d.在抓取点,机械臂末端抓手与目标手柄之间的速度差为Δv.

建立各分体Bi(i=0,1,2,3) 的连体平动坐标系Oixiyi,其中O0与B0的质心Oc0重合,Oc1,Oc2和Oc3分别为机械臂B1,B2和B3的质心.各分体Bi之间以刚性旋转副进行铰接,其中,Oi(i=1,2,3) 为旋转中心,xi(i=0,1,2,3)分别为机械臂Bi的对称轴.

其他参数符号如下:l0——O1在x0轴上与O0的距离;

li——Bi沿xi轴的长度 (i=1,2,3) ;

bi——Oi到质心Oci之间的距离 (i=1,2,3) ;

mi——各分体的质量 (i=0,1,2,3) ;

Ji——各分体的中心转动惯量 (i=0,1,2,3) ;

Oc——系统总质心;

θ0——B0上x0轴相对x轴的载体姿态角;

θi——机械臂的关节角 (i=1,2,3) .

忽略微重力的影响,由拉格朗日第二类方程,可得到载体位姿均不受控的漂浮基空间机器人系统的动力学方程

其中,q=[x0y0θ0θ1θ2θ3]T为系统广义坐标,D(q)∈R6×6为系统的对称惯性矩阵;R6×1为包含科里奥力、离心力的列向量;τ=[τ1τ2τ3]T∈R3×1,τi(i=1,2,3) 为通过死区后关节i的输出力矩.

由于机械设计与制造方面的原因,系统关节通常都会存在“死区”特性,影响系统的输出精度.关节死区特性对控制系统造成的影响可以用图2 来表示.其中u代表控制输入,τ代表关节输出,一般情况下两者并不相同.

图2 关节死区特性图Fig.2 Characteristic diagram of joint dead-zone

一般情况下,系统的关节死区特性可用控制输入u与系统输出τ之间的关系来描述

其中d i+＞ 0,d i-＜ 0,kri=kli=ki＞ 0 为死区的左右斜率且为常数,则可将系统的输出分为如下两部分

其中 δ(u)代表系统的关节死区特性,ku代表执行机构的对控制输入的响应,k=diag(ki),则有

其中 δi(u) 为 δ(u)中的元素,i=1,2,3 .

存在死区的空间机器人动力学方程可以写为

一般漂浮基空间机器人系统(5),在全局范围内死区特性均有界,即

其中 δimax(i=1,2,3) 为未知的正常数,是向量δmax∈R3×1中的元素,δmax代表死区的实际上界.

2 反作用零空间规划

2.1 反作用零空间数学模型

由式(5)可将空间机器人系统动力学方程写为

其中Dbb∈R3×3，Dbm∈R3×3，Dmm∈R3×3;[HbTHmT]T且Hb∈R3×1，Hm∈R3×1;Xb表示载体的基座坐标与姿态角,且存在关系Xb=[x0y0θ0]T;qb表示机器人连杆的关节角,且存在关系qb=[ θ1θ2θ3]T.

系统耦合矩阵Dbm为

本文基座姿态无扰动的同时允许基座的平移运动,故将其中反映机械臂关节角与基座姿态关系的第三行提取出来,记为修正耦合惯性矩阵,同时也降低了计算复杂度,即

忽略太空中的微重力,对式(1)第一行积分可得系统的线动量P与角动量L[18,33],此时空间机器人系统的广义动量为

其中Dbb表示空间机器人系统中载体的动量.定义 Γm=Dbm为机械臂运动所产生的耦合动量.对其关于时间t求导,可得臂杆作用在载体上的反作用力

若机械臂运动所产生的耦合动量 Γm为常数,则此时作用在基座上的反作用力与力矩Fm为0.当机械臂的自由度大于机器人系统载体的自由度时,若要满足耦合动量为常数,则机械臂关节角速度解为

其中,E为单位矩阵,为Dbm伪逆矩阵,ξ=[ ξ1ξ2ξ3]T为一3 阶任意列向[34],ξ 能够对关节角速度进行一定的调整以符合相应的约束条件.若耦合动量 Γm=0,且只考虑载体姿态时,可引入修正耦合惯性矩阵,则有

当控制系统按式(14)运动,此时机械臂的运动不会扰动载体姿态的运动,从而达到了无扰动状态.

2.2 向量范数约束法

根据反作用零空间的定义,ξ 是一个任意向量,适当的 ξ可以确保无反应空间角速度、角加速度满足某些约束条件.为了计算出实际的反作用零空间轨迹,需要计算出具体的 ξ 数值.考虑实际的空间机器人运行环境,设定两个约束条件:

(1)机械臂运动对载体的耦合力矩约等于0;

(2)整个运动过程,各个关节的角速度、角加速度在一个合理的范围内.

在满足这两个条件下,求解满足条件的ξ,则有

将其推广至机械臂运动的全过程,则每个时刻应满足

其中 ()RNS为机械臂反作用零空间关节角速度向量,()RNS为机械臂反作用零空间关节角加速度向量.

根据式(12)反作用零空间运动的反作用力与力矩为

式中‖·‖2为欧几里德范数,则有

该算法通过求解式(19) 对 ξ 进行迭代,再由ξ求得无扰动期望轨迹.

3 非奇异快速终端滑模控制

在由 ξ 求得无扰动规划轨迹后,则可以按照求得的轨迹进行控制,定义系统的增广输出误差向量e为

其中ec=qb-(qb)d,

选取滑模面为

式中 α=diag(αi),β=diag(βi),其中(i=1,2,···,6),αi和βi均为正的控制器参数;m，n，p，q均为正奇数,并且满足 2＞m/n＞1,p/q＞m/n.

对式(23)求导可得

由式(5)可得

进而式(24)可演化为

定义

令ki=1,δd=[0Tδ(u)T]T则有

其中Nδd代表了非线性死区特性对控制系统造成的影响.

采用带有变系数的双幂次趋近率

其中I为单位矩阵;μ1=dig[μ11,μ12,···,μ16],μ2=dig[μ21,μ22,···,μ26],μ1i和μ2i均为正常数;‖e‖=digr1=p1/q1,r2=m1/n1,p1，q1，m1，n1均为正奇数且满足r1＞1,0＜r2＜1;在趋近运动阶段,当系统状态远离滑模面(|si|≥1) 时,)(2I+2‖e‖)sgn(s) 能够以较大速度趋近滑模面,当系统接近滑模面(|si|＜1) 时,)(2I+2‖e‖)sgn(s)依然能够保证足够的趋近速度,两部分可以保证趋近运动全程保持足够的收敛速度.

为了弥补死区特性对控制系统造成的影响,本文在非奇异快速终端滑模控制的基础上,设计了自适应死区补偿器(adaptive dead-zone compensator,ADC),其结构图见图3.

图3 带有自适应死区补偿器的控制系统Fig.3 Control system with ADC

系统的控制力矩为

其中u1与u2分别为

其中,σ∈R3×1保证载体姿态 θ0以及位置x0和y0所对应的控制力矩为0,为估测的死区最大值,且.u1为终端滑模控制器的输出控制指令,实现跟踪误差在有限时间内到达滑动模态面以及镇定作用.u2为控制自适应死区补偿器的输出,用来消除死区对系统跟踪精度的影响.其参数的更新律设计如下

该自适应死区补偿器能够从估计的死区最大值逼近实际的死区值,有效的消除死区所带来的影响.

4 稳定性证明

引入如下的Lyapunov 函数

式(34)对时间t求导可得

利用式(29)、式(31)和式(35)可变为

由控制器(32)可得

利用自适应更新率(33),则得

因V有下界且为0,则有系统是闭环稳定,即实现机械臂各关节的跟踪与关节死区特性参数的估计.

5 模拟仿真算例

为了验证无扰动空间规划与该控制方法的有效性,对图1 所示的做平面运动的漂浮基刚性三杆空间机器人系统接近抓取目标过程进行无扰动空间规划与控制.关节死区的实际上限为 δmax1=35,δmax2=45,δmax3=15 ;其他系统参数如表1 所示.

表1 空间机器人系统参数Table 1 space robot system parameters

控制器参数分别为p/q=5/3,m/n=11/9,α=diag(2,2,2,2,2,2),β=diag(4,5,6,5,4.5,5) .

采样间隔为L=0.01 s .机械臂系统沿轨道运行速度为v=0.1 m/s,载体姿态角 θ0=-π/6,机器人系统轨道相对于x轴位置角为 ψ=π/3 .目标物体P与轨道之间的距离d为2.3 m,其自转速度ωp=0.13 rad/s,设定末端执行器与目标物体P之间速度差满足 Δv≤0.02 m/s,对关节角加速度进行范数约束,初始参数设定为 ξ(0)=[0.03 0.02 0.02]T,从系统运行开始到抓取到目标共用时66 s.

设机械臂系统初始状态为 θ1=0.8 rad,θ2=1.7 rad,θ3=-2.65 rad,系统仿真结果如图4～图10所示.其中,图4～图6 为关闭自适应死区补偿器时关节角变化曲线,系统关节角无法跟踪上无反应期望轨迹.为了展示自适应补偿器的性能,关节死区的估测上限为.图7～图10 为开启自适应死区补偿器时的反作用零空间轨迹追踪曲线.

当末端抓手接触到目标手柄时,Δv=8.635 5 mm/s.图10 表明空间机械臂接近目标过程中,自适应死区补偿器能够补偿死区造成的影响,姿态角在轨迹追踪开始时有较小变化,4 s 之后一直保持在 -π/6,实现了载体姿态无扰动;同时图7～图9中表明各关节角渐进追踪上无扰动空间期望轨迹,5 s 之后一直保持在姿态无扰轨迹运行.与图4～图6的对比可以表明自适应死区补偿器能够有效补偿死区造成的影响,使姿态角的轨迹稳定,关节角能够有效的追踪.

图4 关节角1 轨迹曲线(关闭死区补偿器)Fig.4 Trajectory curve of joint angle 1 (closing ADC)

图5 关节角2 轨迹曲线(关闭死区补偿器)Fig.5 Trajectory curve of joint angle 2 (closing ADC)

图6 关节角3 轨迹曲线(关闭死区补偿器)Fig.6 Trajectory curve of joint angle 3 (closing ADC)

图7 关节角1 轨迹曲线(开启死区补偿器)Fig.7 Trajectory curve of joint angle 1 (opening ADC)

图8 关节角2 轨迹曲线(开启死区补偿器)Fig.8 Trajectory curve of joint angle 2 (opening ADC)

图9 关节角3 轨迹曲线(开启死区补偿器)Fig.9 Trajectory curve of joint angle 3 (opening ADC)

图10 姿态角轨迹曲线(开启死区补偿器)Fig.10 Attitude angle trajectory curve (opening ADC)

6 结论

(1) 针对载体位姿均不受控情况下,存在关节死区的刚性三杆空间机械臂在抓取旋转目标过程中,引入反作用零空间概念,建立反作用零空间机器人系统动力学模型,提出零空间机械臂系统的向量范数约束法,实现了载体姿态无扰动空间规划.

(2) 在反作用零空间规划的基础上考虑关节死区特性,设计自适应死区补偿器,对死区特性进行补偿.

(3) 通过理论分析与仿真结果证明了该控制方法在关节死区情况下,机械臂的各关节角仍能跟踪上无反应空间下的期望轨迹,同时载体的姿态处于稳定状态.