平稳/非平稳激励下中厚圆柱壳随机振动响应的基准解1)

霍慧 陈国海 王文培 杨迪雄

(大连理工大学工业装备结构分析国家重点实验室,辽宁大连 116024)

引言

作为工程实际中常见的结构形式,圆柱壳得益于其优良的结构特性和力学性能,被广泛应用于潜艇、火箭、导弹、飞机、储液罐等工程结构中[1-5].其中,考虑横向剪切变形和转动惯量影响的中厚圆柱壳结构不可避免地会承受各类随机激励作用,如随机地震动、风载、噪声激励等[6-7].因此,中厚壳随机振动分析和不确定性传播研究对其设计和安全服役具有重要的理论意义及应用价值.

自Love 建立壳体基本方程以来,已有许多学者和工程师对中厚圆柱壳结构的自由振动特性进行了分析[8-9].Leissa[10]对壳体自由振动理论进行了深入广泛的论述.然而,目前仅有简支边圆柱壳能获得精确解析的自振频率和振型函数.为此,各种数值解法被相继提出,如动力刚度法[11]、傅里叶级数法[12]、有限元法[13-14]、波函数法[15]等.

实际工程中,壳体结构经常承受环境动载荷作用.最近几年,确定性动载荷作用下圆柱壳的动力响应研究已经得到了广泛关注,载荷形式包括黏性流体[16]、移动载荷[17]、温度或湿度场[18]、磁场作用[19]等.由于服役环境的复杂性,动力载荷普遍具有随机性,通常采用随机过程对其进行表征.基于状态协方差分配法,To和Chen[20]给出了非平稳随机激励作用下压电壳体元件的最优随机振动控制方案.针对边界随机激励作用下的压电空心圆柱厚壳,Ying等[21]基于伽辽金法计算了随机响应的统计矩.Esmailzadeh和Lakis[22]采用有限元方法求解了湍流边界层激励作用下的开口薄壳振动响应.基于FPK (Fokker-Planck-Kolmogorov)方程,Asnafi[23]获得了随机激励作用下圆柱浅壳的概率密度函数.Li 等[24]利用辛对偶方法研究了层合圆柱壳在轴向压缩和湍流边界层激励下的随机振动响应.

此外,Crandall和Elishkoff[25]以圆柱壳为研究对象,揭示了振型互相关项对随机振动响应具有不可忽视的作用.振型互相关项的重要作用也在球壳[26]、多跨梁[27]中被深入考察.对于离散多自由度系统,林家浩等[28]提出了高效的虚拟激励法,该方法精确计入振型互相关项.Chen 等[29]将虚拟激励法推广到连续体,获得了薄壳平稳随机振动响应的解析精确解.相比于薄壳,中厚壳在实际工程中的应用更加广泛,还会受到非平稳随机激励作用.因此,本文针对中厚圆柱壳,开展平稳、非平稳随机振动分析,以获得其随机响应的精确基准解.

为了保证结果的准确性,本文首先通过自由振动分析,获得了简支中厚圆柱壳的精确频率和解析的振型函数.考虑点、线、面随机激励,构造平稳和非平稳虚拟激励,结合振型叠加法,将平稳和非平稳随机振动分别转化为简谐振动和时程分析,推导了中厚圆柱壳随机响应功率谱的解析表达式.将功率谱在频域上积分即可得到均方响应及均方根.此外,在解析解的推导过程中还涉及对振型函数空间域积分和时间域的Duhamel 积分.基于符号运算的解析法在中厚壳随机振动响应解析求解中无法实现多空间点同时输出,且计算难度和效率随参振振型的增加而显著增加.为此,进一步提出了离散解析法.通过对空间域先解析积分后离散,频域和时域数值积分,将解析运算转化为矩阵运算,不仅显著提高了计算效率,而且能批量获得壳体随机响应的分布,便于研究参数变化对圆柱壳体随机响应全局影响.此外,基于精确基准解,深入讨论了随机激励类型及结构参数对中厚壳振动响应的影响.

1 中厚圆柱壳自由振动精确解

对于壳结构,随着厚径比(厚度h与曲率半径R之比)的增大,剪切变形和转动惯量对力学行为的影响越来越大,Kirchhoff 薄壳理论不再适用.针对中等厚度圆柱壳(如厚径比≥1/36～ 1/20),分析应采用考虑横向剪切变形和转动惯量影响的中厚壳理论.本文分别讨论了如图1(a)所示的封闭壳(φT=2π)和图1(b)所示的开口角度φT的开口壳结构.R,L和h分别为壳的半径、长度和厚度,坐标系(x,θ,z),x,θ,z分别代表轴向、环向和径向.引入5 个广义独立位移描述壳体的中面变形:轴向位移u1、环向位移u2、径向位移u3、轴向转角u4及环向转角u5.考虑横向剪切变形和转动惯量的中厚圆柱壳随机偏微分方程可以描述为[10]

图1 中厚圆柱壳几何模型及载荷情况Fig.1 Geometric model and load cases for moderately thick cylindrical shell

其中c为等效阻尼系数,ρ为体密度,i=1,2,3 分别代表轴向、环向和径向,j=4,5 分别代表轴向转角和环向转角方向,qi为图1 所示施加在第i个方向上的随机激励,L1～L5为微分算子

其中,E和υ分别为材料弹性模量和泊松比,κ为剪切修正系数,本文取为5/6[10].薄膜内力Nx,Nθ,Nxθ和Nθx,弯矩Mx和Mθ,扭矩Mxθ和Mθx具体形式分别写为[30]

式中,C=Eh/(1-υ2)表示拉伸刚度,D=Eh3/[12(1-υ2)]为弯曲刚度.

为了得到圆柱壳的自振频率和振型,需进行中厚圆柱壳的自由振动分析.去掉式(1)中的阻尼力项和外力项,即可得到中厚圆柱壳自由振动的微分方程

对于如图1 (a)所示的简支封闭圆柱壳,其自由振动精确解可设为分离变量形式[10]

其中,Us,mn(x,θ)为与第s个广义位移相应的第mn阶振型函数,s=1,2,3,4,5 分别代表轴向、环向、径向、轴向转角及环向转角方向,m和n分别为轴向和环向的半波数,αm=mπ/L,A,B,F,M和N为待求常数.将式(7)代入式(6)可以得到

此外,由式(6)和式(7)可以得到矩阵形式的对称齐次方程组

式(9)中的各个系数分别为

式中,Ω=ωR为待求的无量纲频率,λ=mπR/L,k=h2/(12R2),Iκ=κ(1-υ)/2.为得到式(9)的非平凡解,令其系数矩阵行列式为0,则可以获得关于Ω2的五次方的频率方程

其中,a1-a5为代数方程的系数.求解该方程从而获得壳结构的精确频率ω.将求得的自振频率回代到式(9),就可以最终确定式(7)中振型函数的系数A,B,F,M和N之间的比值关系.

类似地,对于如图1 (b)所示的四边简支的开口形式中厚圆柱壳,其自由振动封闭形式解可以表达为如下形式

其中βn=nπ/φT.采用与封闭圆柱壳类似的计算步骤,将式(12)代入式(6),得到开口中厚圆柱壳自由振动的频率方程,同样可以获得该结构的精确频率及解析振型函数.

2 中厚圆柱壳随机振动响应的解析法

由振型叠加法可知,轴向、环向及径向上的线弹性中厚圆柱壳位移可以表达为

其中ηmn(t)为第mn阶振型的正则坐标.将式(13)代入式(1)可以得到

对于i=1,2,3,分别在式(14)两端乘上第lk阶振型Ui,lk,然后将i=1,2,3 的3 个方程在圆柱壳曲面内进行积分,综合考虑式(8)及振型正交化,最终得到一系列解耦的单自由度系统

其中 ζmn=c/(2ρhωmn) 为第mn阶的中厚壳模态阻尼比,

针对随机激励作用下中厚壳的振动分析,基于功率谱的传统频域分析方法采用维纳-辛钦关系获得响应的功率谱密度.其中完全二次项组合(CQC)法能够计及所有参振振型耦合项,但向量乘法运算量过大;而忽略振型耦合项的平方和开平方(SRSS)法计算误差较大,且仅适用于阻尼比很小、参振频率稀疏分布的均质系统.因此,本文利用虚拟激励法和连续体结构解析振型函数,在保证结果准确性的同时只需要计算一次向量乘法,计算效率得到显著提高.

基于虚拟激励法[28],构造虚拟激励

对于平稳随机激励qi(x,θ,t)=Γi(x,θ)X(t),其中Γi(x,θ)为作用在第i个方向上的平稳随机过程X(t)的空间分布函数,式(16)成为

其中SXX(ω) 为X(t)的功率谱密度(PSD)函数.

将虚拟激励式(17)代入式(15)可以得到

其中

因此,平稳随机振动分析转化为确定性的简谐振动分析,从而得到虚拟正则坐标

除平稳随机激励外,本文还考察统计信息随时间变化的非平稳随机激励.为描述非平稳随机激励,Priestley 定义了具有明确物理意义的演变功率谱[31].若平稳随机过程X(t)表示为:非平稳随机过程Y(t)可进一步描述为

其中,f(ω,t) 为确定性慢变的非均匀调制函数.Y(t)的方差可表达为

进而得到Y(t)的演变功率谱密度

然而,通常难以计算式(23)所示的非平稳激励下结构随机振动响应的演变功率谱密度.当激励功率谱密度函数中的频率特性不随时间变化时,将非均匀调制函数f(ω,t)简化近似为均匀调制函数f(t),此时的均匀调制非平稳随机过程可以写为

对于施加在中厚壳第i个方向的均匀调制非平稳激励qi(x,θ,t)=Γi(x,θ)Y(t)=Γi(x,θ)f(t)X(t),基于虚拟激励法的非平稳虚拟激励表示为

将式(25)描述的非平稳虚拟激励代入解耦的单自由度系统式(15),可得到

由Duhamel 时域积分,得到虚拟正则坐标

其中hmn(t-τ) 为单位脉冲响应函数,即

基于平稳及非平稳随机激励作用下得到的虚拟正则坐标如式(20)和式(27)所示,进而中厚圆柱壳第i个方向的虚拟位移表示为

进一步,可以基于虚拟激励法得到各个方向位移、速度及加速度响应功率谱密度函数如下

其中,上标“*”表示复共轭.

此外,在虚拟位移响应的基础上,根据壳结构的几何关系及材料本构关系,可以由式(4)和式(5)获得虚拟薄膜内力、弯矩及扭矩

同样地,基于虚拟激励法,将虚拟内力响应的复共轭乘上自己本身,可以解析获得中厚圆柱壳薄膜内力及弯曲内力等待求响应的功率谱密度函数.

此节解析法推导过程没有引入任何近似,解析地获得了平稳及非平稳随机激励作用下中厚圆柱壳的各类响应功率谱密度函数精确解.

3 中厚圆柱壳随机振动响应的离散解析法

在上一节的解析推导中,尽管采用了虚拟激励法,解析解难以满足求解随机振动响应多点输出的需求,且计算难度和效率随参振振型的增加而增长.为了在保证解析法空间域上精确性的前提下提高计算效率,本节基于空间域解析积分和微分运算后离散化策略,提出了中厚圆柱壳随机振动响应分析的离散解析法.

针对解析法推导过程中涉及到的振型函数在空间域的积分和微分运算(见式(15)、式(19)、式(31)和式(32)),离散解析法同样采取了解析求解,即

由于引入了圆柱壳的封闭振型函数Ui,mn,如式(7)和式(12)所示,上述积分和微分均可获得解析解.相比功率谱分析有限元法,采用空间域积分和微分解析运算的离散解析法能保证在空间域的精确性,具有数值方法无法比拟的优势.

此时,圆柱壳的随机偏微分方程便转化为求解式(18)和式(26)所示的常微分方程.在离散化系统中,虚拟激励法的核心是在响应功率谱密度计算中将向量乘法减少到一次,进而提高计算效率.而在解析的功率谱密度公式(30)中,只涉及符号运算.

为此,将中厚壳结构空间域进行离散,各点位置坐标写为矩阵形式:r=[r1r2···rNG],rα=(xα,θα)T,α=1,2,···,NG,NG为空间离散点总数,则式(13)描述的中厚壳位移公式可写为向量形式

其中Ui(r)为第i个方向上的振型矩阵,矩阵维度为NG×NF,NF表示参振频率阶数,i=1,2,3,η 代表NF维的正则坐标列向量.

作用在中厚壳上的虚拟激励可以离散化为

因此,对于平稳随机振动,第i个方向上中厚壳虚拟位移改写为向量形式

其中,P(ω)为与式(19)对应的广义激励的振幅矩阵,H(ω)为频率响应函数矩阵.由于离散解析法中针对振型函数积分的解析求解(见式(33)中的I1和I2),可知P(ω)在几何空间域内不涉及离散化操作.将多个节点坐标代入式(36)中振型Ui(r)中,使得离散解析法实现了多空间点虚拟响应的同时输出,且虚拟位移响应精度与空间离散点多寡无关.

对于非平稳随机振动,由于Duhamel 积分解析求解通常耗时较长,所以采用高精度的精细积分法取代Duhamel 积分进行时间历程分析可提高计算效率.将解耦得到的单自由度系统式(26)改写为状态空间形式

式(37)求解过程中需要对时域离散化处理,对任意t∈[tk,tk + 1],采用精细积分法对式(37)进行精确高效计算[32],其中tk=kΔt,k=0,1,2,···,Nt,Δt=T/(Nt),T为激励持续时间,Nt为离散时间点数.从而最终得到中厚圆柱壳在非平稳随机激励作用下的虚拟位移响应向量注意到,针对非平稳随机振动响应分析的离散解析法同样保证了在空间域的精确性.

基于虚拟激励法,任一时刻NG个空间点第i个方向的位移响应功率谱密度矩阵为

需要说明的是,式(39)需要在一系列离散频率点ωk上进行计算,其中ωk=ωL+kΔω,Δω=(ωU-ωL)/(Nω),k=0,1,···,Nω,ωU和ωL为截断频率上下限,Nω为离散频率点数.

响应功率谱密度是关于频率的单变量光滑函数,通过频率带宽离散化操作,对响应功率谱密度简单数值积分即可获得响应的均方根

同样地,基于获得的虚拟位移响应,亦可容易获得其他待求响应的功率谱密度矩阵及响应均方根.需要强调的是,在基于有限元计算圆柱壳内力功率谱密度时,内力的计算需要对位移形函数求导,使得连续性减低,导致内力的计算精度比位移低,出现如线性三角形单元中常应力情形.而离散解析法采用位移关于空间坐标的偏导数先解析求导,后将导函数离散化的方式,获得各类内力分布的精确解,避免了空间离散化对结果精度的影响,所得的内力功率谱和均方根与位移是同等精确的.

因此,本节提出的离散解析法是对解析法的离散化求解,具有极高精度,可作为基准解验证中厚圆柱壳随机振动分析的其他数值方法.

4 数值算例

4.1 中厚圆柱壳自由振动精确解

采用文献[12]中的封闭中厚圆柱壳结构,弹性模量E=210 GPa,密度ρ=7800 kg/m3,长度L=0.502 m,半径R=0.063 5 m,厚度h=0.003 26 m,泊松比υ=0.28.表1 展示了前5 阶精确频率.文献[12]及有限元(FEM)所得自振频率也列于表1.有限元结果基于ABAQUS 软件,结构模型分别划分为500,1000,2000,4000,6000 及8000 个S4 R 单元(考虑缩减积分的4 节点弯曲薄壳或厚壳单元) 或S8 R 单元(考虑缩减积分的8 节点双重弯曲厚壳单元).可见有限元计算精度受限于几何网格疏密程度和单元类型选择等因素,存在一定误差,而文献级数解[12]与本文所得精确频率更加接近.

表1 封闭中厚壳的前5 阶自振频率(Hz)Table 1 The first 5 natural frequencies (Hz) of closed moderately thick cylindrical shells

除封闭中厚壳外,考虑一个开口角度为φT=π 的中厚圆柱壳,弹性模量E=27.466 GPa,密度ρ=7850 kg/m3,长度L=14.4 m,半径R=3.6 m,厚度h=0.36 m,泊松比υ=0.2.图2 分别给出了开口中厚壳的第1 阶、第2 阶、第3 阶及第5 阶自振频率和振型,有限元结果由ABAQUS 软件对结构剖分为4000 个S8 R 单元得到.有限元结果与本文精确分析获得的自由振动自振频率及振型吻合良好.

图2 开口中厚壳的自振频率(Hz)及振型(精确解和有限元解)Fig.2 Natural frequencies (Hz) and modal functions of open moderately thick shells (exact solutions and FEM results)

4.2 随机点激励作用下中厚圆柱壳振动响应

本节考虑如下封闭中厚圆柱壳结构:杨氏模量E=2.96 GPa、密度ρ=0.733 kg/m3、长度L=14.4 m、半径R=3.6 m、泊松比υ=0.25、厚度h=0.36 m、阻尼比ζ=0.05.分别在两个空间点 case 1:(L/2,0);case 2:(L/4,π/4)对中厚壳上施加径向随机点激励.该随机激励为限带白噪声,其频率范围为[20,2000] Hz,功率谱密度为1 N2/Hz.

考虑这两种随机点激励,利用解析法(analytical method,AM)、离散解析法(discrete analytical method,DAM)及ABAQUS 软件计算,表2 分别给出了(L/2,0)处随机响应的均方根与各方法相应的CPU 运行时间,其中ABAQUS 软件结果由基于传统功率谱方法的随机振动分析模块给出,中厚壳结构被划分为4000 (40 × 100)个S8 R 单元.为便于比较计算效率,基于离散解析法的中厚壳结构同样划分为4000 (40 × 100) 个网格,空间离散点总数NG为4141 (41 × 101).三类方法均采用激励带宽内的全部自振模态参与随机振动分析.对本小节所考虑的中厚壳结构,频带[20,2000] Hz 内存在14 阶自振模态,因此式(34)中离散解析法的正则坐标η维度NF取为14.

由表2可知,两类随机点激励作用下,离散解析法所得位移、加速度及弯矩Mx响应及均方根与解析法完全吻合,而ABAQUS 软件结果与解析法相比存在一定误差.这验证了时域、频域数值积分的精度是非常高的.由于解析法单次只能计算一个空间点响应,为了公平比较三类方法的计算效率,将能够多点运算的离散解析解及ABAQUS 软件结果的CPU 运行时间均摊至各节点.可以看到,离散解析解法在保证计算精度的前提下,计算效率得到了极大提升,展示了该方法的计算优越性.值得注意的是,基于空间域离散建模的ABAQUS 软件结果计算精度依赖于结构的离散形式,而离散解析法基于精确振型函数的解析积分或微分后再将节点坐标代入式(39)中,其空间离散点多寡并不影响离散解析法的计算精度.

表2 径向随机点激励作用下封闭中厚壳(L/2,0)处响应均方根Table 2 Response RMSs of (L/2,0) for the closed moderately thick shells under random point excitation

图3 给出了两类随机点激励作用下封闭中厚壳径向位移响应功率谱密度曲线.除位移外,中厚圆柱壳的内力响应同样值得关注.随机点激励(case 2)下相应的结构薄膜内力Nx和弯矩Mx的响应功率谱在图4 中给出.结果表明,离散解析法和解析法得到的响应功率谱密度在[20,2000] Hz 内完全吻合,ABAQUS 软件结果在低频范围内与解析解吻合良好,但是随着激励频率增加,ABAQUS 软件结果呈现了一定的偏差,且ABAQUS 软件内力计算结果的精度低于位移计算结果.由于解析法结果采用了精确振型,保证了没有错根和漏根.因此,这种偏差显然是由ABAQUS 软件计算高阶自振频率的误差引起的.

图3 随机点激励下封闭中厚壳(L/2,0)处径向位移响应功率谱密度曲线Fig.3 Deflection response PSD curves of (L/2,0) for the closed moderately thick shells under random point excitation

图4 随机点激励(case 2)下封闭中厚壳(L/2,0)处薄膜内力Nx和弯矩Mx 功率谱密度曲线Fig.4 Response PSD curves of membrane force Nx and bending moment Mx of (L/2,0) for the closed moderately thick shells under random point excitation (case 2)

4.3 随机环形线激励作用下中厚圆柱壳振动响应

本节对于上节中讨论的半径R=3.6 m 的封闭中厚圆柱壳,分别取厚度h为0.1 m,0.18 m,0.36 m,也即将厚径比(h/R)分别取为1/36,1/20,1/10.考虑在封闭中厚壳的环线 (L/2,0～2π)上施加径向随机线激励,该激励同样是限带宽高斯白噪声,频带为[20,2000] Hz,功率谱密度为1 N2/Hz,针对圆柱壳的三种厚径比情形,采用激励带宽内的全部振型参与随机振动分析(NF分别取为46,27,14).针对上述三种厚径比,表3 分别给出了中厚壳在(L/2,0)处的径向位移、速度和加速度均方根.结果表明,在径向随机线激励下,随着中厚壳厚径比的增加,结构的抗弯刚度增大,从而导致径向位移、速度及加速度响应均方根减小.

表3 随机环形线激励作用下封闭中厚壳(L/2,0)处径向响应均方根Table 3 Radial response RMSs of (L/2,0) for the closed moderately thick shells under random annular line excitation

而且,也讨论了径向随机线激励下中厚壳结构的厚径比对弯矩均方根的影响.图5 分别给出了厚径比为1/36,1/20,1/10 下的中厚壳的弯矩Mx和Mθ的功率谱密度函数.由式(5)可知,弯曲刚度D的表达式中包含厚度的三次方项.在虚拟激励法中,弯矩响应Mx和Mθ的功率谱密度可由相应的虚拟弯矩与其自共轭相乘,即与D2呈正比.因此,随着中厚壳厚径比的增加,弯矩响应Mx和Mθ的功率谱密度随之增大.

图5 随机环形线激励下中厚壳(L/2,0)处弯矩响应功率谱密度曲线Fig.5 Bending moment response PSD curves of (L/2,0) for the closed moderately thick shells under random annular line excitation

4.4 分布随机激励下中厚圆柱壳振动响应

针对4.1 小节讨论的开口中厚圆柱壳结构,在其表面施加径向分布的随机激励.考虑激励具有如下两类空间分布形式case 1:p1(x,θ)=x;case 2:p2(x,θ)=5θ.随机激励为[0,100] Hz 内的限带宽白噪声,其功率谱密度Spp=1 Pa2/Hz,采用激励带宽内的全部振型参与随机振动分析(NF=32).阻尼比ζ=0.05.图6 给出了这两类分布激励在开口中厚圆柱壳上的具体空间分布形式.

图6 两类随机分布载荷的空间分布形式Fig.6 Spatial distribution forms of two random distributed loads

针对这两类随机分布载荷,图7～图9 分别给出了开口中厚壳径向位移、速度及加速度响应的均方根空间分布.对于分布形式case 1 的随机载荷,其关于θ=π/2 的轴对称,激励峰值为x=L=14.4 m.由图7 (a)、图8 (a)及图9 (a)可以看到,位移、速度及加速度响应均方根峰值逐渐向激励峰值方向移动,这些均方根关于θ=π/2 的轴是对称的,并且位移、速度响应均方根关于x=L/2 的轴呈现一定的对称性,而加速度响应均方根关于x=L/2 的轴没有对称性.对于随机载荷case 2,其关于x=L/2 的轴对称,激励峰值为θ=φT=π.由图7 (b)、图8 (b)及图9 (b)可知,位移、速度及加速度响应均方根峰值逐渐向θ最大值位置移动,这些均方根关于x=L/2 的轴也是对称,并且位移、速度响应均方根关于θ=π/2 的轴呈现一定的对称性,而加速度响应均方根关于θ=π/2 的轴没有对称性.其原因在于,与其他空间位置相比,激励峰值作用位置往往能够激起结构更高阶振型.由式(30)可知,高阶频率对加速度响应影响最大,其次是速度响应.由此可知,由于高阶参振振型的影响,激励峰值作用位置附近的加速度响应均方根出现较大值,导致图9 (a)、图9 (b)所示的加速度响应均方根分别关于x=L/2,θ=π/2 的轴呈现非对称分布.分布随机激励的空间分布形式对中厚圆柱壳的加速度响应均方根分布影响较大.由于随着响应均方根的增大,结构响应的变异性随之增大.因此在实际工程中,为了保证中厚壳结构在随机环境激励作用下的安全性,除径向位移及速度响应外,应尤其关注结构的加速度响应分布.

图7 两类分布载荷作用下开口圆柱壳的位移响应均方根分布Fig.7 RMS distributions of deflection for open shell under two distributed random loads

图8 两类分布载荷作用下开口壳的速度响应均方根分布Fig.8 RMS distributions of velocity for open shell under two distributed random loads

图9 两类分布载荷作用下开口壳的加速度响应均方根分布Fig.9 RMS distributions of acceleration for open shell under two distributed random loads

4.5 均匀调制非平稳激励下中厚圆柱壳振动响应

除平稳随机激励外,均匀调制非平稳激励下中厚圆柱壳的随机振动响应同样值得重视.对于如下开口中厚圆柱壳(φT=π,E=27.466 GPa,ρ=7850 kg/m3,L=14.4 m,R=3.6 m,υ=0.2),考虑在开口壳上施加均匀调制非平稳的随机径向均布载荷q3(x,θ,t)=f(t)X(t).随机激励X(t)假设为[0,100] Hz 内的限带宽高斯白噪声激励,激励PSDSxx(ω)=1 Pa2/Hz,采用激励带宽内的全部振型参与随机振动分析.

采用如图10 所示的时间调制函数f(t)[33]

图10 时间调制函数f(t)Fig.10 Time-modulated function f(t)

其中,A为时间调制函数幅值,ϑ(t)为Heaviside 函数.本文中,取A=105,激励持续时间T=9.6 s.可知,t=4.8 s 时,时间调制函数f(t)取最大值.

表4 给出了t=4.8 s 时开口壳中心点(L/2,π/2)处的径向位移、速度及加速度响应均方根,其中结构厚径比分别采用1/20和1/10,对应的参振频率阶数NF分别为65和32.为了验证结果,基于10 000次并行蒙特卡洛模拟(MCS)结果也被给出.利用谱表达方法,随机激励描述为

表4 非平稳随机均布激励下中厚壳中心点响应均方根 (t=4.8 s)Table 4 Stochastic response RMSs of the center of moderately thick shell under nonstationary random distributed excitations(t=4.8 s)

其中,Sqq(x,θ,t,ωk)为非平稳随机载荷在第k个频率点的功率谱密度函数,φk是[0,2π]内独立均匀分布的随机相位角.对于频带[0,100] Hz 的离散频率点数Nω,离散解析法和蒙特卡洛模拟均将其取为500 以保证公平比较计算效率.此外,若假设0～9.8 s 内f(t)均等于A,则该均匀调制非平稳激励转变为平稳随机激励.表4 同时给出了中厚壳在该平稳均布激励下的解析解.可以看到,非平稳随机振动的离散解析解法在采用精细积分法进行时程分析时,取了较大的时间步长(Δt=0.2 s),得到的计算结果与平稳随机响应的解析解吻合良好,且计算效率很高.而蒙特卡洛模拟即使时间步长已经足够小,其计算误差仍大于离散解析解,这主要归因于蒙特卡洛的随机收敛性.此外,从耗费的CPU 计算时间,也可看出,即使蒙特卡洛模拟采用了并行算法,计算效率仍远低于离散解析法.

非平稳均布激励下,图11 分别绘制了厚径比为1/20和1/10 的两种情况下位移响应的均方根曲线.可以看到,两种方法的计算结果吻合良好,但蒙特卡洛模拟曲线存在一定数值振荡.对于均匀调制非平稳激励下的中厚壳随机振动响应,其径向位移、速度及加速度响应均方根随时间的变化趋势与图10所示的时间调制函数趋势一致.

图11 非平稳随机激励下中厚壳中心点位移响应均方根Fig.11 Stochastic deflection responses RMSs of the center of moderately thick shell under nonstationary random excitations

图11 非平稳随机激励下中厚壳中心点位移响应均方根(续)Fig.11 Stochastic deflection responses RMSs of the center of moderately thick shell under nonstationary random excitations(continued)

为了讨论开口中厚圆柱壳的厚径比对位移响应功率谱密度的影响,图12 分别绘制了厚径比h/R=1/36,1/20,1/15 下不同时刻(t=4.8 s,t=7 s)的中厚壳中心点处的位移响应功率谱密度曲线.由图12可知,径向位移响应的功率谱密度曲线的第一个峰值出现位置从约7.4 Hz 后移到约14.2 Hz.这是由于中厚圆柱壳的基频随着中厚壳厚径比的增加而增大.这表明,在线性随机振动分析中,结构的自振频率精确与否将直接影响响应功率谱密度峰值出现的位置.此外,在径向激励作用下,中厚壳径向位移响应功率谱密度的幅值整体减小.因此,随着结构厚径比的增加,径向位移的均方根逐渐减小,也即响应的变异性减小,圆柱壳的安全性得到提高.

图12 非平稳随机激励下中厚壳中心点位移响应功率谱密度Fig.12 Stochastic deflection responses PSD curves of the center of moderately thick shell under nonstationary random excitations

图12 非平稳随机激励下中厚壳中心点位移响应功率谱密度(续)Fig.12 Stochastic deflection responses PSD curves of the center of moderately thick shell under nonstationary random excitations(continued)

5 结论

本文考察了考虑转动惯量和剪切变形的中厚圆柱壳的随机振动,获得了平稳、非平稳随机振动响应的基准解.通过引入中厚圆柱壳的精确自振频率和封闭振型函数,基于虚拟激励法,解析推导了中厚圆柱壳在平稳、非平稳随机激励作用下的响应功率谱密度函数.为了充分发挥虚拟激励法在矩阵运算中的高效性优势,将空间域积分解析求解,频域和时域积分数值求解,提出了离散解析法高效计算了中厚壳在各类随机激励下响应均方根的基准解.通过与解析解、ABAQUS 软件结果及蒙特卡洛模拟结果的比较,展示了离散解析法的准确性和高效性.通过算例分析,得到以下主要结论:

(1) 径向随机线激励下,随着圆柱壳厚度的增加,结构径向抗压强度增大,位移、速度及加速度响应均方根等比例降低;结构弯曲刚度增大,导致弯矩响应均方根增加.

(2) 分布随机激励的空间分布形式对中厚圆柱壳的加速度响应均方根分布影响较大.为保证结构安全性,中厚壳结构的加速度响应也应受到关注.

(3) 非平稳随机激励下,中厚圆柱壳位移响应均方根随时间变化与时间调制函数相一致.此外,随着圆柱壳厚度的增加,位移响应功率谱的幅值整体呈减小趋势,相应的均方根(即变异性)减小,因此结构安全性得到提高.