线阵相机的圆环旋转标定方法

田 忠,伍世虔

(1.武汉科技大学机械自动化学院,湖北 武汉 430080; 2.武汉科技大学信息科学与工程学院,湖北 武汉 430080)

0 引 言

相机标定作为视觉测量中必不可少的环节，其标定的精度直接决定了测量或检测的精确性。相机标定根据相机的种类可将其分为面阵相机标定和线阵相机标定2类。由于面阵相机和线阵相机成像方式和应用领域的不同，导致面阵相机的标定方法不适用于线阵相机[1]。目前线阵相机标定方法大致分为静态成像方法和动态扫描成像方法。

在线阵相机标定的研究中，Horaud等人[2]的标定方法采用线性成像模型，需借助精密位移平台将2D平面精确移动多次；Wu等人[3]利用高精度的二维转台对线阵相机进行畸变标定，获得了较好的标定结果；Hui等人[4]使用主动成像的原理对线阵相机扫描成像进行研究；Li等人[5]使用3维发光立体靶标作为参考物，并结合BP神经网络求取参数；Zhang等人[6]基于非线性阻尼最小二乘法的三阶段法进行线阵相机标定；Song等人[7]提出了一种编码的八卦图案，该图案仅用于一维信息的高精度边缘提取技术；Liao等人[8]根据带有空心条纹的立体目标进行线阵相机标定，解决了偏心误差的问题。

虽然上述方法取得一定效果，但标定方式比较复杂，对标定板设计要求高。本文提出一种基于圆环标定板的线阵相机旋转标定方法，完全避免了复杂的角点提取和特征匹配的过程。该方法在静态标定基础上，利用旋转微调架来实现不同角度下线阵相机的成像，通过建立的线阵相机成像的数学模型，求解得到相机的内参和外参；将得到的像素坐标信息使用MATLAB进行曲线拟合，最小化拟合中心与圆环的实际中心重投影误差，用LM算法计算相应的畸变系数；以求解得到的内参、外参及畸变系数作为初始值代入模型中，非线性优化整体误差函数，从而进一步求得全局最优解。

1 标定的基本原理

线阵相机成像系统主要包括世界坐标系Ow-XwYwZw、相机坐标系Oc-XcYcZc和像素坐标系o-uv。如图1所示，世界坐标系原点Ow位于运动平台左上角，Xw为成像方向，Yw为平台运动方向；相机坐标系的Xc轴和Yc轴分别与世界坐标系的Xw轴和Yw轴平行，Zc轴为相机的光轴，与相机坐标系重合且和图像平面垂直；像素坐标系原点o位于成像平面的左上角，u轴和v轴分别与相机坐标系的Xc轴和Yc轴平行[9]。

图1 线阵相机成像系统示意图

1.1 几何模型

本文使用的标定模型是参考面阵相机的标定模型，面阵相机在不考虑畸变的情况下，通过旋转变换矩阵R和平移变换向量t可以将世界坐标系转换到相机坐标系中，其模型可表示为：

(1)

其中，(Xw,Yw,Zw,1)为3D特征点的齐次坐标表示，(Xc,Yc,Zc,1)为相机坐标的齐次坐标表示，[R,t]为旋转变换和平移变换[10]。

根据小孔成像的原理，首先将相机坐标系中的坐标投影到成像平面，其次将成像平面转换为像素坐标，其模型为：

(2)

其中，(u,v)为像素坐标系的坐标，(cx,cy)为主点坐标，Zc为物体到相机光心的距离，参数fx和参数fy分别是水平坐标方向上的相机焦距参数。

将式(1)代入式(2)可得面阵相机的理想成像几何模型为:

(3)

线阵相机标定平面中，假设世界坐标系中的Zw=0。因为图像传感器像元阵列仅有一行[11]，则假设式(3)中cy=0，理想状态下线阵成像几何模型可以简化为：

(4)

式中第1部分为中心投影，第2部分为视平面方程。通过线性变换可以求出理想状态下的内参(fx,cx)和外参(R,t)。

1.2 畸变模型

在实际情况下由于相机的生产和装配存在偏差，相机的实际成像和理想成像之间会存在光学畸变。畸变误差主要分为径向畸变、切向畸变和薄棱镜畸变[12]。径向畸变指的是沿着射线方向发生长度变化，即距离主点的距离；切向畸变是理想点沿着切线方向发生的变化。

图2 镜头畸变示意图

如图2所示，相机坐标系下的特征点P(Xc,Yc,Zc)在图像坐标系下的成像点实际在p′(u′,v′)处，而不是p(u,v)处，其中p′(u′,v′)与p(u,v)之间的位置关系可表示为[13]：

(5)

其中，δx和δy分别为镜头在x轴和y轴上的畸变分量。

在实际应用中，镜头的切向畸变的影响较小，可以忽略。一般只考虑径向畸变，径向畸变模型表示为：

(6)

联合式(6)与式(5)可以得到：

(7)

其中，u为理想状态下像点的横坐标，u′为实际像点的横坐标，cx为主点坐标，k1、k2、k3为径向畸变系数。

2 线阵相机的标定方法

线阵相机标定目的是估算包括2个内参fx、cx和2个外参R、t以及3个畸变系数k1、k2、k3，旋转矩阵R可以用向量(r1,r2,r3)T表示，解决标定参数的关键是获取线传感器上的一维图像点和空间中相应的3D点。根据已知的3D特征点坐标Pw(Xw,Yw,Zw)和对应的图像像素坐标p′(u′,0)，通过非线性优化算法来估算出相机参数。整体优化模型如式(8)：

(8)

2.1 标定板的设计

本文提出一种简单且易于实现的标定板，标定板设计如图3所示。从图中可以看到标定板由同圆心、不同直径的圆组成，这保证了线阵相机的视线与圆环正确相交，且能够准确提取交点的像素坐标信息，排除无关因素的影响；l为过圆心的直径线，与相机视线存在重合或平行的状态，便于正确区分视角的方向[14]；已知同心圆的直径大小，经过几何计算即可得到圆上各点的世界坐标信息。

图3 线阵相机标定模型

圆环的半径依次为r1=50 mm、r2=55 mm、r3=62.5 mm、r4=72.5 mm;l为过标定板圆心的直径线；l0为与直径线重合的相机视线；l1为与直径线平行的相机视线；e为相机视线与直径线的偏距；Oc为相机的光心；o-uv为相机的成像平面。

2.2 线阵相机标定方法的设计

1)初始时刻使相机视线和直径线重合或平行，相机的Zc轴和标定板垂直，记录初始时刻视线与同心圆的8个交点及其对应的像素坐标(a0,b0,c0,d0,a′0,b′0,c′0,d′0)。

①当l与l0重合时，通过改变相机旋转固定的角度θ(规定逆时针为正，θ∈(0°,180°]),记录l0与同心圆的8个交点及其对应的像素坐标(ai,bi,ci,di,a′i,b′i,c′i,d′i)：

(9)

其中，θi为旋转i次与直径线l所成的夹角，其目的是将特征点转到同一世界坐标系下。

图4 偏距e示意图

②当l与l1之间存在偏距e时，如图4所示。根据交比不变性推导出式(10)则可求出对应的偏距和各交点的世界坐标。

(10)

2)利用同心圆旋转不变性的性质，通过采集视线与圆的交点的坐标，以固定旋转角度θ旋转360°后，即可得到旋转角度以及多组标定点。根据式(4)利用直接线性变换(DLT)方式[15]，求得相机内参和外参，避免复杂的角点提取和特征点匹配过程[16]。其中交点个数计算方式如式(11)：

N=8×pi/θ

(11)

其中，N为交点个数，θ为相机旋转固定的角度。

3)通过MATLAB编程软件，采用曲线拟合方法，将采集得到的交点坐标进行曲线拟合，找出拟合图形的中心，由式(12)计算拟合图形中心和实际中心的重投影误差diserr：

(12)

其中，o′i是拟合得到的图像中心坐标，h(x,y)是圆环实际中心点的重投影坐标，diserr为重投影误差，由LM算法迭代优化[17]使diserr最小，根据标定板拟合中心与实际中心的对应关系求出相机的畸变系数。

4)将计算得到的内参、外参、畸变系数作为初值[18]，对整体误差函数式(8)进行非线性优化，使目标函数达到全局最优解。

3 实验与分析

实验装置如图5所示，其中1为旋转微调装置、2为线阵相机、3为可调条形光源、4为编码器、5为圆环形标定板、6为运动平台。在相机标定过程中，将圆环形标定板放置在实验装置运动平台底板中央，调整标定板位置使其位于相机的正下方，通过旋钮调节光源强度，使标定板的图案能够在显示屏中清晰可见。在线触发的模式下，抓取到的每一行像素，即为相机视线与同心圆的交点像素坐标，采集得到的图像如图6(图中黑线代表采集的交点像素坐标)所示。

图6 采集到的交点图像

图7 交点像素坐标提取流程

线阵相机采用线触发，1X-1Y的存储模式，图像大小为8192×4096。实验中线阵相机和标定板都处于相对静止状态，但随着时间的累积，同一交点叠加变成一条黑线，即图6中黑线的横坐标位置为交点的像素坐标信息。交点像素坐标信息提取流程如图7所示。

首先将图片进行预处理操作，主要包括灰度化处理、图像反转、均值滤波和Canny边缘检测[19]，得到只含有8条黑线的像素信息图片。图7中I表示预处理后图像的灰度值，T表示设定灰度阈值，通过阈值分割判断图片中黑线的位置，即可提取到交点像素坐标[20]。

依据上述的提取算法，通过旋转微调架使线阵相机每次转动固定角度θ，依次提取视线与圆环的交点坐标以及像素坐标，并且将提取到的像素点放到同一坐标系中，如图8所示。

(a) 实际标定板的图形

(b) θ=10°采集到的像素坐标拟合图形

(c) 拟合图形中心和实际圆心的对比

(d) 圆形标定板图8 标定实验对比图

通过将本文迭代优化方法和初始值为0的2种方式进行对比，结果如图9所示。本文方法和初值为0的方法在趋于平稳时RMSE大致相同，但在有初值的情况下迭代次数更少，且不易陷入局部最小，鲁棒性更强。

图9 2种初始值情况对比

对根据本文的标定方法采集得到交点坐标标定与采用opencv的圆形标定和棋盘标定这3种方式分别求解内参和畸变系数，其结果对比如表1所示。

表1 线阵相机的标定结果对比

由表1可知，当θ≤20°时，均方根误差控制在0.35 pixel以内，相比圆形标定和棋盘标定方法[21]，本文标定方法均方误差较小，精度更高。

(a) 角度与误差的关系

(b) 交点数与误差关系图10 不同角度的标定误差对比

图10为不同角度的标定误差对比，图10 (a)反映了角度和标定误差间的关系，可以看出随着角度的增大误差逐渐增大，图10(b)反映了交点数量和标定误差间的关系，不同角度的标定对应得到的交点的数量也不同，角度越大交点个数越少,标定精度也越低。当θ=pi时，交点个数为8个，求解信息较少,无法实现曲线拟合，标定得到的误差过大；当θ=pi/18时，交点个数为144个，标定精度为0.298 pixel。

线阵相机常用于PCB缺陷检测中，本文方法针对电路板中常见的2种缺陷检测效果如图11所示，分别采用棋盘标定、圆形标定以及本文不同角度的标定方法与实际像素位置对比，其断路和短路像素位置评估对比结果见表2和表3。

图11 电路板缺陷检测效果

表2 断路情况不同方法标定误差对比

表3 短路情况不同方法标定误差对比

为评估电路板标定结果与实际缺陷像素位置的差距，本文以相对误差作为评估指标[22]：

(13)

其中，Er为相对误差系数，X为u方向估计值的向量，X*为u方向真实值的向量。

PCB缺陷主要有断路和短路2类[23]，表2和表3分别为不同方法标定2种情况的对比，Er表示标定结果与实际结果相对误差大小。结果表明本文标定方法评估像素位置与实际位置更接近，误差较小。针对u方向的误差，与棋盘标定和圆形标定方法相比，采用新型圆环形旋转标定的方法进行校正后，其精度满足实验的要求。相较于动态标定的精度依赖于运动平台的平稳性，对硬件要求较高，本文的标定方法结构简单、可操作性强、精度高。

4 结束语

本文针对线阵相机的标定方法进行研究，提出了一种基于圆环标定板的新型旋转标定方法，利用同心圆的旋转不变性，避免了其他标定方法中角点提取和匹配的过程中造成的偏差，提高了标定的精度和速度；采用曲线拟合方式最小化偏心误差求解畸变参数，将计算得到参数作为初值，非线性优化整体目标函数，提高了标定方法的鲁棒性。实验表明当θ≤20°时，该方法标定精度在0.35 pixel以内，满足PCB的缺陷检测实际应用需求。