修正KdV-sinh-Gordon方程的实N孤子解及复N孤子解

郭博文，康景峰

(中原工学院 理学院，河南 郑州 451191)

随着时代的发展，非线性问题在很多领域受到了越来越多的关注，如KP方程、非线性Schrödinger方程[1]、sine-Gordon方程[2]、KdV方程[3]等，它们在流体力学、生物学、非线性光学、等离子物理学中的应用一一凸显。

若将sine-Gordon方程中的正弦函数替换为双曲正弦函数，可得sine-Gordon方程：

uxt+sinh(u)=0，

(1)

方程(1)在可积量子场论、扭结动力学、流体动力学等诸多学科中有着广泛的应用[4-5]。

修正Korteweg-de Vries(mKdV)方程为

ut-6u2ux+uxxx=0，

(2)

修正KdV-sinh-Gordon(mKdV-SHG)方程

(3)

是由式(1)和式(2)结合推演而来的。其中，α和β是常数，当α=0、β=-1 时，式(3)转化成式(1)。对于任意α和β，式(3)均有完全可积性，这一点在文献[12]中已得到证明。

本研究将先使用变数代换，将非线性方程(3)展开，用Hirota双线性导数法将方程(3)的展开式转化为双线性形式，并进行实N孤子解的计算，接下来根据变数代换中参数的不同，进行复N孤子解的构造，最后讨论孤子分子的存在条件。

1 mKdV-SHG方程的实N孤子解

使用Hirota双线性导数法进行计算时，首先对u进行变数代换:

(4)

式中：f和g均为x和t的实函数。

取fxxg-2fxgt+fgxx=0作为条件之一，可将上式转化为以下双线性形式：

(5)

为了求解式(5)，本研究进行了f函数和g函数的构造。设f和g可以按参数ε展开为级数，即

(6)

式中：fi和gi均为x和t的实函数；ε为小参数。

将式(6)代入式(5)中，令ε同次幂系数相等得一系列等式。通过比较ε的同次幂系数计算，当取ε的同次幂系数为1时可得方程(3)具有以下形式的单实孤子解：

(7)

孤子的速度为

(8)

单实孤子解取模后的三维图形见图1，其中参数设置为ξ10= 0，k1=1，α=1，β=2。

图1 单实孤子解取模后的三维图形

当取ε的同次幂系数为2时，可求出双实孤子解为

(9)

其中的ξ1、ξ2、A12及2个孤子的速度见式(10)：

(10)

双实孤子解取模后的三维图形见图2，其中ξ10=ξ20=0，k1= 0.03，k2=1.1，α=1，β=-0.5。

图2 双实孤子解取模后的三维图形

当取ε的同次幂系数为3时，可求出三实孤子解为

(11)

式(11)中的ξj、Ajt及3个孤子的速度为

(12)

式中：j

三实孤子解取模后的三维图形见图3，其中ξ10=ξ20=ξ30=0，k1=0.2，k2= 0.7，k3=2，α=1，β=0.5。

图3 三实孤子解取模后的三维图形

在单孤子解、双孤子解及三孤子解的基础上，可以计算出mKdV-SHG方程的实N孤子解形式：

(13)

式(13)中将μ的和定义为当μj(j=1，2，…，n)取0或1时，所有可能项之和，其中ξj、Ajl为

(14)

2 mKdV-SHG方程的复N孤子解

使用Hirota双线性导数法求mKdV-SHG的复数解时，将式(4)代入式(3) 中，将式(3)转化为同式(5)的双线性形式，但本节中的f和g为复数形式且互为共轭。当取ε的同次幂系数为1时，可得出mKdV-SHG方程(3) 具有以下形式的单复孤子解：

(15)

孤子速度同式(8)，单复孤子解取模后的三维图形见图4，其中ξ10=0，k1=1，α=1，β=2。

图4 单复孤子解取模后的三维图形

当取ε的同次幂系数为2时，可求出双复孤子解为

(16)

式中：ξ1、ξ2、A12及2个孤子的速度计算结果同式(10)。双复孤子解取模后的三维图形见图5。

图5 双复孤子解取模后的三维图形

图5中，ξ10=ξ20=0，k1=1，k2=2，α=1，β=0.5。

当取ε的同次幂系数为3时，可求出三实孤子解为

(17)

式中：ξj、Ajl及3个孤子的速度计算结果同式(12)。当把参数设置为ξ10=ξ20=ξ30=0，k1=1，k2=2，k3=2.5，α=1，β=0.5时，三复孤子解取模之后的三维图形见图6。

图6 三复孤子解取模后的三维图形

循环求解步骤，可以计算出mKdV-SHG方程的复N孤子解：

(18)

式(18)中将μ的和定义为当μj(j=1，2，…，n)取0或1时所有可能项之和，其中ξj、Ajl同式(14)。

3 mKdV-SHG方程的孤子分子存在条件

在现代非线性光学领域中，孤子分子为研究热点之一[9，14-16]。当2个孤子保持速度一致的时候，便形成了孤子分子，其为一对稳定且不随着运动而弥散的孤立子。在前文中，已经求出mKdV-SHG方程孤子解中孤子的速度，根据此结果可以判断出孤子分子的存在条件。在此条件下2个孤子可以耦合为1个孤子分子，以双实孤子解构成的孤子分子为例：

(19)

图7 双实孤子分子

图8 双实孤子分子俯视图

由图7和图8可以看出，孤子分子中的2个孤立子保持平行状态，以同样的速度前进。根据孤子分子构成式(19)，可以进一步推导出多重孤子分子的存在条件。

4 结语

本研究利用双线性导数法分析了mKDV-SHG方程，得到了该方程的双线性形式，根据f和g类型的不同进行变数代换，进一步得到N重实孤子解和N重复孤子解，并对一至三的实孤子解和复孤子解进行了三维图像绘制。除此之外，根据所求出的不同孤子的速度，推导出了mKdV-SHG方程的孤子分子存在条件，并进行了简单的形式求解。