基于遗传算法与非线性规划的串联四连杆机构优化

马金生,陈 涛

(航空工业成都飞机工业(集团)有限责任公司,四川 成都 610091)

0 引 言

四连杆机构是最常见的机械结构之一，其能够满足多种运动规律与轨迹的要求，并且因其内部运动副结构简单易加工而被广泛应用于各种工业结构中.目前,科研人员针对四杆机构的优化设计做了大量研究，并取得了许多成果[1-4].例如，林军等[1]研究了遗传算法的编码设置及步骤控制等调控参数，并以四连杆机构尺寸优化问题为例验证了算法的优化效果；骆华锋等[2]利用遗传算法对常规抽油机的四连杆机构完成了优化设计，优化后的机构的运动轨迹、动力性能和节能效果都得到了显著改善；李金鹰等[4]通过多目标优化理论寻找机构参数，并利用修改的遗传算法优化，开展了飞机舱门上的提升四杆机构的辅助设计.

在实际工程应用中，常将多个四连杆机构进行组合，进而形成较为复杂的机构形式，以此来满足特定的工作轨迹与工作方式等要求[5-8].其中，串联双四连杆机构常被应用于航空货运机械与起重机械中，但目前针对串联四连杆机构的优化设计相关研究的报道较少.基于此，本研究结合应用在飞机货运舱门机构系统中的舱门解锁机构的实际案例，建立串联四连杆机构的长度尺寸优化的数学模型，该模型包括了几何约束、传动性能约束、边界条件约束和运动轨迹约束等约束条件，再利用遗传算法和非线性规划完成机构杆件长度的优化设计，并对比了2种优化算法的特点，拟为类似机构的优化设计提供可借鉴的参考.

1 串联四连杆机构

目前，串联四连杆机构常被应用于航空工程中的飞机货运舱门结构中.通常，为了满足飞机结构的紧凑布置以及一定的功能需求，其舱门解锁机构通常采用典型的串联双四连杆机构，其结构模型如图1所示.

图1 货运舱门锁定机构结构示意图

货运舱门的串联四连杆机构简图如图2所示.图2中，A、B、C 3点固定，即机架S1和S2的长度固定.此机构包含6个连杆L1～L6，以α角为输入运动副，中间为β固定的连接角49 °，δ角为输出从动副.

图2 货运舱门串联四连杆机构简图

典型的密封型货运舱门解锁过程如图3所示.图3中，舱门锁定机构由本研究的串联双四连杆机构和一副普通四连杆机构组成，其中，2个红色圆柱固定于门框上，分别与2副连杆机构配合.该串联四连杆机构末端δ角连接的是C型锁，其功能是在解锁过程中保证舱门未达到其提升位之前，保证舱门的锁紧.单四连杆机构的末端则是带有双曲率形导轨的U型锁，其内部的导轨由两段曲率有差异的曲线构成，其功能是：一方面，在解锁过程轻微向外推动舱门，解除舱门周边一圈密封胶条与门框的粘连，并使舱门达到举升运动的开始位置；另一方面，在舱门关闭过程中，当舱门下降到锁定位置后，扣住舱门，并使舱门按照一定的锁定路径运动.

图3 货运舱门解锁时机构运动过程示意图

据此可知，飞机货运舱门开启的解锁机构具体的运动过程分为2个阶段.

(1)阶段一.舱门从锁定状态图3(a)开始，锁定机构开始解锁，输入角α顺时针匀速转动，带动整套机构运动，C型锁与U型锁机构都开始转动；C型锁转动到舱门可以向外移动时，串联四连杆机构的输出从动角δ到达稳定段便基本保持不变，U型锁进入第二段曲线导轨的配合行程，如图3(b)所示.

(2)阶段二.串联四连杆机构的输出从动角δ继续保持稳定不变，输入角α继续顺时针匀速转动，使单四连杆机构末端的U型锁继续转动，并在U型锁内部的第二段曲线导轨的引领下，舱门轻微向外绕舱门顶部的转轴转动一定角度，到达图3(c)所示位置.此时，舱门与门框上的配合限制完全解除，舱门解锁，并实现向外大范围提升开启的状态.

2 数学模型

2.1 设计变量与目标函数

事实上，在航空工程实际中，其机构设计在满足基本的功能性后，主要应考虑结构的轻量化，即应尽量降低其质量，这需要通过相应机构的尺寸优化设计来实现.在货运舱门中，液压连杆需承担足够的承载力，因此，其串联四连杆机构杆件的直径是非设计量，故本案例的设计变量为连杆长度.根据图2所示的机构简图，模型的设计变量可表示为,

X=[L1,L2,L3,L4,L5,L6]

(1)

为满足机构整体轻量化的设计要求，本案例的设计目标为连杆总长度最小，其目标函数为，

(2)

2.2 约束条件

2.2.1 连杆机构中曲柄的存在条件

由于串联四连杆机构是由2个四连杆机构串联组合而成，故其应满足连杆机构基本的几何约束.本案例机构中，与机架传动转轴连接的L1和L6实质上是转轴上连接支座的长度，因此是最短杆件，由此可得，

(3)

此外，在连杆机构中，还需满足最短杆件与最长杆件之和大于等于另外两杆件之和.据此，机构的基本几何约束为，

(4)

2.2.2 最小传动角时机构传动性能约束条件

一般而言，当四连杆机构的曲柄与机架杆共线时，出现最小传动角，故其传动性能约束条件为，

(5)

2.2.3 设计变量的边界条件

如图1所示，在本串连四连杆机构中，上下两根机架传动转轴与相邻连杆之间不能产生干涉而发生碰撞，即要求连杆与转轴中心点距离应超出传动转轴的半径10 mm(转轴半径为25 mm).据此，由图2可得机构之间的几何关系有，

(6)

由上述几何关系可得出避免干涉发生的约束条件为，

(7)

2.2.4 机构末端输出角度的功能性约束条件

由飞机货运舱门的解锁过程可知，机架固定S1=140 mm，S2=135 mm，在机构输入角α匀速顺时针转动的过程中，输出角δ的运动方式为，先匀速转至一定角度，再基本保持稳定.据此，输出角δ的理想运动轨迹函数为，

(8)

由机构之间的几何关系有,

(9)

故，可联立推出机构末端输出角度为，

δ=∠FCG-∠FCB

(10)

同时，为满足飞机货运舱门的锁定与解锁的基本功能需求，要求机构优化后的输出角δ在输入角α从80 °匀速变化到-40 °的过程中，与理想目标输出角之间差异不能过大.故，其功能性约束条件为，

C17(X)=|δ-δe|-5≤0

(11)

由此可知，本研究的串联四连杆机构优化问题的数学模型的关键点为：式(1)是设计变量；式(2)是目标函数，可以作为优化分析的适应度函数，以评价当前解的有效性；式(3)与式(4)是线性约束条件；式(5)、式(7)与式(11)是非线性约束条件.

故，本飞机货运舱门的串联四连杆机构尺寸优化的数学模型可表示为，

(12)

3 优化算法

本研究利用Matlab分析软件来完成货运舱门串联四连杆机构的优化计算，分别选取遗传算法和非线性规划作为优化算法对机构的连杆尺寸进行优化分析，并对比2种算法的优化效果.

3.1 遗传算法

由于本案例设计变量为串联四连杆机构的6个杆件的长度，在遗传算法中，设计变量的向量X被称为染色体，是问题的可能解；每一代群体中的每一条染色体个体都有一个适应函数值用来评价该个体对问题的适应程度.因本研究的优化目标为机构杆件长度总和最小，故拟定目标函数为染色体的适应度函数.在求解中，优化过程遵循基本的遗传算法，即，最初随机地产生一定量的初始染色体种群，然后参考自然界的繁衍进化过程，通过模拟生物进化过程中适者生存的遗传法则，不断迭代并获得问题的最优解.利用遗传算法解决串联四连杆机构尺寸优化的过程包括：设置初始条件，计算初始种群的适应度值以及通过优胜劣汰获得最优解等步骤[9-10].需说明的是，遗传过程中变异是随机出现的，变异的概率通过指定变异率来确定，变异即是在染色体上的某一个值进行取值范围内的突变，而变异的加入降低了局部收敛的概率，增加了遗传算法在变量取值范围内的选择宽度，使其能够涵盖更多的可能解.

3.2 非线性规划

对于求解带多种约束的非线性多变量优化的最小值问题，可利用Matlab分析软件中的常用fmincon函数实现.本研究中需要优化的变量是串联四连杆机构的6个连杆的长度，属于中等规模的优化问题.利用fmincon函数命令求解中等规模的优化问题时常采用序列二次规划(sequential quadratic programming，SQP)算法进行求解.研究表明，SQP算法在处理中小规模非线性规划问题时表现出良好的优化计算效果，其处理逻辑是将一个带有等式和线性或非线性不等式约束的优化问题转化为二次规划问题，即:在某个近似解附近处理二次规划问题以寻找最优解;若当下无法求解，则用该近似解构成新的二次规划问题，通过继续迭代并求解，直到最终获得最优解[11-12].

4 算例求解与对比

由于遗传算法与非线性规划都是处理最小值优化的有效手段，故本研究针对同一问题，利用2种算法进行优化分析，并对比2种算法的优化结果，以分析串联四连杆机构尺寸优化的合理优化方案.

2种优化算法的最终优化结果如表1所示.

表1 2种优化算法的结果与初始设计值对比

由表1数据可知，通过对比初始设计值并将结果取整后，2种优化算法的优化结果都显著低于初始设计值，达到了优化设计的基本要求.此外，从机构杆件总长度来看，遗传算法的优化结果略大于非线性规划的结果，但两者接近.对比各个杆件的长度可知，2种优化算法的结果差异则很小，都指向同一组杆长组合，可见优化结果具备可靠性.

遗传算法与非线性规划的优化迭代过程如图4所示,其揭示了迭代次数与目标函数值的关系.

由图4(a)可见，在遗传算法的优化过程中，包含2条曲线，分别表示当前迭代时刻下整个群体规模染色体解的适应度函数值的最优结果和平均结果.从第3代迭代开始，最优值和平均值趋近于415.000 mm左右，最终迭代至第5代.

由图4(b)可见，在非线性规划优化过程中，纵坐标直接表示的是当前迭代时刻的可能解对应的目标函数，即机构杆件长度总和.最初，杆件长度总和为470 mm，从第500迭代步开始到迭代结束，逐渐稳定到410.000 mm左右，最终迭代至第712代.

图4 2种优化算法的迭代过程

可见，遗传算法迭代次数较少，但2种算法的实际计算耗时接近.

将2种算法优化后的杆长数据代入本串联四连杆机构中，可计算出输入角α与输出角δ的运动关系.初始设计值及2种算法优化结果与理想情况的差异如图5所示.

图5 优化前后的输入角—输出角运动关系对比

从图5可见，相比于初始设计值杆件长度状态下的串联四连杆机构，2种算法的优化结果的机构角度运动关系都更接近于理想情况.在输出角δ的上升阶段，遗传算法的结果更接近理想状况，但在输出角δ稳定段，遗传算法得出的稳定性数据较非线性规划差.

此外，本研究将2种算法的优化结果与理想情况的差异用均方根的形式展示，具体结果如表2所示.

表2 优化结果与理想情况下输出角δ运动关系均方根差异

由表2数据可见，优化计算结果与初始设计值的机构角度运动关系相比，2种优化结果情况下的串联四连杆机构的角度运动关系与理想情况的均方根差异都显著降低.初始设计条件下，均方根总差值为231.46，其中，上升阶段为336.89，平稳阶段为124.27；遗传算法优化结果条件下，均方根总差值为8.13，其中，上升阶段为14.65，平稳阶段为1.51；非线性规划优化结果条件下，均方根总差值为11.19，其中，上升阶段为21.73，平稳阶段为0.65.

5 结 论

本研究建立了飞机货运舱门串联四连杆机构的杆件尺寸优化数学模型，并基于遗传算法和非线性规划完成了相关的优化计算.2种算法对于本案例的优化结果差异不大，结论如下：

(1)最初设计状态下的机构杆件长度总和为470.000 mm，遗传算法的杆件长度总和优化结果为415.000 mm，非线性规划的杆件长度总和优化结果为410.000 mm.2种优化算法计算都获得了最优解，并取得了显著的优化效果，其中，遗传算法迭代次数较少，但2种算法的实际计算耗时接近.

(2)2种算法优化后的机构输出角δ的运动关系都更接近于理想状况.与理想情况的机构角度运动关系相比，2种算法优化结果相比初始设计的均方根差异都显著降低.在输出角δ运动关系方面，非线性规划优化结果的上升阶段与理想情况差异较大，而平稳阶段的差异较小，且角度保持更平稳.