数学实验：丰富小学生探索规律的向度*——以六上《表面涂色的正方体》一课的教学为例

蒋敏杰

【背景】

在数学教学中开展数学实验，是指引导学生借助一定的物化工具，在实验目的的引领下进行规范的实验操作，并通过数学化分析理解数学概念、探索数学规律、验证数学猜想、解决数学问题的一种数学学习方式。数学实验活动有助于激活学生的学习兴趣，促进学生数学地思考、理解并解决问题。

苏教版六上《表面涂色的正方体》一课，是学生认识了长方体和正方体的基本特征，会进行体积计算后安排的一次“探索规律”活动课，旨在通过引导学生经历探索规律的活动，使其产生对数学规律的兴趣，初步形成探索规律的意识。笔者发现，学生虽经历了探索规律的过程，但思维仍处于“接受”状态，且归纳概括时常常束手无策。笔者分析得知，这主要是因为学生思维的深刻性、广度不够，空间想象缺乏支撑，认知不够灵活，不能通过观察、想象等进行形式化类推；教师则更多关注学生是否能概括出3 面涂色、2 面涂色、1 面涂色、没有涂色的小正方体个数的规律，而对于如何观察、想象、说理、建立数学规律与图形特征的内在关联等缺少引领性指导。本文以《表面涂色的正方体》一课的教学为例，以数学实验引导学生观察、想象、实验，展开规律探索，促进学生积累由特殊到一般、由具体到抽象探索简单数学规律的经验，发展数学思维能力和空间观念。

【教学过程及分析】

一、提出问题，激活思维

师（出示正方体模型）：这是一个正方体，如果把这个正方体的表面涂上红色，涂红色的面一共有几个？为什么？

师（课件演示）：将这个表面涂色的正方体的每条棱都平均分成10 份。像这样切开，可以切成多少个小正方体？

生：大正方体被切成了1000 个一样大的小正方体。

师：请同学们想象一下，这1000 个小正方体，是不是都是6个面被涂上了红色？

生1：肯定不是，切开后的小正方体，有的是3 个面涂红色，有的是2 个面涂红色，有的是1个面涂红色。

生2：不可能有6个面涂红的，因为切开后，里面是没有涂红色的。

师：那会不会出现4个面、5个面涂红色的？

生1：也不会有。我觉得最多只有3个面涂成红色。只能在顶点这个地方，其他地方是2个面、1个面涂红色。

生2：还可以有一些小正方体没有涂红色。因为它在大正方体里面。

师：将一个大正方体像这样把每条棱平均分成10 份，切成1000 个同样大的小正方体，这些小正方体的表面可能有3面涂色、2面涂色、1面涂色，也可能没有涂色。

师：每一种类型的小正方体各有多少个呢？它们的个数与什么有关呢？这里面还藏着好多有意义的数学问题呢？今天，我们就一起来研究像这样的“表面涂色的正方体”。（揭示课题）

上述教学中，教师首先激发学生探索的需求；其次启发学生初步借助直观想象和推理等方式，明确了要观察和思考的对象，认识到涂色小正方体有不同类型；最后借助复杂问题解决，再次激发学生探索规律的心理需求。这样组织教学，不仅使学生明确了研究的问题与思考的方向，也锻炼了他们初步的空间想象能力，为后续实验的设计与实施提供了支持。

二、实验探索，初识规律

师：在数学中，为了便于研究、发现规律，一般从简单的情况开始研究。我们先来研究可见的三类涂色正方体，没有涂色的稍后研究。

师（提供棱长为2 厘米、3 厘米、4 厘米的正方体各1 个，把它们切成棱长为1 厘米的小正方体）：仔细观察，它们的每条棱分别被平均分成了多少份？并想一想，切开后各有多少个小正方体，3 面涂色、2 面涂色、1 面涂色的小正方体分别在这些大正方体的哪个位置，有多少个？四人小组议一议。

生1：这个（棱长为2）切开后有8 个小正方体，它们都是3个面涂色。

生2：这个（棱长为3）切开后有27个小正方体，3 个面涂色的在顶点的地方；2 个面涂色的在棱中间；1个面涂色的在面上，一共有6个。

生3：这个（棱长为4）切开后有4×4×4=64（个）小正方体，3 个面涂色的有8 个，在顶点的地方；2个面涂色的在棱中间，一条棱上有2个，一共有24个；1个面涂色的在面上，一个面上有4个，一共有24个。

师：各类涂色小正方体的个数与什么有关？在什么位置？又有什么规律呢？这就需要我们做实验，通过数据来说明与发现。

师：你打算怎样做这个实验，发现规律呢？

生：把正方体沿着均分线切开，分别数一数各类小正方体的个数，看一看它们的位置在哪里、有什么特点。

呈现实验探究单（如图1）。

图1 《表面涂色的正方体》实验探究单

生自主开展实验，小组内交流获得初步结论。

师：通过刚才的实验，同学们获得了数据，完成了表格，谁能告诉老师，你有怎样的发现？请同学们来交流。

第一层次：发现3面涂色的规律

生：我们发现，无论每条棱均分的份数怎样变，3面涂色的小正方体都是8个。

师：你能结合图形特征说说理由吗？

生：3 面涂色的小正方体都处于大正方体的顶点位置，3 条棱相交于顶点，这样就有3 个面相邻，正方体有8 个顶点，所以无论怎样切，3个面涂色的都只有8个。

师：是的，顶点连接3 条棱，与3 个面有关，这就是3面涂色的小正方体只有8个的原因。

第二层次：发现2面涂色的规律

生（上台指）：2 面涂色的小正方体分别是0个、12 个、24 个。因为棱2 等分时，都是3 面涂色的，所以2 面涂色的没有。棱3 等分时，每条棱上有1 个，这样12 条棱上就有12 个。4 等分时，每条棱上有2个，这样12条棱上就有24个。

师：这样看来，等分得越多，2 面涂色的小正方体就越多。那么，为什么棱3 等分后，每条棱上只有1个2面涂色的小正方体呢？

生：我们来看，棱3 等分后，每条棱上头和尾的小正方体都在顶点上，是3 个面涂色的，去掉这2 个，剩下的就是2 面涂色的，这样就只有中间的1个小正方体是2个面涂色的。

师（课件直观呈现）：大正方体的棱几等分，每条棱上就有几个小正方体；两端的小正方体连接3 个面，是3 面涂色的；棱上的这些连接2个面，自然切开后是2 面涂色的。所以，这个1我们还可以写成（3-2）。

生：这样就可以是（3-2）×12=12（个）。

师：棱4等分呢？

生：（4-2）×12=24（个）。

师：也就是说，2 面涂色小正方体的个数是几的倍数？（12）

第三层次：发现1面涂色的规律

生：1 面涂色小正方体的个数都是6 的倍数。因为每个面上的个数是一样多的。

师：结合数据与图形，谁来具体说说？

生：1 个面涂色的小正方体在每个面的中间。比如这个（3 等分），每个面上有1 个，一共有1×6=6（个）；这个（4 等分）是每个面上有4个，一共有4×6=24（个）。

师：你的发现很直观。还有什么想说的吗？

生：棱3等分时，面上是1个正方形（学生从平面上理解，实际表示的是正方体），可以写成1×1，棱4等分时，面上是4个正方形，可以写成2×2。

师：结合图形特征，“1×1”“2×2”与原来正方体的棱长有什么关系？

生：可以这样看，去掉头和尾，剩下的正好是一个正方形。1就是（3-2），2就是（4-2）。

师：是的。（课件呈现直观图）这样看，就发现了1个面涂色的规律。

师：同学们刚才通过做实验、观察图形、记录数据，发现了3面涂色、2面涂色、1面涂色小正方体的位置，以及它们的个数与棱长的关系。请大家结合图和表，再把我们的发现在小组内说一说。

本环节教学，重在引导学生通过数学实验的设计、实施与分析，结合获得的数据、图形的特征、不同类型小正方体的位置特点等，进行基于事实的数学说理分析。教师并不急于让学生获得规律，而是将更多时间留给学生，引导学生从数据变化中发现规律，并与图形特征进行关联，使学生认识到顶点处连接3 个面，切开后3面涂色的小正方体只有8 个；每条棱连接2 个面，2面涂色的小正方体在棱上，数量是12的倍数；1 面涂色的小正方体在面上，数量是6 的倍数。实验成为学生探索规律的重要方式，一方面理解实验对象，进行实验设计，另一方面结合空间想象与逻辑推理，对数据进行数学化分析。在分析数学实验的过程中，教师主要引导学生在数与形之间建立关联，促进他们展开深度思考，提高探索规律的能力。

三、应用验证，抽象表征

1.迁移研究棱5等分的情况。

师（出示棱5等分的正方体）：带着刚才的发现，我们一起来研究棱5等分的情况。思考一下，3面涂色、2面涂色、1面涂色的小正方体分别在什么位置？有多少个？能用算式表达出来吗？

生1：3面涂色的在顶点上，有8个。

生2：2 面涂色的在棱上，有（5-2）×12=36（个）。

师：请解释一下这个算式的意思。

生：每条棱上去掉顶点上3 面涂色的2 个，中间就是2面涂色的小正方体。12表示正方体有12条棱。

师：1个面涂色的呢？谁能完整地表达？

生：1个面涂色的在面上，每个面上有5-2=3（个），3×3=9（个），所以一共有9×6=54（个）。

师：都同意吗？（课件直接演示）确实如同学们所想所说。同学们现在不仅能依据图形特征进行思考，而且能通过推理应用规律了。

2.归纳概括规律。

师：现在可以解决一开始的问题了，正方体的棱10 等分，请快速思考一下，先想到在哪个位置，再将个数计算出来。

生：3 面涂色8 个；2 面涂色（10-2）×12=96（个）；1面涂色（10-2）×（10-2）×6=384（个）。

师：如果涂色正方体的每条棱都平均分成n份，切成若干个同样大小的小正方体，那么，切成的小正方体一共有多少个？其中，3 面涂色、2 面涂色、1 面涂色的小正方体各有多少个？先独立思考，再在小组内交流，之后全班交流。

生1：切成的小正方体有n×n×n=n3（个）。

生2：3 面涂色的有8 个；2 面涂色的有（n-2）×12（个）；1面涂色的有（n-2）×（n-2）×6（个）。

生3：1面涂色的还可以写成（n-2）2×6（个）。

师：用含有字母的式子可以概括地表达我们发现的规律。（n-2）×12是什么意思？

生：棱被n等分，2 面涂色的小正方体在棱上，每条棱上有（n-2）个，一共有12 条棱，所以是（n-2）×12个。

师：那（n-2）2×6呢？

…………

师：同学们，我们从简单问题入手，在数学实验中观察、想象、分析数据，并结合图形的特征发现了数学规律。回顾探索和发现规律的过程，你有哪些体会？

实验获得的结论需要具有可重复性。在学生通过棱2、3、4 等分初步发现了“表面涂色的正方体”中蕴含的规律后，引导他们对棱5 等分的情况进行实验数据验证，使规律更加可靠。用含有字母的式子归纳发现的规律也是本课的难点。让学生用字母进行简单替换不难理解，教师将重心放在引导学生解释说理上，并通过直观图示帮助学生进一步从具体的数量过渡到抽象的符号，不仅使学生的抽象表达更加自然，也使他们认识到规律需要从数据变化和图形特征中提炼，促进了其探索规律能力的形成。

四、深度学习，拓展思维

师：这些小正方体中还有一类——无涂色的小正方体，这些小正方体在大正方体的什么位置？个数可以怎样计算？你打算怎样研究？

…………

师：还是要回归数据，这次的想象更加困难了。（课件演示棱3 等分的情况，观察到只有1个）你有什么想说的？

…………

师：它们都在大正方体的正中间，我们可以通过实验，把这些没有涂色的小正方体找出来。先想象再看演示，并将数据记录在表格中。你有什么发现？

生：我发现个数可以是（n-2）3，比如1×1×1=13，2×2×2=23，3×3×3=33。

师：你能试着解释吗？

…………

师：今天，我们研究了表面涂色的正方体。同学们如果感兴趣，还可以像这样来研究研究表面涂色的长方体，看看它有怎样的规律，与正方体有什么相同的地方与不同的地方。

课尾将重心放在没有涂色的小正方体的个数上，由于空间想象要求较高，因而教学中通过呈现直观图示，帮助学生主动迁移。最后提出研究长方体中涂色情况的话题，丰富研究对象，激发学生后续研究的兴趣。

综上所述，开展“探索规律”活动有助于改进学生的学习方式，培养学生发现、提出、分析和解决问题的意识和能力，使学生初步学会从数学的角度观察与分析客观现实，提升数学素养。数学实验引导学生围绕问题，在观察、猜测、实验、计算、推理、验证等活动中学习，能极大地丰富学生探究的视角与方式。在本课教学中，数学实验建立在学生对不同类型小正方体有直观感知、形成初步认识的基础上，是对个人思考的验证与再发现。课始，在学生观察、猜测后，教师指出需要做实验，通过数据来说明与发现。接着以想一想位置、猜一猜个数、切一切方块、数一数个数、记一记数据的实验设计，有梯度地引导学生经历基于思考的结论验证、发现过程。在观察、想象、操作、分析等探索的关键环节，教师有针对性地引导学生展开相应的探索活动，形象、直观地把握3面、2面、1面涂色小正方体的位置、个数与图形特征间的联系，把不易理解、无法看见的数学知识转变成直观表象，进而促进学生开展高质量的数学思考。在实验过程中，教师注重引导学生基于对图形的观察和得到的数据进行说理，通过问题驱动引发学生从现象走向数学实质，促进学生获得分析和解决问题的基本方法，提升其探索规律的能力。