全空间上类p-Laplacian方程解的存在性

丁 玲

(中国人民解放军陆军炮兵防空兵学院 基础部,安徽 合肥 230031)

1 预备知识

在全空间RN(N≥3)上考虑类p-Laplacian方程

(1)

的解，其中2≤p

陈祖墀等[1]在有界光滑区域Ω⊂RN(N≥3)中研究了类p-Laplacian方程的特征值问题,证明了以下两个有趣结果:

2 主要结果

假设

A3)NB(r)-B′(r)r关于r是严格单调递增的.

定理1设A1)—A3),f1)—f2),V)成立，则方程(1)存在非平凡解u(x)∈W1,p(RN).

3 定理1的证明

3.1 能量泛函分析

记

由变分原理,寻求方程(1)的弱解可归结为寻找

(2)

引理1设A1)—A3),f1),V)成立,则由(2)式定义的泛函I∈C1(E,R).

步骤1证明IA是Gateaux可微的.证明过程见文献[1].

步骤2证明I′A是连续的,从而IA是Frechet可微的.

(3)

对于(3)式右边第1项，有

→0.

对于(3)式右边第2项，因为a0≤a≤T，且Dum→Du,a.e.x∈RN,故由Lebesgue控制收敛定理,得

这就证明了I′A在u连续,从而IA是Frechet可微的,即有IA∈C1(E,R).

步骤3对于泛函I中的其他积分项,可类似IA的证明,从而I∈C1(E,R).

接下来证明能量泛函I(u)具有山路几何结构.

引理3存在v∈E,使得I(v)<0.

3.2 (PS)序列分析

由引理2和3,以及山路定理[7-8]知,对

其中:c为常数；Γ={γ∈c([0,1],E):γ(0)=0,γ(1)≠0,I(γ(1))<0},存在(PS)序列{um}⊂E,即有I(um)→c,I′(um)→0(m→∞).

命题1(PS)序列{um}是有界的.

(4)

计算可得

I′(um)φ→I′(u)φ.

(5)

为此，先证明下面的梯度几乎处处收敛.

命题2设{um}为泛函I的有界(PS)序列,则Dum→Du几乎处处于RN中.

证由E=W1,p(RN)及延拓定理，可取紧集K′⊂⊂K⊂RN.设光滑函数φK:RN→R满足0≤φK≤1,并且φK=1在K′上,φK=0在RNK上.取φ=φK(um-u).由于um→u几乎处处于K中,um→u于Ls(K)(1≤s

(6)

由A2)知

(7)

(8)

结合(6)—(8)式，易知Dum→Du几乎处处于K中.利用一列紧集Ki(i=1,2,…)覆盖RN,则由可数可加性知,Dum→Du几乎处处于RN中.

下面证明(5)式.易知

等式右边第2,3项显然收敛于零,对于第1项,有

而在BR上，由于Dum→Du几乎处处成立,故由Egrov定理,得

从而可知Ⅳ→0.另一方面,由Lebesgue控制收敛定理易知Ⅴ→0.从而(5)式成立.

下面证明u≠0,即u是方程(1)的非平凡弱解.利用反证法.假设u=0.考虑泛函I∞:E→R,

命题3{um}是泛函I∞在水平的(PS)序列.

命题4存在R>0,α>0,使得

证假设结论不成立,则由集中紧性原理[8-9]知,um→0于Ls(RN)(p

从而有

即um→0于E以及Lp(RN)中,从而由I的定义,有I(um)→0,这与I(um)→c>0矛盾.

由命题4,存在α>0,R>0以及序列{yn}⊂RN,使得

(9)

4 例子

例1考虑方程

解的存在性，其中p≥2,N≥3,p

从而有

关于r是单调递增的.故由定理1知方程存在一个非零解.